Mathematica使用说明资料.doc

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1、Mathematica入门一、引 言Mathematica是美国Wolfram公司开发的一个功能强大的数学软件系统,它主要包括:数值计算、符号计算、图形功能和程序设计. 本指导书力图在不大的篇幅中给读者提供该系统的一个简要的介绍. 指导书是按Mathematica 4.0版本编写的, 但是也适用于Mathematica的任何其它图形界面的版本. Mathematica在数值计算、符号运算和图形表示等方面都是强有力的工具,并且其命令句法惊人地一致, 这个特性使得Mathematica很容易使用.不必担心你还不太熟悉计算机.本入门将带你迅速了解Mathematica的基本使用过程, 但在下面的介绍

2、中,我们假定读者已经知道如何安装及启动Mathematica. 此外,始终要牢记的几点是:l Mathematica是一个敏感的软件. 所有的Mathematica函数都以大写字母开头;l 圆括号( ),花括号 ,方括号 都有特殊用途, 应特别注意;l 句号“.”,分号“;”,逗号“,”感叹号“！”等都有特殊用途, 应特别注意;l 用主键盘区的组合键Shfit+Enter或数字键盘中的Enter键执行命令.二、一般介绍1. 输入与输出例1 计算 1+1:在打开的命令窗口中输入1+2+3并按组合键Shfit+Enter执行上述命令,则屏幕上将显示: In1 : =1+2+3 Out1 =6这里I

3、n1 : = 表示第一个输入,Out1= 表示第一个输出,即计算结果.2. 数学常数Pi 表示圆周率; E表示无理数e; I 表示虚数单位i;Degree表示/180; Infinity表示无穷大.注:Pi,Degree,Infinity的第一个字母必须大写,其后面的字母必须小写.3. 算术运算Mathematica中用“+”、“-”、“*”、“/” 和“”分别表示算术运算中的加、减、乘、除和乘方.例2 计算 .输入 100(1/4)*(1/9)(-1/2)+8(-1/3)*(4/9)(1/2)*Pi则输出 这是准确值. 如果要求近似值,再输入 N%则输出 10.543这里%表示上一次输出的结

4、果,命令N%表示对上一次的结果取近似值. 还用 % 表示上上次输出的结果,用 %6表示Out6的输出结果.注:关于乘号*,Mathematica常用空格来代替. 例如,x y z 则表示x*y*z,而xyz 表示字符串,Mathematica将它理解为一个变量名. 常数与字符之间的乘号或空格可以省略.4. 代数运算例3 分解因式 输入 Factorx2+3x+2输出 例4 展开因式 输入 Expand(1+x)(2+x)输出 例5 通分 输入 Together1/(x+3)+2/(x+2)输出 例6 将表达式 展开成部分分式输入 Apart(8+3x)/(2+x)(3+x)输出 例7 化简表达

5、式 输入 Simplify(1+x)(2+x)+(1+x)(3+x)输出 三、函数 1. 内部函数Mathematica系统内部定义了许多函数,并且常用英文全名作为函数名,所有函数名的第一个字母都必须大写,后面的字母必须小写. 当函数名是由两个单词组成时,每个单词的第一个字母都必须大写,其余的字母必须小写. Mathematica函数(命令)的基本格式为 函数名表达式,选项下面列举了一些常用函数:算术平方根 Sqrtx指数函数Expx对数函数 Loga,x对数函数Logx三角函数Sinx, Cosx, Tanx, Cotx, Secx, Cscx反三角函数ArcSinx, ArcCosx, A

6、rcTanx, ArcCotx, AsrcSecx, ArcCscx双曲函数Sinhx, Coshx, Tanhx, 反双曲函数ArcSinhx, ArcCoshx, ArcTanhx四舍五入函数 Roundx (*取最接近x的整数*)取整函数 Floorx (*取不超过x的最大整数*)取模 Modm,n (*求m/n的模*)取绝对值函数Absxn的阶乘n!符号函数Signx取近似值Nx,n (*取x的有n位有效数字的近似值,当n缺省时,n的默认值为6*)例8 求的有6位和20位有效数字的近似值.输入 NPi 输出 3.14159输入 NPi, 20 输出 3.1415926535897932

