轨迹方程的求法.doc

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1、轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时例1已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线解：设M（

2、x，y），直线MN切圆C于N，则有 ，即 ， 整理得，这就是动点M的轨迹方程若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线；若1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆【巩固练习】1已知两点M(，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P()的轨迹方程为 ( )（B ） (A) (B) (C) (D)2已知A(，0)、B(3，0)，动点P()满足，则点P的轨迹是 ( ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 (D)3.设过点P()的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴相交于A、B两点，点Q与点P关于轴对称，O为坐标原点，若，且，则P点的轨迹方程是 ( ) ( C ) (A)

3、 (B) (C) (D)4已知两定点A(，0)、B(1，0)，如果动点P满足，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( ) (A) (B) (C) (D) （B）已知直线：，直线上任一点A，过A点作的垂线，点B(8，2)，线段AB的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹方程是 ( )（ A） (A) (B) (C) (D)5设、R，常数，定义运算“*”：，若，那么动点P(，)的轨迹是 ( ) （D） (A)圆 (B)椭圆的一部分 (C)双曲线的一部分 (D)抛物线的一部分二、相关点法若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M

4、的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况例2已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线解：设，由题设，P分线段AB的比， 解得.又点B在抛物线上，其坐标适合抛物线方程， 整理得点P的轨迹方程为其轨迹为抛物线【巩固练习】1已知抛物线的方程为，且抛物线上各点与焦点距离的最小值为2, 若点M在此抛物线上运动, 点N与点M关于点A(1, 1)对称, 则点N的轨迹方程为（ ）A B C D （C）2动点P在抛物线上移动，则点P与点连线中点M轨迹方程是_.（）3.如图所

5、示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得：x2+y2=56,这

6、就是所求的轨迹方程.三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现例3若动圆与圆外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（A） （B）（C） （D）解：如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是选（B）例4 （1993年全国）一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（A）抛物线 （B）圆（C）双曲线的一支 （D）椭圆解：如图，设动圆圆心

7、为M，半径为r，则有动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C）1平面内到点、距离之和为的点的轨迹为( )（ D） A椭圆 B一条射线 C两条射线 D一条线段2平面上动点到定点的距离比到轴的距离大，则动点的轨迹方程为( ) （D）A B C或 D或3已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.以上都不对（,B）4设定点、，动点满足条件，则点P的轨迹( ) A椭圆 B线段 C. 不存在 D椭圆或线段（D）双曲线四、参数法若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出

8、x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程例5 （1994年上海）设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t（A）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形解：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得 所以椭圆方程为(2)设点解方程组得 由和得其中t1消去t，得点P轨迹方程为和其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分【巩固练习】1.已知圆x2+y2=4，过A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是 （ ）A、(x2)2+y2=4 B、(x2)

9、2+y2=4(0x1)C、(x1)2+y2=4 D、(x1)2+y2=4(0x1)（B）2.设【解析】解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x0) ，直线AB的方程为x=my+a由OMAB，得m=，由y2=4px及x=my+a，消去x,得y24pmy4pa=0所以y1y2=4pa, x1x2=所以，由OAOB，得x1x2 =y1y2， 所以故x=my+4p,用m=代入，得x2+y24px=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法二 设OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y

10、2=4px得AB的方程为，过定点，由OMAB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法三 设M(x,y) (x0)，OA的方程为， 代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得由OMAB，得 ： M既在以OA为直径的圆： 上，又在以OB为直径的圆 上（O点除外），+得 x2+y24px=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。3.过点A（1，0），斜率为k的直线l与抛物线C：y2=4x交于P，Q两点

11、.若曲线C的焦点F与P，Q，R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程。 【解析】要求点R的轨迹方程，注意到点R的运动是由直线l的运动所引起的，因此可以探求点R的横、纵坐标与直线l的斜率k的关系然而，点R与直线l并无直接联系与l有直接联系的是点P、Q，通过平行四边形将P、Q、R这三点联系起来就成为解题的关键由已知，代入抛物线C：y2=4x的方程，消x得： 、Q ， 解得，设，M是PQ的中点，则由韦达定理可知： 将其代入直线l的方程，得 四边形PFQR是平行四边形， 中点也是中点.又 点R的轨迹方程为评析：1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较

12、难掌握的一类问题。 2.用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。 3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。 4.多参问题中，根据方程的观点，引入 n 个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。 五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程例6已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，

13、则PA：QB：消去t，得当t=2，或t=1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是【巩固练习】1.已知O：x2+y2=a2, A(a, 0), B(a, 0), P1, P2为O上关于x轴对称的两点，则直线AP1与直线BP2的交点P的轨迹方程为 （ D）A、x2+y2=2a2 B、x2+y2=4a2 C、x2y2=4a2 D、x2y2=a22.设A1、A2是椭圆的长轴的两端点，CD是垂直于A1A2的弦的端点，求直线A1C与A2D的交点M的轨迹方程以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围点A和B为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。