初中二年级数学上册第15章整式的乘除与因式分解153整式的除法课件.doc

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1、 多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤： 多项式除以多项式一般用竖式进行演算 （1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐 （2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项 （3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来 （4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止被除式=除式商式+余式 如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明

2、如下：例1 计算规范解法 解法步骤说明：（1）先把被除式与除式分别按字母的降幂排列好（2）将被除式的第一项除以除式的第一项，得，这就是商的第一项（3）以商的第一项与除式相乘，得，写在的下面（4）从减去，得差，写在下面，就是被除式去掉后的一部分（5）再用的第一项除以除式的第一项，得，这是商的第二项，写在第一项的后面，写成代数和的形式（6）以商式的第二项5与除式相乘，得，写在上述的差的下面（7）相减得差0，表示恰好能除尽（8）写出运算结果，例2 计算规范解法 余注 遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；余式的次数应低于除式的次数另外，以上两例还可用分离系数法求解如例2 余8什么是综合除法？由前面

3、的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊如：计算因为除法只对系数进行，和无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）还可以再简化方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略如果再把代数和中的“”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数多项式相除的

4、这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1例1 用综合除法求除以的商式和余式规范解法 商式，余式10例2 用综合除法证明能被整除规范证法 这里，所以综合除法中的除数应是3（注意被除式按降幂排列，缺项补0）因余数是0，所以能被整除当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法例3 求除以的商式和余数规范解法 把除以2，化为，用综合除法但是，商式，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变 商式，余数为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下用除以，得商式，余数为，即 即 除以的商式，余数仍为综合除法与余数定理

5、综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。一、综合除法一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式除以除式得商式及余式时，就有下列等式：。其中的次数小于的次数，或者。当时，就是能被整除。下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算综合除法。例1、用综合除法求除以所得的商和余式。解： 的商是，余式是8。上述综合除法的步骤是：（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。（3）把被除式的第一项的系

6、数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？例2、求的商式Q和余式R。解

7、：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。Q=，R=6。下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。例3、用综合除法求的商Q和余式R。解：Q=，R=。二、余数定理余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀（17301783）发现的。余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。余数定理：多项式除以所得的余数等于。略证：设将x=a代入得。例4、确定m的值使多项式能够被x-1整除。解：依题意含有因式x-1，故。1311。可得17。求一个关于x的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余

8、1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。解：设被除余1，被除和除所得的余数相同，由得，代入得。注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。即：由，可得再由，解得。练习：1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）2、一个关于x的二次多项式，它被x-1除余2，被x-3除余28，它可以被x+1整除，求。3、一个整系数四次多项式，有四个不同的整数，可使，求证：任何整数都不能使。綜合除法：當除式g(x)=x-a時，我們介紹綜合除法去求商式、餘式。【範例】：設f (x)=2x4+x2 -5x，g(x)= x-2，求f(x)除以g(x)的商式、餘式。解

9、：2 x4 + x2 -5x = ( 2x+ 4x + 9x +23 ) ( x 2) +46 綜合除法的原理：設f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0，g(x)=x-b，若存在商式q(x)=c2x2+c1x+c0，餘式r(x)=d。由除法的定義：(a3x3+a2x2+a1x+a0)=( c2x2+c1x+c0)( x-b)+d 經比較係數可得： 上面的關係可寫成以下的形式：當f(x)除以g(x)=ax+b時，我們也可利用綜合除法求餘式r(x)、商式q(x)。由除法的定義：f(x)=(ax+b)q(x)+r(x)=(x+)aq(x)+r(x)可先利用綜合除法求出f(x)除以(x+)的商式q

10、/(x)=aq(x)與餘式r(x)， 而所要求的商式q(x)=，餘式r(x)不變。餘式定理、因式定理除法原理：f (x)= g (x)q(x) + r(x)，deg r(x)deg g(x) 或r(x) = 0餘式定理：多項式f(x)除以x-a的餘式等於f (a)。有關f (a)的求值我們可以利用綜合除法得到。餘式定理推廣：多項式f (x)除以ax+b的餘式等於f (- )。f (a)的雙重意義：(1)多項函數f(x)在x=a的函數值。 (2) 多項式f (x)除以x-a的餘式。範例：二次式ax2+bx-4以x+1除之，得餘式3，以x-1除之，得餘式1，若以x-2除之，所得的餘式為 。解：f(

11、x) = ax2+bx-4，f(-1) =3且f(1) =1由此解得a與b，再求f(2)=18即為所得。範例：試求115-4114-72113-56112+1511+7之值為 。解： f(x) = x-4x-72x-56x+15x +7 利用綜合除法求f(11) = 51範例：設二多項式f(x),g(x)以2x-3x-2除之，餘式分別為3x+2,-4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans：解：f(x) = (2x-3x-2) p(x) + (3x+2) g(x) = (2x-3x-2) q(x) + (-4x+7) f(x)+g(x) = (2x-3x-2)(p(x)

