对数及对数运算(1).ppt
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1、2.2.1 对数与对数运算,第一课时 对 数,1.庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭,问4天还有多少尺?取多少次还有0.03125尺?,设取x次还有0.03125尺,问题提出,()x0.03125,求x=?,2.截止到1999年底,我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么过几年人口数将达到18亿?,13(11)x18,求x=?,即 1.01x,求x=?,设过x年人口数将达到18亿,1.01x,求x=?,()x0.03125,求x=?,对数,知识探究(一):对数的概念,思考1:24 22,16,4,-2,若2x3,则x,苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学过程中,为了简化其中的计
2、算而发明了对数。,满足2x3的x的值,我们用log23表示,即xlog23,并叫做“以2为底3的对数”.,若2x3,则x,log23,log216,log2,log48,思考5:满足,,(其中e=2.71828)的x的值可分别怎样表示?,X=log10N,X=logeN,x=log1.01,思考4:前面问题中,,中的x的值可分别怎样表示?,()x0.03125,x=log 0.03125,恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立并称为17世纪数学三大成就。,但是首先用指数来定义对数的是瑞士数学家欧拉。,思考1:指数与对数有什么关系?,知识探究(二):对数与指数的关系,思考3:当a0
3、,且a1时,loga(-2),loga0存在吗?为什么?由此能得到什么结论?,设loga(-2)=x,则ax=-2,而当a0,且a1时,恒有ax0,设loga0=x,则ax=0,思考4:根据对数定义,logal和logaa和logaan(a0,a1)的值分别是多少?,设loga1=x,则ax=1,所以x=0,得loga1=0,设logaa=x,则ax=a,所以x=1,得logaa=1,设logaan=x,则ax=an,所以x=n,得logaan=n,理论迁移,例1.将下列指数式化为对数式,对数式 化为指数式:(1)54625;(2)26;(3)()m5.73;(4);(5)lg0.01=;(6
4、)ln102.303.,例2.求下列各式中的值:(1)log64x;(2)logx86;(3)lg100=x;(4)lne2.,例3 计算,(1)log 81,(2)log0.30.09,例4:(1)已知a0,且a1时,N0,证明 alogaN=N,练习:(1)计算 2log25=_,(2)已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值。,(3)已知loga3=m,logan=5,则a2m+n=_,第二课时 对数的运算,2.2.1 对数与对数运算,问题提出,1.对数源于指数,对数与指数是怎样互化的?,2.指数与对数都是一种运算,而且它们互为逆运算,指数运算有一系列性质,那么对数运算有那些
5、性质呢?,对数的运算,知识探究(一):积与商的对数,思考2:将log232log24十log28推广到一般情形有什么结论?,思考1:求下列三个对数的值:log232,log24,log28你能发现这三个对数之间有哪些内在联系?,思考3:如果a0,且a1,M0,N0,你能证明等式loga(MN)logaM十logaN成立吗?,思考4:将log232log24=log28推广到一般情形有什么结论?怎样证明?,思考5:若a0,且a1,M1,M2,Mn均大于0,则loga(M1M2M3Mn)?,知识探究(二):幂的对数,思考1:log23与log281有什么关系?,思考2:将log281=4log23
6、推广到一般情形有什么结论?,思考3:如果a0,且a1,M0,你有什么方法证明等式logaMnnlogaM成立,思考4:log2x2=2log2x对任意实数x恒成立吗?,思考6:上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述?,思考5:如果a0,且a1,M0,则 等于什么?,两数积的对数,等于各数的对数的和;两数商的对数,等于被除数的对数减去 除数的对数;幂的对数等于幂指数乘以底数的对数,理论迁移,例1 用logax,logay,logaz表示下列 各式:;(2).,例2 求下列各式的值:(1)log2(4725);(2)lg;(3)log318-log32;(4).,例3 计算:,小结作业:
7、性质的等号左端是乘积的对数,右端是对数的和,从左往右看是个降级运算.性质的等号左端是商的对数,右端是对数的差,从左往右是一个降级运算,从右往左是一个升级运算.性质从左往右仍然是降级运算利用对数的性质可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算,大大的方便了对数式的化简和求值.,作业:P68练习:1,2,3.P74习题2.2A组:3,4,5.,2.2.1 对数与对数运算,第三课时 换底公式及对数运算的应用,问题提出,.,(1)(2)(3),(1);(2);(3).,1.对数运算有哪三条基本性质?,2.对数运算有哪三个常用结论?,3.同底数的两个对数可以进行加、减运算,可以进行乘
8、、除运算吗?,4.由 得,但这只是一种表示,如何求得x的值?,换底公式及对数运算的应用,知识探究(一):对数的换底公式,思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗?,思考1:假设,则,从而有.进一步可得到什么结论?,思考3:一般地,如果a0,且a1;c0,且c1;b0,那么 与哪个对数相等?如何证明这个结论?,思考6:换底公式在对数运算中有什么意 义和作用?,思考5:通过查表可得任何一个正数的常用对数,利用换底公式如何求 的值?,知识探究(二):换底公式的变式,思考1:与 有什么关系?,思考2:与 有什么关系?,思考3:可变形为什么?,理论迁移,例1 计算:(1);(2)(log2125lo
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