7、285注:第一个输入语句也常用另一种形式:输入 Pi/N 输出 3.14159例9 计算函数值 (1) 输入 SinPi/3 输出 (2) 输入 ArcSin.45 输出 0.466765 (3) 输入 Round-1.52 输出 -2例10 计算表达式 的值输入 1/(1+Log2)*SinPi/6-Exp-2/(2+2(2/3)*ArcTan.6输出 0.274921 2. 自定义函数在Mathematica系统内,由字母开头的字母数字串都可用作变量名,但要注意其中不能包含空格或标点符号.变量的赋值有两种方式. 立即赋值运算符是“=”,延迟赋值运算符是“: =”. 定义函数使用的符号是延迟

8、赋值运算符“: =”. 例11 定义函数 ,并计算,. 输入 Clearf,x; (*清除对变量原先的赋值*) fx_:=x3+2*x2+1; (*定义函数的表达式*) f2 (*求的值*) fx/.x-4 (*求的值,另一种方法*) x=6; (*给变量立即赋值6*) fx (*求的值,又一种方法*)输出 17 97 289 注:本例1、2、5行的结尾有“;”,它表示这些语句的输出结果不在屏幕上显示.四、解方程 在Mathematica系统内,方程中的等号用符号“=”表示. 最基本的求解方程的命令为 Solveeqns, vars它表示对系数按常规约定求出方程(组)的全部解,其中eqns表示

9、方程(组),vars表示所求未知变量.例12 解方程 输入 Solvex2+3x+2=0, x 输出 例13 解方程组 输入 Solvea x + b y = 0,c x + d y =1, x,y 输出 例14 解无理方程 输入 SolveSqrtx-1+ Sqrtx+1 = a, x 输出 很多方程是根本不能求出准确解的,此时应转而求其近似解. 求方程的近似解的方法有两种,一种是在方程组的系数中使用小数,这样所求的解即为方程的近似解;另一种是利用下列专门用于求方程(组)数值解的命令: NSolveeqns, vars (*求代数方程(组)的全部数值解*)FindRooteqns, x, x

10、0, y, y0后一个命令表示从点出发找方程(组)的一个近似解,这时常常需要利用图像法先大致确定所求根的范围,是大致在什么点的附近.例15 求方程的近似解 输入 NSolvex3-1= 0, x 输出 -0.5-0.866025ii,-0.5+0.866025ii,1. 输入 FindRootx3-1=0,x, .5 输出 1.下面再介绍一个很有用的命令: Eliminateeqns, elims (*从一组等式中消去变量(组)elims*)例16从方程组 消去未知数y、z.输入Eliminatex2+y2+z2 =1, x2+(y-1)2 + (z-1)2 =1, x + y= 1,y, z

11、 输出 注:上面这个输入语句为多行语句,它可以像上面例子中那样在行尾处有逗号的地方将行与行隔开, 来迫使Mathematica从前一行继续到下一行在执行该语句. 有时候多行语句的意义不太明确,通常发生在其中有一行本身就是可执行的语句的情形,此时可在该行尾放一个继续的记号“”,来迫使Mathematica继续到下一行再执行该语句.五、保存与退出Mathematica 很容易保存Notebook中显示的内容,打开位于窗口第一行的File菜单,点击Save后得到保存文件时的对话框,按要求操作后即可把所要的内容存为 *.nb文件. 如果只想保存全部输入的命令,而不想保存全部输出结果,则可以打开下拉式菜

12、单Kernel,选中Delete All Output,然后再执行保存命令. 而退出Mathematica与退出Word的操作是一样的.六、查询与帮助查询某个函数(命令)的基本功能,键入“?函数名”,想要了解更多一些,键入“?函数名”,例如,输入 ?Plot则输出 Plotf,x,xmin,xmax generates a plot of f as a function of x from xmin to xmax. Plotf1,f2,x,xmin,xmax plots several functions fi它告诉了我们关于绘图命令“Plot”的基本使用方法.例17 在区间上作出抛物线的图

13、形. 输入 Plotx2,x,-1,1则输出 例18 在区间上作出与的图形. 输入 PlotSinx,Cosx,x,0,2Pi则输出 如果输入 ?Plot则Mathematica会输出关于这个命令的选项的详细说明,请读者试之.此外,Mathematica的Help菜单中提供了大量的帮助信息,其中Help菜单中的第一项HelpBrowser(帮助游览器)是常用的查询工具,读者若想了解更多的使用信息,则应自己通过Help菜单去学习.空间图形的画法(基础实验)实验目的 掌握用Mathematica绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力.

