函数的奇偶性与周期性.ppt

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1、第三节函数的奇偶性与周期性,f(x)f(x),f(x),f(x),原点,y轴,相同,相反,奇函数,偶函数,奇函数,考点1 判断函数的奇偶性【典例1】(1)(2013广东高考)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中,奇函数的个数是()A.4 B.3 C.2 D.1(2)判断下列函数的奇偶性:f(x)=f(x)=f(x)=,【规律方法】判断函数奇偶性的几个方法(1)定义法:,(2)图象法:,（3）利用性质,在公共定义域内，两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数,考点自测5.(2013山东高考)

2、已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2+,则f(-1)=()A.-2 B.0 C.1 D.2,考点2 函数奇偶性的应用,补充例题、设函数,若,则f(-a)=_,A组专项基础训练,考点自测3.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是(),补充例题.(2014北京模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2-x,则f(x)的解析式为.答案:f(x)=,补充例题(2011茂名月考)如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间7，3上是()A增函数且最小值是5B增函数且最大值是5C减函数且最大值是5D

3、减函数且最小值是5,答案：A,【小结】函数的奇偶性在求函数值,求解析式,求解析式中参数的值,画函数图象和判断单调性等方面有着重要应用,是高考命题的一个热点,常与函数的其他性质交汇命题,奇偶性与单调性的综合应用:通关题组4.(2014深圳模拟)已知定义域为(-1,1)的奇函数y=f(x)，且该函数在（0,1）上是减函数,且f(a-3)+f(9-a2)0,则a的取值范围是()A.(,3)B.(3,)C.(,4)D.(-2,3)【解析】选A.,3.函数的周期性(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:T0;_对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周

4、期中存在一个_,那么这个_就叫做它的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).,f(x+T)=f(x),最小的正数,最小的正数,【规律方法】判断函数周期性的三个常用结论(a0),若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有:(1)f(x+a)=-f(x),则函数f(x)必为周期函数,2a是它的一个周期.(2)f(x+a)=则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期.(3)f(x+a)=,则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期.,考点自测6.若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1

5、)=1,f(2)=2,则f(8)-f(14)=_.,考点3 函数的周期性及其应用,补充练习.(2014舟山模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=且f(1)=3,则f(2 014)=_.答案：3,【补充例题】设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x0,2时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数.(2)当x2,4时,求f(x)的解析式.(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2014).,(2)当x-2,0时,-x0,2,由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=

6、-2x-x2,所以f(x)=x2+2x.又当x2,4时,x-4-2,0,所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得x2,4时,f(x)=x2-6x+8.,(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(2014)=f(0)+f(1)+f(2)=0+1+0=1.,2.函数周期性的应用利用函数的周期性,可将其他区间上的求值,求零点个数,求解析式等问题,转化为已知区间上的求值,求零点个数,求解析式等问题,进而求解.,【小结】1.判断函数周期性的两个方法(1)定义法.(2)图象法.,