初中数学变式教学20110719.ppt

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1、向在座的全体同仁学习致敬！,欢迎大家加入童桂恒特级教师工作室让 我 们 分 享 您 的 成 功 和 成 果,初中数学变式教学,金华四中教育集团 童桂恒,一、对变式教学的理解,数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式.,1.1 数学变式教学的本质含义,一、对变式教学的理解,1.2 初中数学变式教学的意义,初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、应变能力是大有益处,变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教学目标的重要途径,一、对变

2、式教学的理解,【案例1】在“坐标系内的图形对称”的中考专题复习课中，笔者设计了如下的题目 题目 点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是；关于y轴对称的点的坐标是；关于原点对称的点的坐标是.,变式1 直线y=2x-1关于x轴对称的直线的解析式是；关于y轴对称的直线的解析式是；关于原点对称的直线的解析式是.,变式2 将直线y=2x-1改为双曲线y=1/x，其它不变.,变式3 将直线y=2x-1改为抛物线y=3x2+2x-1，其它不变.,变式4 上述函数图象 关于 x轴对称的有；,一、对变式教学的理解,【案例2】浙教版七（上）7.8 平行线：课内练习第3题：如图，在ABC中，P是AC边上的一点，过点

3、P分别画AB，BC的平行线.,Q,R,二、变式教学要遵循的原则,2.3 参与性原则,2.1 针对性原则,2.2 可行性原则,二、变式教学要遵循的原则,2.1 针对性原则,【案例3】原题 如图1，在锐角三角形纸片ABC中，将纸片折叠，使点A落在对边BC上的点D处，折痕交AB于点E，交AC于点F，折痕EF/BC，连接AD、DE、DF.（1）求证：线段EF是ABC的中位线.（2）线段AD、BC有何关系？并证明你的结论.（3）若AB=AC，试判断四边形AEDF的形状，并加以证明.,二、变式教学要遵循的原则,变式1 试一试，你能用一张锐角三角形纸片折出他的四条重要线段：角平分线、中线、高、中垂线吗？能利

4、用折纸确定三角形的“四心”吗？,变式2 如图2，在钝角三角形纸片ABC中，将纸片折叠，使点A落在边BC的延长线上的D处，折痕交AB于点E,交AC于点F,折痕EF/BC,连接CE、DE、DF,且BC=2CD.(1)图中有几个等腰三角形？试写出.（不能添加字母和辅助线，不要求证明）(2)若AC=BC，试判断四边形EFDC的形状，并证明你的结论.,2.1 针对性原则,二、变式教学要遵循的原则,变式3 如图3，将边长为a的等边三角形折叠，使点A落在边BC的点D上，且BD:DC=m:n.设折痕为MN,求AM:AN的值.,2.1 针对性原则,二、变式教学要遵循的原则,2.2 可行性原则,【案例4】原题 有

5、一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上。问加工成的正方形零件的边长为多少mm？,二、变式教学要遵循的原则,变式1 将原题中“正方形PQMN”改为“矩形PQMN”问矩形的长和宽分别为多少时，所截得的矩形面积最大？最大面积是多少？余料的利用率是多少？,2.2 可行性原则,二、变式教学要遵循的原则,变式2 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1）所示，乙设计方案如图（2）所示。你

6、认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数）,2.2 可行性原则,图（1）,图（2）,二、变式教学要遵循的原则,2.2 可行性原则,变式3 已知ABC是直角三角形，ACB90，AC80，BC60，如图所示，把边长分别为x1,x2,x3,xn的n个正方形依次放入ABC中，则第1个正方形的边长x1=；第n个正方形的边长xn=(用含n的式子表示，n1),二、变式教学要遵循的原则,2.2 可行性原则,变式4 在RtABC中，ACB90，AC4，BC3.（1）如图（1），四边形DEFG为RtABC的内接正方形，求正方形的边长（2）如图（2），三角形内有并排的两个相等的正

7、方形，它 们组成的矩形内接于RtABC，求正方形的边长（3）如图（3），三角形内有并排的n个相等的正方形，它们 组成的矩形内接于RtABC，求正方形的边长,图（1）,图（2）,图（3）,二、变式教学要遵循的原则,2.2 可行性原则,变式5（2011浙江衢州，23,10分）是一张等腰直角三角形纸板，要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.,图（1）,图（2）,图（3）,图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的ADE和BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第

