第22章一元二次方程全章导学案.doc

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1、个性化导学案 启迪思维 点拨方法 开发潜能 直线提分 22.1一元二次方程（1）学习目标：1 通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义；2 一元二次方程的一般形式及其有关概念；3 使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式；4 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有关概念解决问题学习难点：建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。一 学前准备：1_叫方程； _叫一元一次方程。2我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问

2、题，利用一元一次方程解决实际问题的步骤是：二 探究活动（一） 独立思考解决问题1 剪一块面积为150的长方形铁片，师它的长比宽多5cm，这块铁皮该怎么剪呢？如果铁皮的宽为x（cm），那么铁皮的长为_cm.根据题意，可得方程是：_2 一个数比另一个数小，且这两数之积为6，求这两个数。设其中较小的一个数位x，请列出满足题意的方程_.3正方形的面积是2，求它的边长？_.3 矩形花圃一面靠墙，另外三面所围得栅栏的总长度是19m，如果花圃的面积是24，求花圃的长和宽。_.（二） 师生探究合作交流议一议：1.上面的方程有哪些共同的特点呢？你知道什么是一元二次方程了吗？2结合上面的方程的特点你能够用一个式子

3、表示一元二次方程的一般形式吗？3其中_叫做二次项，a叫做_,bx叫做_,b叫做_.c是常数项。4 下面是一元二次方程吗？（填“是”或“否”） 5 方程：3x(x1)=2(x+2)+8(1) 是一元二次方程吗？如果是一元二次方程请将它转化成一般形式。(2) 如果是，请分别说出它的二次项，一次项，常数项和它各项的系数。(3) 试求的值。练一练：1 下面的方程式一元二次方程吗？如果是，请说出方程中的a,b,c分别是多少？ 2 把下列的方程先转化为一元二次方程的一般形式，再分别写出它各项的系数。三 自我测试1将化为，a，b，c的值分别为（ ）A. 0, 3, 3 B. 1. 3, 3 C. 1, 3,

4、 3 D. 1, 3, 32若方程是一元二次方程，则m的值是（ ）A B. C. D. 3已知方程：；其中一元二次方程的个数是（ ）A0 B. 1 C. 2 D. 34.把方程化成一元二次方程的一般形式，再求出它的二次项系数与一次项系数的和。四 应用与拓展1下列方程中，无论a取何值，总是关于x的一元二次方程的是（ ）A B. C D. 2若是关于x的一元二次方程，求m，n的值。3 当m取任意实数时，判断关于x的方程的类型。 22.1一元二次方程（2）学习目标： 1 理解方程的解，并能利用一元二次方程的解解决简单的数学问题；2 将已学过的方程知识进一步拓展与融合，扩大视野，提高能力；3 感受数学

5、的严谨性以及数学结论的确定性。学习重点：一元二次方程的解的概念学习难点：利用一元二次方程的解解决数学问题一 学前准备1_叫一元二次方程；2_是一元二次方程的一般形式；3_ 叫方程的解。二 探究活动（一） 独立思考解决问题1 已知x=1是一元二次方程的一个解，则m的值是多少？请写出你的思考过程。2 已知关于x的一元二次方程的一个根是0，求m的值。（二） 师生探究合作交流议一议：1 上面题目的解法给你什么启发？我们为什么可以这样去解呢？2 你能否自己给自己编一道类似这样题型的题目呢？并解答出来。3 已知x=1是方程的根，化简；4 已知实数a满足，求的值5 已知m，n是有理数，方程有一个根是，求m+

6、n的值。三 自我测试1若方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. m=2 B. m=2 C. m=2 D. m22如果关于x的方程的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p的值是 （ ） A1 B. 1 C. 2 D. 23.已知m是方程的一个根，则代数式的值为_;4若方程的一个根是2，则k=_;5当k满足条件_时，方程不是关于x的一元二次方程。6若关于x的一元二次方程的常数项为二次项系数的2倍，则一次项系数为_;7.已知是一元二次的解，则=_;四 应用与拓展1 设一元二次方程的两个根分别为，求aP+bQ+cR的值。2 已知a,b是关于x的一元二次方程的两个根，求的值。 22.2一元二次方程的解法

7、（1）学习目标：1 理解一元二次方程降次的转化思想；2 会利用直接开平方法对形如的一元二次方程进行求解；3 发现不同方程的转化式，运用已有知识解决新问题。学习重点：运用开平方法解形如的方程；学习难点：通过根据平方根的意义解形如的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如的方程。一 学前准备：19的平方根是_,用符号表示为_;225的平方根是_,用符号表示为_;3a 的平方根是_;二探究活动：（一）独立思考解决问题1解方程：2解方程：（二）师生探究合作交流议一议：1上述解一元二次方程的方法是什么？它的理论依据是是什么？2方程有实数解吗？为什么？3由第2题你能得到用直接开平方法解一元二次方程需要注意什