14、深入理解二次曲面方程及其图形.基本命令1.空间直角坐标系中作三维图形的命令Plot3D命令Plot3D主要用于绘制二元函数的图形. 该命令的基本格式为Plot3Dfx,y,x,x1,x2,y,y1,y2,选项其中fx,y是的二元函数, x1,x2表示x的作图范围, y1,y2表示y的作图范围. 例如,输入Plot3Dx2+y2,x,-2,2,y,-2,2则输出函数在区域上的图形(图2.1) 图2.1与Plot命令类似, Plot3D有许多选项. 其中常用的如PlotPoints和ViewPoint. PlotPoints的用法与以前相同. 由于其默认值为PlotPoints-15, 常常需要增

15、加一些点以使曲面更加精致, 可能要用更多的时间才能完成作图. 选项ViewPoint用于选择图形的视点(视角), 其默认值为ViewPoint-1.3,-2.4,2.0,需要时可以改变视点.2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D用于作曲面时, 该命令的基本格式为ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,u1,u2,v,v1,v2,选项其中xu,v,yu,v,zu,v是曲面的参数方程表示式. u1,u2是作图时参数u的范围, v1,v2是参数v的范围.例如，对前面的旋转抛物面, 输入ParametricPlot3Du*Cosv,u*Sinv

16、,u2,u,0,3,v,0,2 Pi同样得到曲面的图形(图2.2). 图2.2由于自变量的取值范围不同, 图形也不同. 不过, 后者比较好的反映了旋转曲面的特点, 因而是常用的方法.又如, 以原点为中心, 2为半径的球面. 它是多值函数, 不能用命令Plot3D作图. 但是, 它的参数方程为因此,只要输入ParametricPlot3D2 Sinu*Cosv,2 Sinu*Sinv,2 Cosu,u,0,Pi,v,0,2 Pi便作出了方程为的球面(图2.3).图2.3.用于作空间曲线时,ParametricPlot3D的基本格式为ParametricPlot3Dxt,yt,zt,t,t1,t2

17、,选项其中xt,yt,zt是曲线的参数方程表示式. t1,t2是作图时参数t的范围.例如, 空间螺旋线的参数方程为 输入ParametricPlot3DCost,Sint,t/10,RGBColor1,0,0,t,0,8 Pi则输出了一条红色的螺旋线(图2.4). 图2.4在这个例子中，请读者注意选项RGBColor1,0,0的位置.用于作空间曲线时, ParametricPlot3D的选项PlotPoints的默认值是30, 选项ViewPoint的默认值没有改变.3.作三维动画的命令MoviPlot3D:无论在平面或空间, 先作出一系列的图形, 再连续不断地放映, 便得到动画.例如, 输入

18、调用作图软件包命令12则作出了12幅曲面图, 选中任一幅图形, 双击它便可形成动画.实验举例一般二元函数作图例2.1 (教材 例2.1) 作出平面的图形,其中.输入Plot3D6-2x-3y,x,0,3,y,0,2则输出所作平面的图形（图2.5）. 图2.5如果只要位于第一卦限的部分, 则输入Plot3D6-2x-3y,x,0,3,y,0,2,PlotRange-0,6观察图形. 其中作图范围选项为PlotRange-0,6,而删除的部分显示为一块水平平面（图2.6）. 图2.6例2.2 (教材 例2.2) 作出函数的图形.输入kx_,y_:=4/(1+x2+y2)Plot3Dkx,y,x,-

19、2,2,y,-2,2,PlotPoints-30,PlotRange-0,4,BoxRatios-1,1,1则输出函数的图形2.7. 观察图形, 理解选项PlotRange-0,4和BoxRatios-1,1,1的含义. 选项BoxRatios的默认值是1,1,0.4.图2.7例2.3 (教材 例2.3) 作出函数的图形.输入命令Plot3D-x*y*Exp-x2-y2,x,-3,3,y,-3,3,PlotPoints-30,AspectRatio-Automatic;则输出所求图形（图2.8）. 图2.8例2.4 (教材 例2.4) 作出函数的图形.输入Plot3DCos4x2+9y2,x,