8、2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2(如图2)，则S2=；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3(如图3)；继续操作下去则第10次剪取时，S10=.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.,二、变式教学要遵循的原则,2.3 参与性原则,图,【案例5】原题 在已知RtABC中，ACB90，AC6，BC8（1）如图，若半径为r1的O1是RtABC的内切圆，求r1,二、变式教学要遵循的原则,2.3 参与性原则,图,（2）如图，若半径为r2的两个等圆O1、O2外切，且O1与AC、AB相切，O2与BC、AB相切，求

9、r2.,（3）如图，当n大于2的正整数时，若半径rn的n个等圆O1、O2、On依次外切，且O1与AC、BC相切，On与BC、AB相切，O1、O2、O3、O n1均与AB边相切，求r n.,图,图,图,(2012,日照,第24题,10分)在RtABC中,C=90，AC=3，BC=4，AB=5.（)探究新知如图 O是ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G.（1）求证内切圆的半径r1=1;（2）求tanOAG的值；,（)结论应用（1）如图，若半径为r2的两个等圆O1、O2外切，且O1与AC、AB相切，O2与BC、AB相切，求r2；（2）如图，当n大于2的正整数时，若半径rn的n个等圆O1、O2

10、、On依次外切，且O1与AC、BC相切，On与BC、AB相切，O1、O2、O3、O n1均与AB边相切，求r n.,链接中考,二、变式教学要遵循的原则,2.3 参与性原则,变式1 有一块直角三角形的白铁皮，其一条直角边和斜边长分别为60cm和100cm.若从这块白铁皮上剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的面积有多大？从余下的白铁皮中再剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的半径是多少？,二、变式教学要遵循的原则,2.3 参与性原则,变式2 在变式3的基础上再剪出一块圆铁皮O3，O3与O2外切，与BAC的两边相切，求O3的半径；若照此要求作下去，求On的半径rn的大小.,三、变式教学中七种变式举

11、例,3.1 概念变式,【案例5】“平方根”概念的教学,【案例6】“矩形”的概念教学,三、变式教学中七种变式举例,3.1 概念变式,【案例5】“平方根”概念的教学,三、变式教学中七种变式举例,3.1 概念变式,【案例6】“矩形”的概念教学,三、变式教学中七种变式举例,3.2 过程变式,【案例7】“等腰三角形的判定”的教学,（1）模式化的定理教学,复习性质定理、给出判定命题师生进行思路分析通过论证得出定理应用定理做练习,等腰三角形的两个底角相等,有两个角相等的三角形是等腰三角形,写成已知求证的形式：已知：在ABC中，B=C.求证：AB=AC,（2）用情境问题引发兴趣,如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三

12、角形？,学生的三种“补出”方法：,只剩一个底角和一条底边,量出C度数，画出BC，B与C的边相交得到顶点A,作BC边上的中垂线，与C的一边相交得到顶点A,“对折”,（3）多种证法激活创造力,三种常规的办法：,两种创造性的证法：,作A的平分线，利用“角角边”,过A作BC边的垂线，利用“角角边”,作BC边上的中线，“边边角”不能证明,假定ABAC,由“大边对大角”得出矛盾,ABCACB，应用“角边角”,（4）用变式练习分步解决问题,不断变换题目的条件：,ABC中，ABCACB，BO平分B，CO平分C。能得出什么结论？,过O作直线EFBC。图中有几个等腰三角形？为什么？线段EF与线段BE、FC之间有何

13、关系？(学生编题),若B与C不相等。图中有没有等腰三角形？为什么？线段EF与线段BE、FC之间还有没有关系？(学生讨论),三、变式教学中七种变式举例,3.3 图形变式,【案例8】三角形高的概念图形与非概念图形等,【案例9】从勾股定理到图形面积关系的拓展,【案例10】以图形变式为手段的一道中考试题,三、变式教学中七种变式举例,3.3 图形变式,【案例8】三角形高的概念图形与非概念图形等,三、变式教学中七种变式举例,3.3 图形变式,【案例9】从勾股定理到图形面积关系的拓展,勾股定理也可以表述为：如果以直角三角形的三条边a,b,c为边，向形外分别作正方形，那么以两直角边a,b为边长的两个正方形的面