8、么呢？4 我们又如何检验我们所解得方程是否正确呢？5 练一练：解方程：6 小明同学在解方程时是这样解的，请同学们看看他的解法对吗？如果是你解，该如何解呢？三 自我测试：1方程的实数根的个数是（ ）A1 B. 2 C. 0 D.以上答案都不对2方程的根是（ ）A B. C. D. 3方程的根是（ ）A. B. C. D. 4方程的根是_.5若方程有整数根，则m的值可以是_(只填一个)6当n_时，方程有根，其根为_.7已知一元二次方程，试用直接开平方法解这个方程。8.一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：，则石头经过多长时间落到地面？四应用与拓展：

9、已知公式。根据上述公式解答下题：已知a是方程的根，求的值。 22.2一元二次方程的解法（2）学习目标：1 会利用配方法熟练，灵活的解一元二次方程；2 通过对计算过程的反思，获得解决新问题的体验，体会在解决问题的过程中所呈现的数学方法和数学思想；3 通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯；4 感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。学习重点：用配方法熟练地解数字系数为1的一元二次方程；学习难点：灵活地用配方法解数字系数不为1的一元二次方程；一 学前准备：1完全平方和公式：_;完全平方差公式：_2这两个公式都有什么共同特点：_3解方程：二 探究活动：（一） 独立思考解决问题试一试：完成

10、下列配方过程解方程：（二） 师生探究合作交流1 上述解方程的方法你知道是什么了吧？它里面蕴含着非常重要的数学思想，你知道是什么了吗？2 那你知道用这种方法解方程时最关键的一步是什么了吗？你能说说你发现了什么没有？3 你能总结出来用这种方法解一元二次方程的步骤吗？4 练一练：（1） 填空（2） 用配方法解下列方程： 三 自我测试1已知一元二次方程，若用配方法解该方程时，则配方后的方程为（ ） A. B. C. D. 2用配方法解方程，应把方程的两边同时（ ） A.加 B.加 C.减 D.减34若是一个完全平方式，则a=_;5用配方法解方程：（1）； （2）； （3）；6用配方法证明：（1）的值恒

11、为正； （2）的值恒小于0四 应用与拓展：阅读理解题阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为解得，当时，；当时，；原方程的解为，解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想（2）解方程 22.2一元二次方程的解法（3）学习目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程； 3.经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力； 4.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。学习重点：求根公式的推导和公式法的应用

12、学习难点：一元二次方程求根公式的推导一 学前准备1 配方法解一元二次方程的关键是_;2 一元二次方程中a=_,b=_,c=_; 3 一元二次方程中a=_,b=_,c=_.4 用配方法解一元二次方程二 探究活动（一） 独立思考解决问题用配方法解一元二次方程；请同学们独立完成此题。（二） 师生探究合作交流由上可知，一元二次方程的根由方程的系数a,b,c而定，因此：（1） 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形，当时，将a,b,c代入式子x=_，就得到方程的根；当时就得到方程无实数根；（2） 这个式子叫做一元二次方程的求根公式；（3） 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；（4） 由求根公式可

13、知，一元二次方程最多有_个实数根。例1：用公式法解下列方程：（1）； （2）练习：把下列方程化成的形式，并写出其中a,b,c的值；三 自我测验1用公式法解方程，下列代入公式正确的是（ ）A. B. C D. 2方程的根是（ ）A B. C. D. 3方程的正根是（ ）4方程的两根=_, =_;5一元二次方程中，=_，若=9，则m=_；6用公式法解方程：四应用与拓展已知实数a,b,c满足：，求方程的根。 22.2一元二次方程的解法（4）学习目标：1.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程； 2.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力； 3.学会和他人合作，并

14、能与他人交流思维的过程和结果。学习重点：应用因式分解法解一元二次方程；学习难点：将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式的因式分解；一学前准备：1.因式分解的定义_;2.因式分解与整式乘法互为_；3.因式分解有如下几种方法，分别是_,_,_;4.对以下整式进行因式分解：5.解下列方程：二探究活动（一）独立思考解决问题思考：(1) x(2x+1)=0; (2) 3x(x+2)=0;问题：（1）你能观察出这两题的特点吗？ （2）你知道方程的解吗？说说你的理由（二）师生探究合作交流因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于零，那么这两个的值就至少有一个为_.即：若ab=0,则_或_。由上述过程我们知

15、道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积形式而另一边等于0时，即可解之。这种方法叫做因式分解法。你能总结出因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？（1）（2）（3）（4）练习：1解方程2 三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. 8 B. 8或10 C. 10 D. 8和183用因式分解法解方程5(x+3)2x(x+3)=0，可把其化为两个一元一次方程_,_求解。三自我测试1方程的根为（ ） A. B. C. D. 2关于方程(xm)(xn)=0的说法中，正确的是（ ）A. xm=0 B. xn=0 C. xn=0或xm=0 D. xn=0且xm=03若与