20、-1,1,y,-1,1,Boxed-False,Axes-Automatic,PlotPoints-30,Shading-False则输出网格形式的曲面图2.9, 这是选项Shading-False起的作用, 同时注意选项Boxed-False的作用.图2.9二次曲面例2.5 (教材 例2.5) 作出椭球面的图形.这是多值函数, 用参数方程作图的命令ParametricPlot3D. 该曲面的参数方程为 ().输入ParametricPlot3D2*Sinu*Cosv,3*Sinu*Sinv, Cosu,u,0,Pi,v,0,2 Pi,PlotPoints-30则输出椭球面的图形（图2.10）

21、. 其中选项PlotPoints-30是增加取点的数量, 可使图形更加光滑. 图2.10例2.6 (教材 例2.6) 作出单叶双曲面的图形.曲面的参数方程为 ()输入ParametricPlot3DSecu*Sinv,2*Secu*Cosv, 3*Tanu,u,-Pi/4,Pi/4,v,0,2 Pi,PlotPoints-30则输出单叶双曲面的图形（图2.11）. 图2.11例2.7 作双叶双曲面的图形.曲面的参数方程是其中参数时对应双叶双曲面的一叶, 参数时对应双叶双曲面的另一叶. 输入sh1=ParametricPlot3D1.5*Cotu*Cosv,1.4*Cotu*Sinv,1.3/S

22、inu,u,Pi/1000,Pi/2,v,-Pi,Pi,DisplayFunction-Identity;(*DisplayFunction-Identity是使图形暂时不输出的选项*)sh2=ParametricPlot3D1.5*Cotu*Cosv,1.4*Cotu*Sinv,1.3/Sinu,u,-Pi/2,-Pi/1000,v,-Pi,Pi,DisplayFunction-Identity;Showsh1,sh2,DisplayFunction-$DisplayFunction(*命令Showsh1,sh2是把图形sh1,sh2放置在一起, DisplayFunction-$Displ

23、ayFunction是恢复显示图形的选项*)输出为图2.12.图2.12例2.8 可以证明: 函数的图形是双曲抛物面. 在区域上作出它的图形.输入Plot3Dx*y,x,-2,2,y,-2,2,BoxRatios-1,1,2,PlotPoints-30输出图形略. 也可以用ParametricPlot3命令作出这个图形, 输入ParametricPlot3r*Cost,r*Sint,r2*Cost*Sint,r,0,2,t,0,2 Pi,PlotPoints-30输出为图2.13比较这些图形的特点.图2.13例2.9 (教材 例2.7) 作出圆环,()的图形.输入ParametricPlot3

24、D(8+3*Cosv)*Cosu,(8+3*Cosv)*Sinu,7*Sinv,u,0,3*Pi/2,v,Pi/2,2*Pi;则输出所求圆环的图形（图2.14）. 图2.14例2.10 画出参数曲面的图形.输入命令ParametricPlot3DCosu*Sinv,SinuSinv,Cosv+LogTanv/2+u/5,u,0,4*Pi,v,0.001,2;则输出所求图形(图2.15).图2.15曲面相交例2.11 (教材 例2.8) 作出球面和柱面相交的图形.输入g1=ParametricPlot3D2 Sinu*Cosv,2 Sinu*Sinv,2 Cosu,u,0,Pi,v,0,2 Pi

25、,DisplayFunction-Identity;g2=ParametricPlot3D2Cosu2,Sin2u,v, u,-Pi/2,Pi/2,v,-3,3,DisplayFunction-Identity;Showg1,g2,DisplayFunction-$DisplayFunction则输出所求图形（图2.16）. 图2.16例2.12 作出锥面和柱面相交的图形.输入g3=ParametricPlot3Dr*Cost,r*Sint,r,r,-3,3,t,0,2 Pi,DisplayFunction-Identity;Showg2,g3,DisplayFunction-$Display

26、Function输出为图2.17.图2.17例2.13 画出以平面曲线为准线, 母线平等Z轴的柱面的图形.写出这一曲面的参数方程为取参数s的范围为0, 8. 输入命令ParametricPlot3Dt,Cost,s,t,-Pi,Pi,s,0,8则输出所求图形(图2.18).图2.18例2.14 (教材 例2.9) 作出曲面及面所围成的立体图形.输入g1=ParametricPlot3Dr*Cost, r*Sint,r2,t,0,2*Pi,r,0,1,PlotPoints-30;g2=ParametricPlot3DCost*Sinr,SintSinr,Cosr+1,t,0,2*Pi,r,0,P

