《函数单调性》参考课件.ppt

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1、观察这三个图象，你能说说它们分别反映了函数的哪些变化规律吗？,y=x2的图象,图象在y轴左侧“下降”，也就是在区间（-，0上，随着x的增大，相应的f(x)反而减小；,图象在y轴右侧“上升”，也就是在区间（0，+）上，随着x的增大，相应的f(x)也随之增大。,思考：如何利用函数解析式f(x)描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”，“随着x的增大，相应的f(x)随着增大”？,在区间上,任取两个x1，x2(0，+)，得f(x1)=x12，f(x2)=x22，,.,.,x1,x2,f(x1),f(x2),.,.,这时我们就说函数f(x)=x2在区间(0，+)上是增函数。,当x1x2时，,f(x1

2、)f(x2),判断下列函数的单调性和单调区间。（a0）,(-，+),(-，+),增,减,判断下列函数的单调性和单调区间。（a0）,增,减,(-，0)，(0，+),(-，0)，(0，),判断下列函数的单调性和单调区间。（a0）,增,减,减,增,图象是定义在-5，5上的函数f(x)，根据 图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，它是增函数还是减函数。,解：由图象可以看出：函数 y=f(x)的单调区间有-5，-2)，-2，1)，1，3），3，5。,y=f(x)在区间-5，-2)，1，3)是减函数在区间-2，1)，3，5是增函数。,图象是定义在-5，5上的函数f(x)，根据 图象说出函数的单调区间

3、，以及在每一个区间上，它是增函数还是减函数。,思考：如果把在区间-5，-2)，1，3)是减函数 写成x|-5x-2或1x3对吗？为什么？,证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域（0，+）上的任意两个实数，且V1V2，则：,P(V1)-P(V2),由V1，V2(0，+)，得V1V20,由V10,由k0，于是P(V1)-P(V2)0,即P(V1)P(V2),也就是说，当体积V减小时，压强P将增大。,整个上午(8:00-12:00)天气越来越暖，中午时分(12:00-13:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽 了许多。暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉，画出这一天8:00-

4、20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画图象的单调区间。,增区间为:8，12，13，18,减区间为:12，13，18，20,根据图象说出函数的单调区间，以及在每 一单调区间上，函数是增函数还是减函数。,在 上是减函数,在 上是增函数;在 上是减函数,在 上是增函数。,-1，0,0，2,4，5,2，4,证明函数f(x)=2x-3在R上是增函数。,证明：根据单调性的定义，任取x1，x2R，且x1x2,因为f(x1)-f(x2)=(2x1-3)-(2x2-3)=2(x1-x2),因为x1x2，所以x1-x20,即f(x1)-f(x2)0，f(x1)f(x2),所以函数f(x)=2x

5、-3在R上是增函数。,证明：选择区间1，+),根据单调性的定义任取x1，x21，+)，且x1x2,f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1-3)-(-x22+2x2-3),=-(x12-x22)+2(x1-x2),=-(x1-x2)x1+x2-2,函数f(x)=-x2+2x-3，试选择证明以下两个结论。(1)在区间(-，1上是单调递增函数，(2)在区间1，+)上是单调递减函数。,f(x1)-f(x2)=-(x1-x2)x1+x2-2,因为x1x2，,x1，x21，+),且x1x2,所以f(x1)-f(x2)=-(x1-x2)x1+x2-20,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)=-x2+

6、2x-3在区间1，+)上是减函数。,所以x1-x20,所以x1+x22，即x1+x2-20,已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n均有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，且f(0.5)=2，又当x-0.5时，有f(x)0。(1)求f(-0.5)的值；(2)求证：f(x)是单调递增函数。,解：(1)令m=n=0，则f(0)=f(0)+f(0)-1，所以f(0)=1又f(0.5-0.5)=f0.5+(-0.5)=f(0.5)+f(-0.5)-1 所以f(0)=2+f(-0.5)-1，f(-0.5)=f(0)-1=0.,已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n均有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，且f(0.5)=2，又当x-0.5时，有f(x)0。(1)求f(-0.5)的值；(2)求证：f(x)是单调递增函数。,解：(2)设x10，x2-x1-0.5-0.5.又x-0.5时又f(x)0，所以(x2-x1-0.5)0。又f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)-f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(-0.5)-1=f(x2-x1-0.5)0，所以f(x2)f(x1)，所以f(x)在R上为增函数。,