14、积之和，等于以斜边c为边长的正方形的面积即S1+S2=S3,探索1：如果以直角三角形的三条边a,b,c为边，向形外分别作正三角形，那么是否存在S1+S2=S3呢？,探索2：如果以直角三角形的三条边a,b,c为直径，向形外分别作三个半圆，那么是否存在S1+S2=S3呢？,几何原本中的结论：在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和,三、变式教学中七种变式举例,链接中考,1（2009 宜宾）已知：如图，以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB3,则图中阴影部分的面积为,2（2012新疆）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径

15、作半圆，其中两个半圆的面积,S2=2，则S3是_,三、变式教学中七种变式举例,3.3 图形变式,【案例10】以图形变式为手段的一道中考试题,(2008年义乌市中考试题，第23题)如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：,三、变式教学中七种变式举例,（2）将原题中正方形改为矩形（如图46），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由,（1）猜

16、想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断,三、变式教学中七种变式举例,3.3 图形变式,（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=，求 的值,答案：(1)仍然成立.,（2）成立，不成立.,（3）,三、变式教学中七种变式举例,3.4 结构变式,【案例11】如图，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F（1）求证：；,三、变式教学中七种变式举例,3.4 结构变式,（

17、2）如果将图中的直线BC向上平移与圆O相交得图，或向下平移得图，此时，是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由,三、变式教学中七种变式举例,3.4 结构变式,【案例12】二次三项式x2+(a+b)x+ab的因式分解,原题：x2+4x+中添上什么数就可以使这个式子用公式法分解,变式1：如果添上的数不是4而是3，即x2+4x+3，还能不能分解？,变式2：把x2+4x+3改为x2-5x-6，又如何分解呢？,变式3：分解因式：x2+(a+b)x+ab,三、变式教学中七种变式举例,3.5 题目变式,题目变式包括条件的探究（增加、减少或变更条件）、结论的探究（结论是否唯一）、数与形的探究、引申探究（

18、命题是否可以推广）等,一般地说，几何问题的演变策略通常有以下六种：条件的弱化或强化；结论的延伸与拓展；图形的变式与延伸；条件与结论的互换；基本图形的构造应用；多种演变方法的综合,三、变式教学中七种变式举例,3.5 题目变式,怎么样来应用习题演变策略,图1,【案例13】已知：如图1，在RtCAB和RtECD中，AC=CE,点D在边BC的延长线上，且ACE=B=D=900.求证：CABECD.,链接中考,1.如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别是a、b、cA、B、N、E、F五点在同一条直线上，则c=.(用含有a、b的代数式表示),链接中考,(2012年山东枣庄中考压轴题),

19、链接中考,(2012年江苏常州中考试题第27题),4.已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）若点E与点A重合，则x的值为；（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。,链接中考,5.(2011年江苏盐城中考题第27题)情境观察 将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到ABC和ACD，如图1所示.将ACD的顶点A与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，

20、使点D、A(A)、B在同一条直线上，如图2所示.观察图2可知：与BC相等的线段是，CAC=,图1 图2,问题探究 如图3，ABC中，AGBC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.,图3,链接中考,5.(2011年江苏盐城中考题第27题)拓展延伸 如图4，ABC中，AGBC于点G，分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.,图4,

21、略解：情境观察AD（或AD），90 问题探究结论：EP=FQ.由RtABGRtEAP.得AG=EP.同理AG=FQ.EP=FQ.拓展延伸结论：HE=HF.由ABGEAP，.同理ACGFAQ，.AB=k AE，AC=k AF，EP=FQ.EHP=FHQ，RtEPHRtFQH.HE=HF,怎么样来应用习题演变策略,（一）条件的弱化或强化,当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减少其中一两个条件，或将其中的一两个条件“一般化”，并确定相应的命题结论，从而加工概括成新命题以求拓展应用,1.条件的弱化,1.1 弱化条件“AC=CE（线段相等）”，则结论由三角形全等弱化为三角形相似,变式1 如图2，在Rt

22、CAB和RtECD中，点D在边BC的延长线上，且ACE=B=D=900.求证：CABECD.,图2,试题1 如图3，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQAP交DC于点Q，设BP的长为xcm,CQ的长为y cm,（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；,（2）当y=1/4 cm时，求x的值,图3,链接中考,试题2 如图4,边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上动点D在线段BC上移动（不与点B，C重合），连接OD，过点D作DEOD,交边AB于点E，连接OE.记CD的长为t.,.,图4,（1