16、是同类项，则m的值为（ ）A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 2或34关于x的方程ax(xb)(bx)=0 (a0)的根为（ ）Aa或b B. 或b C. 或b D. a或b5方程的根是_;6方程的根是_;7用因式分解法解下列方程：四应用与拓展阅读材料：解方程，我们可以将看作一个整体，然后设=y ，那么原方程可转化为，解得当y=1时，；当y=4时，故原方程的解为解答问题：（1）上述解题过程中，在由原方程得到方程的过程中，利用_法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程： 22.2一元二次方程的解法（5）学习目标：1.会选择利用适当的方法解一元二次方程； 2.体验

17、解决问题的方法的多样性，灵活选择解方程的方法； 3.积极探索不同的解法，并和同伴交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现最优方法，在学习活动中获得成功的体验。学习重点：能根据一元二次方程的结构特点，灵活运用直接开平方法，配方法，公式法及因式分解法解一元二次方程学习难点：理解一元二次方程解法的基本思想一 学前准备1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为_，即_2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：方法名称理论根据适用方程的形式直接开平方法平方根的定义配方法完全平方公式公式法配方法因式分解法两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于03、一般考虑选择方法的顺序是

18、：_法、_法、_法或_法二 探究活动（一） 独立思考解决问题解下列方程： （二） 师生探究解决问题通过对以上方程的解法，你能总结出对于不同特点的一元二次方程选择什么样的方法去解了吗？练习：选择合适的方法解下列方程:三 自我测试1下列方程一定能用直接开平方法解的是（ ） A. B. C. D. 2解方程的最适当的方法应是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D.因式分解法3设a是方程较大的一根，b是方程较小的一根，那么a+b的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 24已知，当A=B时，x的值为（ ） A. x=3或x=1 B. x=3或x=1 C. x=3或x=1 D

19、. x=3或x=15方程的解是_;6已知x+y=7且xy=12，则当x0时，（2）当=0时，（3）当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根。反过来，同样成立，即2小英说：“不解方程”，我也知道它的根的情况，现在你知道她是怎么做的了吧？那我们也来尝试一下。例1：不解方程，判别下列方程根的情况：例2：m为何值时，关于x的一元二次方程；（1） 有两个相等实数根；（2） 有两个不相等的实数根；（3） 无实数根。三 自我测试1方程x2ax+9=0有两个相等的实数根，则a=_2关于x的方程(m+1)x22x(m1)+0 的根的判别式等于，m=_3已知 a、

20、b、c是ABC的三条边，且一元二次方程(ab)x2+2(ab)(bc)=0 有两个相等的实数根，试判断ABC的形状 .4当m为何值时，（1）关于x的方程mx2+(2m3)x+(m+2)=0有两个实数根。（2）关于x的一元二次方程mx2+(2m3)x+(m+2)=0有实数根。（3）关于x的方程mx2+(2m3)x+(m+2)=0有实数根。四 应用与拓展已知关于x的方程和，且，证明：这两个方程中至少有一个实数根。 22.4一元二次方程的根与系数的关系（1）学习目标：1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明成立，使学生理解其理论依据； 2.使学生会运用根与系数关系解决有关问题； 3.培养学生去

21、发现规律的积极性及勇于探索的精神。学习重点：根与系数的关系及推导学习难点：正确理解根与系数的关系一 学前准备解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？x2 + x = 0 x2 + x = 0 x2 x + = 0方程x1x2x1 + x2x1x2二 探究活动（一）尝试探索，发现规律：1若x1、x2为方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1x2与a、b、c有何关系？请你写出关系式2、请用文字语言概括一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？小结： 1如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的

22、两个根是x1，x2，那么x1+x2=_，x1x2=_ 2如果方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p240）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_，x1x2=_；以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是_注意：根与系数的关系使用的前提条件_（二）例题分析例.不解方程，求出方程两根的和与两根的积（直接口答）： x2 + 3x 1= 0x2 + 6x +2= 0 3x2 4x+1= 0 (4)x2 + 3x +3= 0例2.已知关于x的方程x2 + x 6= 0的一个根是2，求另一个根及的值三 自我测试1若关于x的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（ ） A. B. C.

