八年级数学竞赛培训第十二章全等三角形.doc
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1、 八年级数学竞赛培训 第十二章 全等三角形【例1】 如图,E=F=90,B=C,AEAF,给出下列结论:1=2;BE=CF;ACNABM;CD=DN,其中正确的结论是 (把你认为所有正确结论的序号填上)【例2】 如图,ABC中,E、F分别是AB、AC上的点. AD平分BAC, DEAB, DFAC, ADEF.以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题, 即: , , .(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);(2)请证明你认为正确的命题.【例3】:如图2-7-3,ABC中,ABC=2C,BAC的平分线交BC于D。求证:AB+BD=AC【例4】.如图,BD、CE分别是ABC的边
2、AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BPAC,点Q在CE上,CQ=AB ,试探究线段AQ与AP有什么关系?【例5】. 含角的直角三角板()绕直角顶点沿逆时针方向旋转角(),再沿的对边翻折得到,与交于点,与交于点,与相交于点.(1)求证:.(2)当时,找出与的数量关系,并加以说明.EBMACN【例6】. 经过顶点的一条直线,.分别是直线上两点,且.(1)若直线经过的内部,且在射线上,请解决下面两个问题: 如图1,若, 则_;_(填“”,“”或“”); 如图2,若,请添加一个关于与关系的条件_,使中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.(2) 如图3,若直线经过的外部,请提出三条线段数量关系
3、的合理猜想(不要求证明). ABCEFDDABCEFADFCEB(图1)(图2)(图3) 八年级数学竞赛培训 第十二章 等腰直角三角形【例1】如图,在RtABC中,AC=BC,C=90,作A的平分线与BC边交于D, 求证:AB=AC+CD。 思路 注意运用“截长法”或“补短法”【例2】 已知:三角形ABC中,A90,ABAC,D为BC的中点,(1)如图,E,F分别是AB,AC上的点,且BEAF, 求证:DEF为等腰直角三角形.(2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BEAF,其他条件不变,那么,DEF 是否仍为等腰直角三角形?证明你的结论.【例3】 如图,和都是等腰直角三角形,三点在同
4、一直线上,连结,并延长交于.(1)求证:.(2)直线与互相垂直吗?请证明你的结论.【例4】. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,在同一条直线上,连结.(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);(2)证明:.图1图2DCEAB(第4题)【例5】. 如图,在等腰三角形ABC中,C90,D是斜边AB上任一点,AECD于E,BFCD交CD的延长线于F,CHAB于H,交AE于G,求证:BDCG. 【例6】 如图2-6所示A=90,AB=AC,M是AC边的中点,ADBM交BC于D,交BM于E求证:AMB=DMC 八年级数学竞
5、赛培训 第十二章 有趣的等边三角形 【例1】. 已知,如图,延长的各边,使得,顺次连接,得到为等边三角形.求证:(1); (2)为等边三角形.【例2】已知:如图1-10,在等边三角形ABC中,BD=CE=AF,AD与BE交于G,BE与CF交于H,CF与AD交于K,试判断GHK的形状【例3】如图甲,点C为线段AB上一点,ACM、CBN是等边三角形,直线AN、MC交于E,直线BM、CN交于点F (1)求证:AN=BM; (2)求证:CEF是等边三角形; (3)将ACM绕点C按逆时针方向旋转90,其他条件不变,在图乙中补出符合要求的图形,并判断第(1)、(2)两小题结论是否仍然成立(不要求证明) 【