23、）当t=1/3时,求直线DE的函数表达式,（3）当OD2+DE2的算术平方根取最小值时，求点E的坐标,（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么S是否存在最大值？若存在,试求出这个最大值及此时t的值;若不存在,试说明理由,x,链接中考,试题3 已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线的同侧，分别过这两点作的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连结AD、AE、DE，且AED=90（1）如图，如果AB=6,BC=16,且BE:CE=1:3，求AD的长（2）如图，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明.再探究：当A、D分别在直线两侧且ABCD，而

24、其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明,.,链接中考,变式2 如图5，在ABC和CDE中，点D在边BC的延长线上，AC=CE，且ACE=B=D,则ABCCDE.,1.2 弱化条件“直角”，则“全等”结论仍然成立,图5,试题3 如图6，ABC为等边三角形，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且DEF也为等边三角形,（1）除已知等边三角形的边相等以外，请你猜想还有哪些线段相等，并证明你的结论；,图6,（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变换相互得到？写出变换过程,链接中考,2.3 同时弱化条件“线段相等”和“直角”,则结论由全等弱化为相似,变式

25、3 如图7，在ABC和 CDE中，点D在边BC的延长线上，ACE=B=D，则ABC CDE,图7,试题4 如图8，在等边ABC 中，P为BC边上一点，D为AC边上一点，且APD=60，BP=1，CD=2/3,则ABC的边长为（）,A3 B4 C5 D6,图8,链接中考,试题5 如图9，在RtCAB中，CAB=90，AB=AC=2,点D在BC上运动（不能到达点B,C）,过点D作ADE=45,DE交AC于点E(1)求证：ABDDCE;(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,图9,链接中考,试题6 在等腰ABC 中，AB=AC=8,BAC=120,P为BC的中点小惠拿着含30角的透明三角

26、板，使30角的顶点落在点P（1）如图10（1），当三角板的两边分别交AB,AC于点E,F时，求证：PBE FCP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图10（2）情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E,F 探究1：PBE与CFP还相似吗？探究2：连接EF,PBE与EFP是否能相似？试说明理由？设EF=m,EPF的面积为S,试用含m 的代数式表示S,图10,试题7 如图11，已知在等腰梯形ABCD中，ABCD，ABCD,AB=10，BC=3（1）如图11(1)，如果M为AB上一点，且满足DMC=A,求AM的长；（2）如图11(2)，如果点M在AB边上移动（点M与A，B不重合），且满足D

27、MN=A，MN交BC的延长线于点N，设AM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式,图11,链接中考,怎么样来应用习题演变策略,2.条件的强化,针对基本问题及变式问题中的线段、角等几何元素，通过给定其已知数据（长度、角度等），或设计成实际应用问题等手段，强化问题的条件，考查学生综合应用知识解决问题的能力,（一）条件的弱化或强化,变式4 如图12，在笔直的公路的同侧有A，B两个村庄，已知A，B两村分别到公路的距离AC=3km，BD=4km（1）现要在公路上建一个汽车站P，使该车站到A，B两村的距离相等，试用直尺和圆规在图中作出点P（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若连接AP，BP，测得APB=90

28、0,求A村到车站P的距离,图12,试题8 如图13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10.直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与点A不重合），一直角边经过点C，另一直角边与AB交于点E.我们知道，结论“RtEPARtPCD”成立（1）当CPD=300时，求AE的长；（2）是否存在这样的点P，使DPC的周长等于AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，试说明理由,链接中考,怎么样来应用习题演变策略,（二）结论的延伸与拓展,考虑到习题中的结论是两个三角形全等，根据全等性质，可对问题的结论做进一步的延伸与拓展,变式5 在ABC中，ACB=900，AC=BC，直线MN经过点C，ADMN，垂

29、足为D，BEMN，垂足为E（1）当直线MN绕点C旋转到图14(1)的位置时，求证：ACDCBE;DE=AD+BE.（2）当直线MN绕点C旋转到图14(2)的位置时，试问：DE，AD，BE具有怎样的等量关系？试写出这个等量关系，并加以证明,图14,怎么样来应用习题演变策略,（三）图形的变式延伸,结合基本图形所具有的特殊性，可作一系列的变化，如将习题中的ABC和CDE相向移动交叉重叠，如图15所示,图15,图15,试题9 问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图16(1)，在正ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若BON=600，则BM=CN；如