12、+q(x) + (-x+9) = (2x+1)(x-2) (p(x)+q(x) + (-x+9) F(x) = f(x)+g(x) , F() = -() +9 = 範例：f (x)=2x4+3x3+5x2-6，求2x-1除f(x-3)的餘式。解：可令g (x)=f (x-3)，再利用餘式定理。Ans：範例：求多項式(x+3x+2)被x+2x+3除之餘式為何？解：x+3x+2 = (x+2x+3) + (x-1) (x+3x+2)= ( (x+2x+3) + (x-1) ) = (x+2x+3) + 3(x+2x+3)(x-1) + 3 (x+2x+3)(x-1) + (x-1)求多項式(x+

13、3x+2)被x+2x+3除之餘式 = 求多項式(x-1)被x+2x+3除之餘式 = 10x+14範例：試求下列各小題：(1)求多項式f(x)=x7-50x5+8x4-5x3-19x2+41x+6除以(x-1)(x-7)之餘式。(2)設多項式f(x)不低於2次，以x-1除之餘2，以x+2除之餘-1，則以(x-1)(x+2) 除f(x)的餘式為何？(3)設多項式f(x)不低於3次，以x-1除之餘3，以x+1除之餘1，以x-2除 之餘-2，則求以(x-1)(x+1)(x-2)除f(x)的餘式。解：(1) f(x)=x7-50x5+8x4-5x3-19x2+41x+6除以(x-1)(x-7) 也就是f

14、(x)=x7-50x5+8x4-5x3-19x2+41x+6除以x-8x +7 我們可得餘式 11x -29 (2) f(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + ax + b 由f(1) = 2 及f(-2) = -1 我們可以解得a = 1 , b =1 我們可得餘式x + 1 (3) f(x) = (x-1)(x+1)(x-2)Q(x) + ax + bx + c 由f(1) = 3，f(-1) = 1 及f(2) = -2 我們可以解得a = -2 , b =1, c = 4 我們可得餘式-2x +x + 4Ans：(1)11x-29 (2)x+1 (3)-2x2+x+4範例：多項式

15、f(x)以x-3x-4，2x-3x+1除之餘式各為4x-1，2x+7，試求f(x)以 2x-9x+4除之餘式為何？解： f(x) = (x-3x-4) p(x) + 4x-1 = (x-4)(x+1) p(x) + 4x-1 f(x) = (2x-3x+1) q(x) + 2x+7 = (x-1)(2x-1) q(x) + 2x+7 f(4) = 15 且f() =8 f(x) = (2x-9x+4) S(x) + ax +b = (x-4) (2x-1) S(x) + ax +b 利用f(4) = 15 = 4a +b 及 f() = 8 = a +b 我們可解得a = 2，b =7，故f(

16、x)以 2x-9x+4除之餘式為 2x + 7範例：多項式f(x)以x(x-1)除之，餘式為 -x+3，以x(x+1)除之餘式為-3x+3，則f(x) 除以x(x-1)之餘式為何？ 解：f(x) = x(x-1) p(x) + (-x+3) f(x) = x(x+1) q(x) + (-3x+3) f(x) = x(x-1) S(x) + ax+ bx + c 我們有 f(0) = 3，f(1) = 2，f(-1)= 6分別代入 f(x) = x(x-1) S(x) + ax+ bx + c。 可以解得 a = 4, b = -2, c = 3 ，故f(x)除以x(x-1)之餘式為4x-2x+

17、3。範例：多項式f(x)除以x-3得餘式16，除以x+4得餘式-19，則f(x)除以(x-3)(x+4)所得的餘式為？ Ans：5x+1範例：多項式f(x)以x-3x+2除之餘式為3，以x-4x+3除之得餘式為3x，則以x-5x+6除之餘式為？Ans：6x-9範例：以x+2x+3除f(x)餘x+12，以(x+1)除f(x)餘5x+4，則以(x+1)(x+2x+3)除f(x)的餘式為？ Ans：-6x-11x-6範例：用(x-1)2除x10+2所得的餘式為何？ Ans：10x-7 (直接除觀察係數規則即可得)範例：以(x+1)2除x50+1之餘式為 。Ans：-50x-48 (直接除觀察係數規則

18、即可得)因式定理：設f(x)為一多項式，則 x-a 為f(x) 的因式 f(a)=0 。 證明：因為f(x) = (x-a) Q(x) 推廣：ax-b為f(x)的因式 f( )=0範例：因式定理的應用：(1)試問下列何者為f(x)= 4x5+8x4+7x3-22x2-2x+5的因式？ (a)x-1 (b)x+2 (c)2x-1 (d)x-2 (2)設f(x)=x4-2x3+4x2+ax+3之一因式為x-3，求a 之值。範例：設f(x)=4x4-11x3+14x2-10x+3，則下列何者為f(x)之因式？(A)x+1 (B)4x+3 (C)4x-3 (D)3x-2 (E)x-1 Ans：(C)(

