第十六部分傅里叶Fourier级数教学课件.ppt

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1、第十六章 傅里叶(Fourier)级数,1.函数的Fourier级数展开2.Fourier级数的收敛判别法3.Fourier级数的性质4.Fourier变换和Fourier积分5.快速Fourier变换简介,教学安排,16-1 函数的Fourier级数展开,1Fourier级数的背景,寻求用简单函数较好地近似代替复杂函数的途径一直是数学家和工程技术人员积极探索的问题.例如,用n次Taylor多项式 逼近函数f(x).,1Fourier级数的背景,1Fourier级数的背景,如果在,的某邻域内，,连续，,存在，且,时，,1Fourier级数的背景,在实际问题中,经常要和随时间而变的周期函数 fT

2、(t)打交道.例如:,t,1Fourier级数的背景,方波,4个正弦波的逼近,100个正弦波的逼近,1Fourier级数的背景,十九世纪初，法国数学家Joseph Fourier(1768-1830)在他的“热的解析理论”一书中通过大量实例得出，具有常系数,的三角级数,能够表示一类广泛的函数，甚至对具有跳跃间断的函数，都可以用上式表示出来。后来人们称这种级数为Fourier级数.,1Fourier级数的背景,与Taylor级数相比,Fourier级数展开对于函数 f(x)的要求要宽容的多,更为重要的是,Fourier 级数的部分和在整个区间上与函数f(x)吻合的较好.经过Cauchy,Diri

3、chlet 等数学家的大力推广,Fourier级数被认为不仅是声学,光学,热力学,电学等领域的强有力工具,而且在数学理论研究方面也具有核心地位.,2.基本三角函数系,定义1 设平方可积函数f(x)和g(x)定义于区间a,b上.称数,若,则称函数f(x)和g(x)在区间,a,b上正交.,为函数f(x)和g(x)在区间a,b上的内积.,2.基本三角函数系,定义2 对平方可积实值函数系,如果,则称它为区间,上的正交函数系.如果,是区间,上的正交函数系且平方可积,函数,的”长度”,则称,是区间,上的标准正交函数系.,上的,2.基本三角函数系,是区间,上的正交函数系.,是区间,上的标准正交函数系.,以

4、为周期的三角函数系,3.正交级数展开,假设,是区间,上的正交函数系.,定义于区间,上,能否找到,使得,?,如果,系数,3.正交级数展开,假设,是区间,上的正交函数系.,定义于区间,上,且有,则,如果,广义Fourier级数.,此级数称为函数 f(x)的正交级数展开或,4.周期为 的函数的Fourier级数,假设(1),是,上以,为周期的函数,且,在区间,上黎曼可积或在反常积分意义下绝对可积;(2)可以表示成如下形式的级数,且(1)在,上一致成立,求其中的系数.,(1),4.周期为 的函数的Fourier级数,称上述,为函数,的Fourier系数,构成的三角级数,称为,级数,记作,由Fourie

5、r系数,的Fourier,展成Fourier级数.,例1 将以 为周期的函数,展成Fourier级数.,例2 将以 为周期的函数,注:以上公式中的积分可以换成长度为,的任意区间,例如,假设,是,上以,为周期的函数,且,在区间,上黎曼可积或在反常积分意义下绝,5.正弦级数和余弦级数,对可积.如果f(x)为奇函数,则,此时,f(x)的Fourier级数称为正弦级数,即,5.正弦级数和余弦级数,如果f(x)为偶函数,则,此时,f(x)的Fourier级数称为余弦级数,即,例3 将下列函数展成 Fourier 级数,6.一般周期函数的Fourier级数,假设,是,上以,期的函数,且,在区间,可积或在反

6、常积分意义下绝对可积;则 f(x)的Fourier级数为,(1),为周,上黎曼,其中,假设,是,上以,为周期的函数,且,在区间,上黎曼可积或在反常积分意义下绝对可积,如果f(x)为奇函数,则,此时,f(x)的Fourier级数称为正弦级数,即,6.一般周期函数的Fourier级数,如果f(x)为偶函数,则,此时,f(x)的Fourier级数称为余弦级数,即,6.一般周期函数的Fourier级数,例4 将,周期函数,展开成为Fourier级数.,例5 将,周期函数,展开成为Fourier级数.,7.非周期函数的Fourier级数,(1)如果函数,仅定义在长度为,的区间上,例如定义在,或,上,此时