30、图16(2)，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若BON=900，则BM=CN；然后运用类比的思想提出了如下命题：如图16(3)，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若BON=1080，则BM=CN 任务要求（1）请你从、三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索：试在图16(3)中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是1080，这样的线段有几条？如图16(4)，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，DA上的点，BM与CN相交于点O，若BON=1080，请问

31、结论BM=CN是否还成立？若成立，试给予证明；若不成立，试说明理由,怎么样来应用习题演变策略,（四）条件与结论的互换,建立并研究讨论几何命题的逆命题，这是几何命题教学中最为常见的一种演变方法,如对勾股定理及其逆定理的研究，平行线的性质定理与判定定理的研究，平行四边形的性质定理与判定定理的研究，特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）性质定理与判定定理的研究等，都是这种演变策略的经典应用,试题10 如图17(1)、图17(2)、图17(3)中，点E，D 分别是正ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于点P(1)求图17(1)中,APD的

32、度数；（2)图17(2)中，APD的度数为，图17(3)中，APD的度数为；(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况若能，写出推广问题和结论；若不能，试说明理由,图17,怎么样来应用习题演变策略,（五）基本图形的构造应用,几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，因而，学生不仅要具备必需的图形分解能力，同时，还应具备必需的添加辅助线构造基本图形的技能.,试题11 如图18，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=900，AD=9，BC=12，AB=a，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PEDP，PE与直线AB交于点E.（1）若设CP

33、=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式.（2）若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的聚会范围.,图18,链接中考,试题12 如图21，MON=900，在MON的内部有一正方形AOCD，点A，C分别在射线OM，ON上，点B1是ON上的任意一点，在MON的内部作正方形AB1C1D1（1）连接D1D，求证：ADD1=900;（2）连接CC1，猜一猜，C1CN的度数是多少？并证明你的结论（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在MON的内部作出正方形AB2C2D2，观察图形，并结合(1)、(2)的结论，请你再作出一个合理的判断,图21

34、,怎么样来应用习题演变策略,（六）多种演变方法的综合,习题的演变要适时、适度，要遵循科学性原则和学生的认知规律，不可脱离学生知识和能力水平的实际，因此，在对例习题教学功能的挖掘方面教师们常常需要综合使用多种变式方法，实施习题演变策略.,图1,三、变式教学中七种变式举例,【案例14】如图1，A,C,B三点在一条直线上，DAC和EBC均为等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，有如下结论ACEDCB；CM=CN；AC=DN.其中，正确结论的个数是（）（A）3（B）2（C）1（D）0,图2,三、变式教学中七种变式举例,案例14结论的探究,（1）图1中全等的三角形有几对？,（2）如图2，连

35、接MN，猜想CMN的形状.,（3）猜想MN和直线AB的位置关系.,（4）猜想EFB的度数.,（5）图2中相似的三角形有哪些？,（6）若已知DAC和EBC的边长分别为a和b，试求MN的长.,三、变式教学中七种变式举例,案例14条件的探究,图3,探究1：如图3，当A，C，B三点不共线时，以上探讨的一系列结论哪些仍然成立？哪些不成立？,探究2：在上题中，若将图中的“等边三角形”改成“正方形”、“正五边形”（如图4、图5所示），以上探讨的结论还成立吗？,图4,图5,三、变式教学中七种变式举例,与案例14相关的一些中考试题,三、变式教学中七种变式举例,1.（2010黑龙江绥化）如图所示，已知ABC和DC

36、E均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC、FG，则下列结论：AEBD AGBF FGBE BOCEOC，其中正确结论的个数（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,D,2.（2010 山东东营）如图，点C是线段AB上的一个动点，ACD和BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM，EN分别是ACD和BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动(不与点A，B重合)，连接DE，得到四边形DMNE这个四边形的面积变化情况为（）（A）逐渐增大(B)逐渐减小(C)始终不变(D)先增大后变小,C,案例14的几个变式：,变式1

37、：如图6或图7，已知：ABD，ACE都是等边三角形，求证：CD=BE.,图6,三、变式教学中七种变式举例,变式2：如图8，点A为线段CB延长线上一点，分别以BC，AC为边在直线BC异侧作等边BCD和等边ACE，求证：AD=BE.,图8,三、变式教学中七种变式举例,变式3：如图9，点A为线段BC上一点，ABD和ACE都是等腰三角形，且AB，AD与AC，AE分别是等腰三角形的腰，且ABDACE，求证：CD=BE.,图9,三、变式教学中七种变式举例,3.6 方法变式,所谓“方法变式”就是把同一个问题的不同解决过程作为变式，将各种不同的解决方法联结起来（“一题多解”）.,三、变式教学中七种变式举例,三

