分类计数原理与分步计数原理.ppt

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1、目前我市电话号码有几个数字组成？随着我市电讯事业的不断发展，在不久的将来我市的电话号码就必须升位。这就给我们提出了这样的问题：目前我市最多能提供多少个不同的电话号码？,分类计数原理与分步计数原理(一),问题1:五一期间，某家庭自动旅游，欲从温州去上海，如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从温州到上海共有多少种不同的走法？,分析:从温州到上海有2类方法,.乘火车，3种方法;.乘汽车，2种方法;所以 从温州到上海共有 3+2=5 种不同方法。,探究:如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有 M1 种不同的方法，在第2类方案中有M2种不同的方法，在第3类方案中有M3种

2、不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？,如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？,分类计数原理,一般地,若完成一件事，有 类办法，在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法，在第 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有：,种不同的方法,1)首先要根据具体的问题确定一个分类 标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.,说明,2)各类办法之间相互独立,都能独立的 完成这件事,要计算方法种数,只需将 各类方法数相加,又称加法原理,问题2:后来听说杭州风光别具一格，于是改变行程，要从温州先乘火车到杭州,再于次日从杭州乘

3、汽车到上海，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从温州经杭州到上海共有多少种不同的走法？,第二步,由杭州去上海有2种方法,分析:从温州经杭州去上海有2步,第一步,由温州去杭州有3种方法,所以 从温州经杭州到上海共有3 2=6 种不同的方法。,如果完成一件事情需要 n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？,探究：如果完成一件事需要两个步骤，做第1步 有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？,分步计数原理,一般地，若完成一件事，需要分成 类步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法，做第 步有 种不同的方法，那么完

4、成这件事共有：,种不同的方法.,1）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.,2）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理,说明,明确区别，突出重点 例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书,（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？,(3)从书架上取2本不同种的书,有多少种不同的取法?,（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？,解:(1)从书架上任取1本书,有3类办法:,根据分类计数原理,不同取法的种数是 N=4+

5、3+2=9.答:从书架上任取1本书,有9种不同的取法.,第3类办法是从第3层取1本体育书,第2类办法是从第2层取1本文艺书,第1类办法从第1层取1本计算机书,有4种方法;,有3种方法;,有2种方法.,解：(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,可以分成3个步骤完成:,答:从书架的第1、2、3层各取1本书,有24种不同的取法.,根据分步计数原理,从书架的第1、2、3层各取1本书,不同取法的种数是N=432=24.,有2种方法.,第3步从第3层取1本体育书,第2步从第2层取1本文艺书,有3种方法;,第1步从第1层取1本计算机书,有4种方法;,解：需先分类再分步.根据两个基本原理,不同的取法总数是

6、N=43+32+24=26答:从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法.,（3）从书架上取2本不同种的书,有多少种不同的取法?,联系实际举出两个关于分类计数原理与分步计数原理例子并解答,原理的联系、区别及特点：（小组讨论、共同总结）,分类法：相互独立，每种方法均能 独立完成这件事 分步法：各步骤中的方法相互依存，只有 各个步骤都完成才算完成这件事,：都要有一个确定的标准,分类时要彻底,无交叉,分步时要恰到好处。,:都是有关做一件事情的不同方法的种数的问题。,联系,区别,特点,例3.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不

7、同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,综合应用，探索研究（染色问题）,1,2,3,4,5,6,1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有 N=3 2 11=6 种。,第四步,m4=1 种,第三步,m3=1 种,第二步,m2=2 种,第一步,m1=3 种,引申1:如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少

8、种？,问:若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？,答:它们的涂色方案 种数分别是 0,4322=48,5433=180 种。,如图一,要给,四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为多少?,5434=240种,5444=320种,180种,乘法原理,加法 原理,归 纳 推 理,分 类 讨 论,数学源于生活,数学 用于 生活,小结,分类计数原理与分步计数原理,分类计数原理：针对的是“分类”问题，其各种方法互相独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事。,分步计数原理：针对的是“分步”问题，各个步骤的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才

9、算做完这件事。,都是有关做一件事情的不同方法的种数的问题。,1.在艺术节期间举行一台文艺演出,需在3名教师,8名男生 和5名女生中选出主持人(1)若只需1人主持,有多少种不同的选法(2)若需教师,男生,女生各1人主持,有多少种不同选法(3)若需一名教师,一名学生主持,有多少种不同选法,2.由1,2,3,4,5组成三位数(1)各位上的数字允许重复,三位数共有多少个(2)各位上的数字不允许重复,三位数共有多少个(3)各位上的数字允许重复的三位偶数有多少个,3.(1)有不同的语文书9本,不同的英语书7本,不同的法语书5本,从中选出不属于同一种语言的书2本,不同的选法有_种(2)从4件不同的礼物中选3件送给3位小朋友,每人一件礼物,不同的选法有_种,4.(1)将4封信投入到3个不同的邮筒中去,共有_种不同的选法(2)有4名同学报名参加数,理化竞赛,每人限报一项,则不同的报名方法有_(3)有4名同学获数,理,化竞赛冠军,冠军获得者共有_种可能,5.设M=-1,0,1,N=1,2,3,4,从M,N中各取一个元素作为点 的坐标,则可得不同的点的个数是_,7.用4种不同颜色给如图所示的地图上色,要求相邻两块(有公共边)的颜色不同,共有多少种涂色方法?,6.若x,yN,且x+y6,则有序数对(x,y)有_个,再会！,