27、i/2,PlotPoints-30;Showg1,g2则输出所求图形（图2.19）. 图2.19例2.15 (教材 例2.10) 作出螺旋线()在面上的正投影曲线的图形.所给螺旋线在面上的投影曲线的参数方程为.输入ParametricPlot2t,10Cost,t,-2Pi,2Pi;则输出所求图形（图2.20）. 图2.20注:将表示曲线的方程组, 消去其中一个变量, 即得到曲线在相应于这一变量方向上的正投影曲线的方程, 不考虑曲线所在平面, 它就是投影柱面方程; 对于参数方程, 只要注意将方程中并不存在的那个变元看成第二参数而添加第三个方程即可.例2.16 (教材 例2.11) 作出默比乌斯

28、带(单侧曲面)的图形.输入Clearr,x,y,z;rt_,v_:=2+0.5*v*Cost/2;xt_,v_:=rt,v*Costyt_,v_:=rt,v*Sintzt_,v_:=0.5*v*Sint/2;ParametricPlot3Dxt,v,yt,v,zt,v,t,0,2 Pi,v,-1,1,PlotPoints-40,4,Ticks-False则输出所求图形（图2.21）. 观察所得到的曲面, 理解它是单侧曲面. 图2.21空间曲线例2.17 (教材 例2.12) 作出空间曲线的图形.输入ParametricPlot3Dt*Cost,t*Sint,2*t,RGBColor1.0,0,

29、0.5,t,0,6 Pi则输出所求图形（图2.22）. 图2.22例2.18 绘制参数曲线 的图形.输入命令ParametricPlot3DSint,2Cost,t.2,t,0,12;则输出所求图形(图2.23).图2.23例2.19 绘制参数曲线 的图形.输入命令ParametricPlot3DCost2,1/(1+2*t),ArcTant,t,0,8;则输出所求图形(图2.24).图2.24动画制作例2.20 平面正弦曲线的运动.输入TablePlotSinx+t*Pi,x,0,6 Pi,t,0,2,1/8则作出了16幅具有不同相位的正弦曲线(输出图形略). 双击屏幕上某一幅画, 则可形成

30、动画. 下面是动画的最后一幅图（图2.25）.图2.25例2.21 (教材 例2.13) 作模拟水波纹运动的动画.输入调用软件包命令50,AspectRatio-0.5,ViewPoint-0.911,-1.682,2.791,Frames-12则输出12幅具有不同相位的水面图形, 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 下图是第一幅图（图2.26）.图2.26例2.22 (教材 例2.14) 用动画演示由曲线绕z轴旋转产生旋转曲面的过程. 该曲线绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为 其参数方程为输入Fori=1,i1,AxesLabel-X,Y,Z;则输出连续变化的30幅图形. 双击屏幕上任意

31、一幅图, 均可观察动画效果. 下面是生成旋转曲面的过程中的第23幅图（图2.27）.图2.27例2.23 将一张薄膜贴在的方框上, 薄膜振动的函数取为其中t为参数, 作出图形随t的变动而引起薄膜振动的动画.初始位置是通过t的不同值得到多幅画面, 然后将这些图形连续地一张张显示出来, 即可达到运动的动画效果. 输入命令-8,8,t,0,1.75,0.25;则输出相应动画. 下面动画的最后一幅图（图2.28）. 图2.28附录 大学数学实验指导书项目三 多元函数微积分实验1 多元函数微分学（基础实验）实验目的 掌握利用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元函数极值和

32、条件极值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通过作图和观察, 理解二元函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.基本命令1.求偏导数的命令D命令D既可以用于求一元函数的导数, 也可以用于求多元函数的偏导数. 例如:求对x的偏导数, 则输入Dfx,y,z,x求对y的偏导数, 则输入Dfx,y,z,y求对x的二阶偏导数, 则输入Dfx,y,z,x,2求对的混合偏导数, 则输入Dfx,y,z,x,y 2.求全微分的命令Dt该命令只用于求二元函数的全微分时, 其基本格式为Dtfx,y其输出的表达式中含有Dtx,Dty, 它们分别表示自变量的微分dx,dy. 若函数的表达式中还含有其它用字符表示的