38、、变式教学中七种变式举例,【案例15】如图10，已知在ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，E是AB的中点，求证：CD=2CE.,图10,三、变式教学中七种变式举例,【案例15】如图10，已知在ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，E是AB的中点，求证：CD=2CE.,图11,思路1：（延长法）如图11，延长CE至点D,使ED=CE，连接AD，BD，则CD=2CE，然后利用CBDCBD，得出CD=CD 即可.,三、变式教学中七种变式举例,【案例15】如图10，已知在ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，E是AB的中点，求证：CD=2CE.,图12,三、

39、变式教学中七种变式举例,【案例15】如图10，已知在ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，E是AB的中点，求证：CD=2CE.,图13,思路3：(利用三角形中位线的性质)如图13，构造DFG，使E，C分别是DF，DG的中点，连接CF，则FG=2CE，CG=CD，只要证FG=CG即可.,三、变式教学中七种变式举例,【案例15】如图10，已知在ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，E是AB的中点，求证：CD=2CE.,图10,三、变式教学中七种变式举例,3.7 思维变式,思维变式往往指的是以上几种变式的综合，尤其是题目变式（“多题一解”）与方法变式（“一题多解”）.在数

40、学教学过程中，利用此类变式问题可培养学生思维的灵活性、深刻性和发散性，使学生举一反三、融会贯通，从而更好地挖掘学生的潜能，提高学生的综合素质.,【案例16】如图14，在ABC中，AB=AC，P为BC上的一动点，过点P作PDAB，PEAC垂足分别为D，E.CF为AB边上的高线.求证：PD+PE=CF.,图 14,三、变式教学中七种变式举例,证法1（截长法）过点P作 PHFC于点H 容易证明四边形DPHF是矩形.PD=FH.也容易证得RtPECRtCHP，PE=CH.PD+PE=FH+CH=CF.,证法2（截长法）过点D作DKBC交CF于点K,则易证四边形DPCK是平行四边形.PD=CK，DK=P

41、C.DKBC，FDK=B=PCE.又 DFK=CEP=90,RtDFK RtCEP.FK=PE PD+PE=CK+FK=CF.,例4 如图14，在ABC中，AB=AC，P为BC上的一动点，过点P作PDAB，PEAC垂足分别为D，E.CF为AB边上的高线.求证：PD+PE=CF.,三、变式教学中七种变式举例,图 14,图 14,三、变式教学中七种变式举例,证法3（补短法）过点C作CG DP，交DP的延长线于点G.容易证得四边形DGCF是矩形.FC=DG=PD+PG.CGAB.PCG=B=ACP.RtPGC RtPEC.PG=PE.FC=PD+PE.,例4 如图14，在ABC中，AB=AC，P为B

42、C上的一动点，过点P作PDAB，PEAC垂足分别为D，E.CF为AB边上的高线.求证：PD+PE=CF.,证法4（面积割补法）,证法5（三角函数法）,证法6（比例化归法）,解法比较：证法1-3都是求证“一条线段等于另外两条线段和”问题的通法，蕴涵了解决这类问题的基本策略；证法4-6充分利用了题设条件的特殊性，如证法4面积割补法，这是由高线想到的；证法5三角函数法，这是由等腰三角形两底角相等想到的；证法6比例化归法，这是由三个三角形都是相似三角形想到的。其中由高想到面积既是本例的特殊解法，更是所有这些解法中的本质解法.,三、变式教学中七种变式举例,变式1 如图15，在ABC中,AB=AC,点P在

43、BC的延长线上,过点P作PEAC,交AC延长线于E点,过点P作PDAB于点D,CF是AB边上的高线.那么PD,PE和CF存在什么关系？写出你的猜想并加以证明.,图 15,三、变式教学中七种变式举例,图 16,三、变式教学中七种变式举例,变式2 如图16,在等腰梯形ABCD中,ADBC,AB=CD,点P为BC边上的一点,PEAB,PFCD,BGCD，垂足分别为E,F,G.（1）求证：PE+PF=BG；（2）若P是CB延长线上的一点,其它条件不变,那么PE,PF,BG之间有何关系?证明你的结论.,图 16,变式3 如图16,在ABC中,AB=AC=3,点P是BC边上的一个动点(不与点B、C重合）,