6、例4】 已知:如图1-9,ABD和BEC均为等边三角形,M、N分别为AE和DC的中点,那么BMN是等边三角形吗?说明理由【例5】 如图2-8-2,D为等边ABC的内部一点,DB=DA, BE=AB,DBE=DBC,求BED的度数。【例6】 如图2-8-4, P为等边ABC内任一点,PDAB于D,PEBC于E,PFAC于F。 求证:PD+PE+PF是定值。【例7】 如图2-8-6,在ABC中,AB=AC=CB,AE=CD,AD、BE相交于P,BQAD于Q。 求证:BP=2PQ。【例8】已知:如图1-15,ABC和ADE都是等边三角形B、C、D在一条直线上,说明CE与AC+CD相等的理由【例9】已
7、知:如图1-16,ABC是等边三角形,延长AC到D,以BD为一边作等边三角形BDE,连结AE,则AD_AE+AB(填“”或“”或“”)【例10】如图,等边三角形ABD和等边三角形CBDD的长均为a,现把它们拼合起来,E是AD上异于A、D两点的一动点,F是CD上一动点,满足AE+CFa(1)E、F移动时,BEF的形状如何?(2)求BEF面积的最小值【例11】如图, P是等边ABC外的一点,APB=APC=60,求证:PA=PB+PC。【例12】如图2-11所示正三角形ABC中,P,Q,R分别为AB,AC,BC的中点,M为BC上任意一点(不同于R),且PMS为正三角形求证:RM=QS【例13】如图
8、,已知等边三角形ABC,在AB上取点D,在AC上取点E,使得AD=AE,作等边三角形PCD,QAE和RAB,求证:P、Q、R是等边三角形的三个顶点 八年级数学竞赛培训 第十二章 角的平分的性质1.已知RtABC中,C=90,BAC=60,AD平分BAC,CD=2cm(1) 求B的度数及点D到AB的距离。(2) 求BC的长。21ENMDCBA2.如图,AC为MAN的平分线,CEAM于E,点B,D分别在AM,AN上,且1=2=1800,,(1) 求证:AB+AD=2AE(2) 若将条件“1=2=1800”与结论“AB+AD=2AE” 互换,结论还成立吗?请说明理由。3. 如图,在ABC中,AB=B
9、C=12cm,ABC=80,BD是ABC的平分线,DEBC. (1)求EDB的度数; (2)求DE的长.4. 两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形.如图,在筝形ABCD中,ABAD,BC=DC,AC与BD相交于点O.(1)下列判断正确的有 (填序号).AC.BD互相垂直 AC.BD互相平分AC平分BAD.BCD BD平分ABD.ADC (2)求证:ABCADC.5.如图:ACBC,BM平分ABC且交AC于点M、N是AB的中点且BN=BC。求证:(1)MN平分AMB,(2)A=CBM。6.如图:在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE,DF分别垂直AB,AC,垂足为E,F。求证:EB
10、=FC。7.如图:E是AOB的平分线上一点,ECOA,EDOB,垂足为C,D。求证:(1)OC=OD,(2)DF=CF。9.如图,AD是ABC的角平分线,DE、DF分别是ABD和ACD的高.求证:AD垂直平分EF.10.如图:AB=AC,BD=CE。求证:OA平分BAC。11.已知:如图,CEAB于点E,BDAC于点D,BD、CE交于点O,且BO=CO求证:O在BAC的角平分线上练习一:选择题1已知RtABC中,C=900,AD平分BAC交BC于D,若BC=32,且BD:CD=9:7,则D到AB边的距离为【 】(A)18 (B)16 (c)14 (D)122如图,MPNP,MQ为NMP的角平分
11、线,MT=MP,连结TQ,则下列结论不正确的是【 】 (A)TQ=PQ (B) MQT=MQP (c) QTN=900 (D) NQT=MQT3如图,ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点,作PRAB,PSAC,垂足分别是R、S若AQ=PQ,PR=PS,下列结论:AS=AR;PQAR;BRPCSP其中正确的是【 】 (A) (B) (C) (D)4如图,ABC中,AB=AC,AD平分BAC,DEAB,DFAC,垂足分别是E、F,则下列四个结论中:AD上任意一点到B、C的距离相等;AD任意一点到AB、AC的距离相等;ADBC且BD=CD; BDE=CDF其中正确的是【 】 (A) (B) (C)
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