7、,不是周期函数,从而不能按,上述周期函数的方法展开为Fourier级数.,采用周期延拓法将f(x)展开为Fourier级数.,例6 将函数,展开成为Fourier级数.,当函数f(x)定义于 上时，要将它展成 Fourier级数，通常先将它延拓成 上的奇函数(称为奇延拓)或偶函数(称为偶延拓),再展成Fourier级数,从而得到f(x)在 上的Fourier级数展开.,(2)定义于 上函数的展开,奇延拓:将函数 f(x)延拓成 上的奇函数，就可得到周期奇函数在上的 Fourier 级数，从而得到 f(x)在 上的Fourier展开式,偶延拓:将函数 f(x)延拓成 上的偶函数，就可得到周期偶函

8、数在上的 Fourier 级数，从而得到 f(x)在 上的Fourier展开式,例7 将下列函数在 展成Fourier级数,例8 将函数在 展成Fourier级数,请想想有多少种求解方法?,解法1：将函数看成以 为周期的函数；解法2：将函数作奇延拓，成为以 为周期的函数；解法3：将函数作偶延拓，成为以为周期的函数；解法4：将函数延拓成长度为 区间上的函数.,8.Fourier级数的复数表示形式,设,周期函数的Fourier级数为,利用Euler公式,则有Fourier级数的复数表示形式为,8.Fourier级数的复数表示形式,Fourier级数的复数表示形式为,其中,复的Fourier系数,对

9、复杂的周期现象,经常将对应的周期函数展开成Fourier级数.其物理意义是将非正弦波用不同频率的正弦波来表示.为了研究这些简单正弦波对周期波,的影响,我们需要分析一下正弦波的振幅和频率(常称为频谱分析).因为,复数形式Fourier级数的系数刚好反映了振幅的大小,通常称,是,的频率谱.,16-2 Fourier级数的收敛判别法,正如一个函数对应的Taylor级数不一定收敛于该函数一样，一个函数对应的Fourier级数也不一定收敛于该函数,甚至不收敛.那么，在什么条件下，一个函数对应的Fourier级数收敛，收敛于该函数？,只要函数f(x)在 上可积或广义绝对可积,可由Euler-Fourier

10、公式,得到f(x)的Fourier级数,1.Fourier级数收敛定理,定理：设2p 周期函数 f(x)在区间-p,p上可积或广义绝对可积,分段单调有界,则 f(x)的Fourier级数在任一点x处收敛于f(x)的左右极限的平均值,即,解,f(x)为奇函数，Fourier级数为正弦级数。,由收敛定理的条件，有,和函数的图象,函数的图象,观察两函数图形,(1)Dirichlet核与Dirichlet积分,2.Fourier级数收敛定理的证明,Fourier级数逐点收敛性的研究主要依赖于Dirichlet核,记f(x)的Fourier级数的部分和为,由Euler-Fourier公式,部分和可由Di

11、richlet积分表示为,其中Dirichlet核为,Dirichlet核是 为周期的函数,t=0是它的可去间断点,它在一个周期上的积分值为,即,(2)黎曼(Riemann)引理：如果函数f(x)在区间a,b上可积或绝对可积,则及,推论1(局部性原理)：可积或绝对可积函数f(x)的Fourier级数在x点是否收敛只与f(x)在(x-d,x+d)内的性质有关,这里d是任意小正常数.,推论2：如果f(x)在0,d上可积或绝对可积,则,(3)狄里克莱(Dirichlet)引理：如果函数f(x)在区间 上单调或分段单调有界,则,(4)收敛定理的证明,要证明:,即要证明:,例2 将函数,展成 Fourier 级数.,例3 将函数,展成 Fourier 级数.,例4 将函数,展成 Fourier 级数，并由此求数值级数的和：,