44、PEAB,PFAC,分别交AC、AB于点E、F,求PE+PF的长,通过计算,能得出关于PE+PF的长的结论吗？,三、变式教学中七种变式举例,变式4 如图17，点P为正三角形ABC内任一点，PD、PE、PF分别垂直BC、AC、AB于点D、E、F，h为ABC的高.求证：PD+PE+PF=h.,图 17,三、变式教学中七种变式举例,变式5 如图18,已知正六边形ABCDEF的边长为a,点P为正六边形内的任意一点,过P点分别作AB、BC、CD、DE、EF、FA边的垂线,垂足分别为P1、P2、P3、P4、P5、P6，求证：P P1+P P2+P P3+P P4+P P5+P P6=,图 18,三、变式教

45、学中七种变式举例,变式6 如图19，点P是正n 边形A1A2A3An内任意一点，过点P分别作A1A2、A2A3、AnA1边的垂线PP1、PP2、PPn，垂足分别为P1、P2、Pn，求证：PP1+PP2+PPn为定值.,图 19,三、变式教学中七种变式举例,变式7 如图20,已知正六边形ABCDEF的边长为a,点P为正六边形AB边上的任意一点,过P点分别作BC、CD、DE、EF、FA边的垂线,垂足分别为P1、P2、P3、P4、P5,求证：P P1+P P2+P P3+P P4+P P5=,a。,图 20,三、变式教学中七种变式举例,变式8 如图21，正n边形A1A2A3An，点P是正n边形A1A

46、2边上的任意一点，过点P分别作A2A3、A3A4、AnA1边的垂线PP1、PP2、PPn-1，垂足分别为P1、P2、Pn-1，求证：PP1+PP2+PPn-1为定值.,图 21,三、变式教学中七种变式举例,1,中考链接,（2012年黑龙江绥化市中考试题）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQBC于点Q，PRBD于点R（1）如图1,当点P为线段EC中点时,易证：PR+PQ=（不需证明）.（2）如图2,当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立

47、，请说明理由（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想,四、变式教学要把握好三个“度”,4.1 变式的数量要“适度”,4.2 问题设计要有“梯度”,4.3 要提高学生的“参与度”,四、变式教学要把握好三个“度”,【案例17】原题（沪科版数学九（上）P76例2）如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为2：1，并且矩形长的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上.求这个矩形零件的长与宽.,4.1 变式的数量要“适度”,四、变式教学要把握好三个“

48、度”,变式1 如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为2：1，并且矩形长的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上（1）求这个矩形的周长；（2）求这个矩形的面积；（3）求APQ的面积,变式方法1：在原题的条件下，挖掘所求的结论,四、变式教学要把握好三个“度”,变式2 如图，一块铁皮呈三角形，BAC=900，要把它加工成矩形零件，使矩形一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上。试问：PS、BS、CR之间有何关系？为什么？,变式方法2：在改变原题条件之下，充分挖掘所求结论,四、变式教学要把握好三个“度”,变式3 如图

49、，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，矩形的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上求这个矩形面积的最大值,变式4 如图，ABC中，点P、Q分别在AB、AC上，S、R在BC上，四边形PQRS是矩形，若矩形PQRS的面积与APQ的面积相等，求PQ：BC的值,变式5 如图，ABC中，点P、Q分别在AB、AC上，S、R在BC上，PQRS是矩形，若PQ:BC=2:3，求矩形PQRS面积与APQ的面积比值,四、变式教学要把握好三个“度”,变式6 如图，一块铁皮呈现锐角三角形，它的边BC=12cm，高AD=8cm，要求加工的矩形一边在BC上，另外两个顶

50、点在AB、AC上.（1）试问：这个三角形能否加工成一个周长为20cm的矩形零件？理由是什么？,变式方法3：在原题的基础上，适当改变条件和结论，将题型设置为探究性问题,（2）在（1）的结论下，能否用余下的材料再拼成一个与原矩形大小一样的矩形？若能，试给出一种拼法；若不能，说明理由.,四、变式教学要把握好三个“度”,变式7 如图，一块铁皮呈现锐角三角形，它的边BC=12cm，高AD=8cm，要求加工成的矩形一边在BC上，另外两个顶点在AB、AC上.（1）试问：这个三角形能否加工成一个面积为24cm2的矩形零件？能否加工成一个面积为32cm2的矩形？理由是什么？（2）从（1）的结论中，试猜想这个三角