33、常数, 例如a, 则Dtfx,y的输出中还会有Dta, 若采用选项Constants-a, 就可以得到正确结果, 即只要输入Dtfx,y,Constants-a3.在平面上作二元函数的等高线的命令ContourPlot命令的基本格式为ContourPlotfx,y,x,x1,x2,y,y1,y2例如,输入ContourPlotx2-y2,x,-2,2,y,-2,2则输出函数的等高线图(图1.1). 该命令的选项比较多(详细的内容参见光盘中的实验案例库). 如选项Contours-15表示作15条等高线, 选项Contours-0表示只作函数值为0的等高线.图1.1实验举例求多元函数的偏导数与全

34、微分例1.1 (教材 例1.1) 设求输入Clearz;z=Sinx*y+Cosx*y2;Dz,xDz,yDz,x,2Dz,x,y则输出所求结果.例1.2 设求和全微分dz.输入Clearz;z=(1+x*y)y;Dz,xDz,y则有输出再输入Dtz则得到输出例1.3 (教材 例1.2) 设其中a是常数, 求dz.输入Clearz,a;z=(a+x*y)y;wf=Dtz,Constants-a/Simplify则输出结果:(a+xy)-1+y(y2Dtx,Constants-a+ Dty,Constants-a(xy+(a+xy)Loga+xy)其中Dtx,Constants-a就是dx, D

35、ty,Constants-a就是dy. 可以用代换命令“/.”把它们换掉. 输入wf/.Dtx,Constants-a-dx,Dty,Constants-a-dy输出为(a+xy)-1+y(dxy2+dy(xy+(a+xy)Loga+xy)例1.4 (教材 例1.3) 设,求输入 eq1=Dx=Eu+u*Sinv,x,NonConstants-u,v(*第一个方程两边对x求导数, 把u,v看成x,y的函数*)eq2=Dy=Eu-u*Cosv,x,NonConstants-u,v(*第二个方程两边对x求导数, 把u,v看成x,y的函数*)Solveeq1,eq2,Du,x,NonConstant

36、s-u,v,Dv,x,NonConstants-u,v/Simplify(*解求导以后由eq1,eq2组成的方程组*)则输出 其中Du,x,NonConstants-u,v表示u对x的偏导数, 而Dv,x,NonCosnstants-u,v表示v对x的偏导数. 类似地可求得u,v对y的偏导数.微分学的几何应用例1.5 求出曲面在点(1,1)处的切平面、法线方程, 并画出图形.解(1) 画出曲面的图形. 曲面的参数方程为输入命令Clearf;fx_,y_=2x2+y2;p1=Plot3Dfx,y,x,-2,2,y,-2,2;g1=ParametricPlot3Dr*Sinu/Sqrt2.,r*C

37、osu,r2,u,0,2*Pi,r,0,2则输出相应图形(图1.2).图1.2 (2) 画出切平面的图形. 输入命令a=Dfx,y,x/.x-1,y-1;b=Dfx,y,y/.x-1,y-1;px_,y_=f1,1+a(x-1)+b(y-1);g2=Plot3Dpx,y,x,-2,2,y,-2,2;则输出切平面方程为及相应图形(图1.3).图1.3 (3) 画出法线的图形. 输入命令lyx_=1+b(x-1)/a;lzx_=f1,1-(x-1)/a;g3=ParametricPlot3Dx,lyx,lzx,x,-2,2;Showp1,g2,g3,AspectRatio-Automatic,Vi

38、ewPoint-2.530,-1.025,2.000;则输出相应图形(图1.4).图1.4例1.6 (教材 例1.4) 求曲面在点处的切平面方程, 并把曲面和它的切平面作在同一图形里.输入Cleark,z;kx_,y_=4/(x2+y2+1);(*定义函数k(x,y)*)kx=Dkx,y,x/.x-1/4,y-1/2;(*求函数k(x,y)对x的偏导数, 并代入在指定点的值*)ky=Dkx,y,y/.x-1/4,y-1/2;(*求函数k(x,y)对y的偏导数, 并代入在指定的值*)z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k1/4,1/2;(*定义在指定点的切平面函数*)再输入qm=Plot3Dkx,y,