19、E)範例：若f(x)=x3-5x2+mx+n有因式x2+x-6，則m+n=？ Ans：24範例：a,b,c為整數，0a7，由例題13可得b-7|f(b)-f(7) b-7|8，且7-a|f(7)-f(a)=77，b-a|f(b)-f(a)=85，再根據這些條件，去求得a的值，a=14，所以歐幾里得出生的年份是西元前350年。最高公因式、最低公倍式定義：設f(x),g(x)為二多項式，若存在多項式h(x)使得f(x)=g(x)h(x)，則稱f(x) 為g(x)的因式或g(x)為f(x)的倍式。符號：f(x)|g(x)。範例：因為x-1=(x-1)(x+x+1)，所以x-1與x+x+1均為x+1的

20、因式，x+1為x-1與x+x+1 的倍式。範例：因為 =，所以x+1，x+2， ，都是的因式。 注意：由上面兩個例子可知，若f(x)|g(x)，則cf(x)|g(x)(c0)。因此就一般而言，只要求出整係數的因式或倍式即可。(2)性質：若設d(x)|f(x)，d(x)|g(x)，則d(x)|m(x)f(x)+n(x)g(x)。公因式與公倍式： 若多項式d(x)同時為多項式f(x),g(x)的因式，則稱d(x)為f(x),g(x)的公因式。 注意：d(x)=c (c0)為任何兩個多項式的公因式。設d(x) 為f(x),g(x)的公因式，則kd(x)(k0)亦為f(x),g(x)的公因式，因此我們

21、通常只取一個代表就行了。 如果多項式f(x),g(x)除了常數以外，沒有其它的公因式，就稱它們互質。 設f(x),g(x)都是非零多項式，如果m(x)同時是f(x),g(x)的倍式，那麼就稱 m(x)為f(x),g(x) 的公倍式。設m(x) 為f(x),g(x)的公倍式，則km(x)亦為f(x),g(x)的公倍式，因此我們通常只取一個代表就行了。範例：設f(x)=4x-1,g(x)=4x+4x+1,h(x)=2x-7x+3。求f(x),g(x)的公因式，g(x),h(x) 的公因式。 因為f(x)=(2x+1)(2x-1)，g(x)=(2x+1)2，h(x)=(2x-1)(x-3)， 所以2

22、x+1,x+，4x+2等凡是k(2x+1)的形式都是f(x),g(x)的公因式。 在g(x),h(x)中，除了常數外沒有其它的公因式，故g(x),h(x)互質。最高公因式、最低公倍式：設f(x),g(x)為兩多項式，如果d(x)是它們公因式中次數最高的，那麼稱d(x)為最高公因式(H.C.F)，符號：(f(x),g(x)=d(x)。 注意 當多項式f(x),g(x)互質時，符號：(f(x),g(x)=1。 最高公因式與公因式一樣，並不是只有一個，不過任兩個最高公因式之間都只差一個常數因式，因此通常所謂兩個多項式的最高公因式，可取它們的任意一個最高公因式。設f(x),g(x)為兩多項式，如果m(

23、x)是它們公倍式中次數最低的，那麼稱d(x)為最低公倍式(L.C.M)，符號：f(x),g(x)=m(x)注意：最低公倍式也不是唯一的，不過它們之間也都只差一個常數因式。H.C.F與L.C.M的求法：因式分解法：範例：f(x)=(x-x+3)(x+4)(x-5)(x+1)，g(x)=(x-x+3)(2x-3)(x+6)(x-5) 則f(x)與g(x)的最高公因式為(x-x+3) (x-5)範例：f(x)=(x-x+3)(x+4)(x-5)(x+1)，g(x)=(x-x+3)(2x-3)(x+6)(x-5) 則f(x)與g(x)的最低公倍式為(x-x+3) (x-5)(x+4)(x+1)(2x+

24、3)(x+6)輾轉相除法：設f(x)，g(x)為二多項式，且g(x)0，則由除法定理可知：恰有兩個多項式q(x),r(x)滿足f(x)=g(x)q(x)+r(x)，其中r(x)=0或deg r(x)deg g(x)。原理：(f(x),g(x)=k(g(x),r(x)。k0範例：以f(x)=x-2x-2x-3x-2，g(x)=x-2x-2x-1為例，求f(x)與g(x)的最高公因式。利用輾轉相除法，求出f(x)與g(x)的H.C.F 為d(x)，則f(x)與g(x)的 L.C.M=。 原理：f(x)g(x)=k(f(x),g(x)f(x),g(x)範例：以f(x)=x-2x-2x-3x-2，g(x)=x-2x-2x-1為例，求f(x)與g(x)的最低公因式。- 11 -