23、D. 2若方程的两根是2和3，则p，q分别为（ ） A. 2,3 B. 1,6 C. 1,6 D. 1,63方程，当m=_时，此方程两个根互为相反数；当m=_时，两根互为倒数。4如果2和是一元二次方程的两根，那么该一元二次方程为_;5一元二次方程的两根为，则=_。6若是方程的两根，且，求k的值。7关于x的方程有两个不相等的实数根。（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。四应用与拓展已知是方程的两个实数根，且。求（1）求及a的值； （2）求的值。 22.4一元二次方程的根与系数的关系（2）学习目标：1.使学生熟练运用根

24、与系数关系解决有关问题； 2.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 3.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。学习重点：根与系数的变式应用学习难点：根与系数延伸式的推导一 学前准备1.应用韦达定理的前提条件是_,内容是_2.不解方程，写出两方程的两根之和与两根之积。3.一般地，以为根的一元二次方程为_;4.已知两个数的和为7，积为12，则以这两个数为根的一元二次方程是_.二 探究活动若是一元二次方程的两根，请大家推导出韦达定理以下的变式：例：设方程的两根分别为，不解方程求出下列各式的值。练习：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，求：（1）k的值；（2）的值。三 自我

25、测试1关于的方程中，如果，那么根的情况是（ ）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 （D）不能确定2设是方程的两根，则的值是（ ）（A）15 （B）12 （C）6 （D）33下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2x（C）x2x+2=0（D）3x22x+1=04以方程x22x30的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A） y2+5y6=0 （B）y2+5y6=0 （C）y25y6=0 （D）y25y6=05如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x122x11，x222x21，那么x1x2等于（ ）（A）2 （B）

26、2 （C）1 （D）16.关于x的方程ax22x10中，如果a0，那么根的情况是（ ）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 （D）不能确定7.设x1，x2是方程2x26x30的两根，则x12x22的值是（ ）（A）15 （B）12 （C）6 （D）38如果一元二次方程x24xk20有两个相等的实数根，那么k 9如果关于x的方程2x2(4k+1)x2 k210有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 10已知x1，x2是方程2x27x40的两根，则x1x2 ，x1x2 ，（x1x2）2 11若关于x的方程(m22)x2(m2)x10的两个根互为倒数，则m .四应用

27、与拓展1如果x22(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，则m= ;2方程2x(mx4)=x26没有实数根，则最小的整数m= ;3已知方程2(x1)(x3m)=x(m4)两根的和与两根的积相等，则m= ;4设关于x的方程x26x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为 ; 5设方程4x27x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值:(1) x12+x22 (2)x1x2（3）（4）x1x22x1 22.5一元二次方程的应用（1）学习目标：1. 使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题2. 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生

28、应用数学的意识。学习重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题学习难点：有关增长率之间的数量关系一 学前准备1（1）原产量+增产量=实际产量（2）单位时间增产量=原产量增长率（3）实际产量=原产量（1+增长率）2（1）某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产_个？增长率是多少 。（2）银行的某种储蓄的年利率为6%，小民存1000元，存满一年连本带利的钱数是 。（3）某厂第一个月生产了彩电m台,第二个月比第一个月产量增长的百分率为x,，则第二个月生产了_台;第三个月比第二个月又增长了相同的百分率,则第三个月的产量为_ 台。二探究活动例1、某钢铁厂去年1月某

29、种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月增长的百分率是多少?分析: 这两个月平均每个月增长的百分率是x,则2月份比一月份增产_ 吨； 2月份的产量是 _吨 3月份比2月份增产_ 吨； 3月份的产量是 _ 吨解：归纳：两次增长后的量=原来的量(1+增长率)反之，若为两次降低，则平均降低率公式为：两次降低后的量=原来的量(1增长率)例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价的百分数？分析：设每次降价的百分数为x第一次降价后，每件为600600x=600（1x）（元）第二次降价后，每件为600（1x）600（1x）x=

30、600（1x）2（元）解：例3 某人想把10000元钱存入银行，存两年。一年期定期年利率6%,两年期定期年利率为6.2%.哪一种存款更划算？例4 2009年我市实现国民生产总值为1600亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1960亿元（1）求全市国民生产总值的年平均增第率（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到1亿元）小结：（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到、总共 季度总和 等词语的关系（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开三自我测试1.某

31、商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是( ) A、9% B、10 C、11 D、122.某商品连续两次降价，每次都降20后的价格为元，则原价是（ ）（A）元 （B）1.2元 （C）元 （D）0.82元3.一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( )A、(1x)2=15% B、(1+x)2=1+15%C、(1x)2=1+15% D、(1x)2=115%4.某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设每年增长率为x，则应列出的方程是_。5.某工厂第一

32、季度生产机床400台，如果每季度比上一季度增长的百分数相同，结果第二季度与第三季度共生产了1056台机床，这个百分数是_6.某工厂计划两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。7.某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率四应用与拓展某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同，每次打了几折？ 22.5一元二次方程的应用（2） 学习目标：1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识学习重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题学习难点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题一学前准备：1. 列方程解应用题的一般步骤是：（）_ ；（）_；（）_；（）_；（）_；（）_。2长方形的周长_,面积_