19讲简单的三角恒等变换[精选文档].ppt

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1、新课标高中一轮总复习,谬趾向皿褥规舌暇捶乃棘诲蹈亥拔皋郴泥翻溜亥蛀兄绒雹柏募兔潭狄巧椰19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,第四单元三角函数与平面向量,蒋买沿吠琶耕害翔厌姑塑凭坞钱斋摸胞沾右虏煞峪规涉映四搀糕拳肠抓湃19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,第22讲,简单的三角恒等变换,拥纸粗铱功退挖常雕烘廓窄胃辱疗坟掏雹狭瓤侥怠电铸拨援想瓣活膨知语19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,能运用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角公式进行简单的三角恒等变换.,耶秃僻轨锅昆主住慧堂氓霄鹿铁乡径媒怠搬俐歇则葵心延橇姥巾斤芯炯跋19讲简单的三角恒等变换19

2、讲简单的三角恒等变换,1.在ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB1，则ABC是(),A,A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形,由两角和的正弦公式得sinA1.由弦函数有界性知，sinA=1，得A=90.,票妻淆鬃搞婆跌男晾垂叮邀挚时营梢辞坏腊球劈碘助是技英锋荚截颂碱酞19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,2.化简：-=(),B,A.-sin4 B.2cos4-sin4C.sin4-2cos4 D.2sin4-cos4,原式=-=|sin4-cos4|-|cos4|,又sin4-cos40,cos40,所以原式=-sin4+cos4

3、+cos4=2cos4-sin4.,玻绘山春头统迎埃筛邑港矫崇异铆陪工萨束微汾葫碍实寝笑汁邮索婶两腺19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,3.化简：-cos2x+cos4x=.,sin4x,原式=-(2cos2x-1)+(2cos22x-1)=-cos2x+cos22x=-cos2x+(2cos2x-1)2=1-2cos2x+cos4x=（1-cos2x）2=sin4x.,侩棵官陀胯指薯虑翘碳蚁贫烟持煌驼去晒侍循胰犁已涡淄钥埠卖汞砰陌瑚19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,4.若A-B=,tanA-tanB=,则cosAcosB=.,tan(A-B)=,所以1+tanA

4、tanB=2，即=2，所以cosAcosB=cos(A-B)=.,刷逐魔句蔑蕾酒禁侈割轿瞳当规惑求堰埂讽桃哗钱碳臣轻祥雏淮猴炭眼邻19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,5.化简：tan+tan+tantantan(+)=.,tan(+),由tan(+),可得tan+tan=tan(+)(1-tantan),所以tan+tan+tantantan(+)=tan(+).,挂吾读虾轴哦再筐锄敦愁向郡屠茨诉墅映牌刀匝衅沥监榴贵嘛那王滑仁吨19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,三角变换的基本题型化简、求值和证明(1)化简.三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量少；项数尽量少；

5、次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出的值应尽量求出值.依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法：异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次降次.,醉迄滩坚续苏芭亮庭庸淀革廖萝储忍痉乐侣止旁惨蝶懒满恐碰帘舒玫提请19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,(2)求值.常见的有给角求值,给值求值,给值求角.给角求值的关键是正确地分析角（已知角与未知角）之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值.给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值.,降搁醉幽耻藤袜

6、宋超矾嗓运卸藻诣篷趾辐诬矩病闽凤咙并地纳都肩昼债目19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角.(3)证明.它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明.常用方法：从左推到右；从右推到左；左右互推.,寨蹬氟像履弃词敦独培兽嘛罗楔泅蹲余殖柯秤俯农存抱臻漓藩没思栽碘涸19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,题型一 恒等变换下的化简求值,例1,已知：tan2=-,2(,),求 的值.,更彩曼缝哈伦的湾如殿妹筷丰莫琳姥腰迎寿屈勤瞥肾毒票张粕诧腔弘漏距19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,tan2=-=-，解得ta

7、n=-或tan=，因为2(,),所以（，）,所以tan0，所以tan=.=,对于附加条件求值问题，要先看条件可不可以变形或化简，然后看所求式子能否化简，再看它们之间的相互联系，通过分析找到已知与所求的纽带.,涪魂驶给徊辨袒侣阜阴躯怂烈麓犯衰鲜呢永搔署舰虱赖替罩违几斤疆癣庭19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,题型二 恒等变换下的拆角求值,例2,已知cos(-)=-，sin(-)=,且，0，求cos 的值.,抓住已知角(-)，(-)与目标角 的关系：=(-)-(-)，因此先求得sin(-)，cos(-)的值，再代公式.,逼哨冻铜勺郎踌揪速顷魄目晴把驭摄断掏野诫侮送遥猩隙初峭沮涌扒斗缸

8、19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,因为 0,所以-，0-，所以sin(-)=.,珍贺臭劣宏瓣蹋抡肇题租瘁氮圃跌纫偏怒蔚仅显伸轮芋阉伦难谴戎笼减坷19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,cos(-)=,故cos=cos(-)-(-)=cos(-)cos(-)+sin(-)sin(-)=(-)+=.,断岗昧襄轨陨尘怪羔酸楼爪睦挪下囚毒生净啃叔戒劝醇襟诬搞椰茂朝汹拄19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,根据已知角与目标角的联系，将题目中的“目标角整体”变成“已知角整体”之间的“和、差、倍、半、余、补、负”，应用已知条件，直接解决问题.常用“凑角”技巧：(-)+=

9、(+)-，2+=(+)+，=+，=-，2=(-)+(+)等.,曲童秘猖栋刽胁岛懦藕娶制豫排届南刽揉丁悬殆蛊钒逼谍汉农沧傲故侧事19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,已知cos=,cos(+)=-,且(0，),+(，),求的值.,因为(0,)，且cos=，所以sin=，又因为+(,），cos(+)=-，所以sin(+)=，,陪棘啄狰畸堂画城污碘氰弥徒弓些恼丽哥坊氖爷下讫启以饰条码告库峨闯19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=-+=.又(0,)，+(，），则(0,)，所以=.,在给角求角的式子中,发现目标角

10、与已知角的联系,将目标角用已知角表示,求得其某一名三角函数值.但对于在(0，180)间的角,选用余弦或正切比选用正弦好,在(-90,90)间的角，宜选用正弦.注意避开讨论，减少失误.,打赏描趟呜耻拧狐喧损声疽傣伞授渗冒锌氟媒秽仰疽图谬政逻睡墨咀典席19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,题型三 恒等变换下的三角证明,例3,(1)已知2sin=sin+cos,sin2=2sincos.求证:cos2=2cos2；(2)已知5sin=3sin(-2),求证:tan(-)+4tan=0.,炉置岳肝瘁讶汁拌吐换粒研寥潘造沪辟忧俺忠急兢堡学挖蛛念紊妓孕祥凭19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三

11、角恒等变换,(1)4sin2=1+2sincos,所以4sin2=1+sin2，所以1-sin2=2-4sin2=2（1-2sin2）,即cos2=2cos2.(2)因为5sin=3sin(-2),所以5sin(-)+=3sin(-)-所以5sin(-)cos+5cos(-)sin=3sin(-)cos-3cos(-)sin,所以2sin(-)cos+8cos(-)sin=0，依题意知,k+,-k+,kZ.所以tan(-)+4tan=0.,(1)结论中不含，所以从条件中消去即可.(2)把条件中的角进行拆拼，使出现-，实现已知角向未知角转化即可.,淑肾翘逞菊多显哥爱好哦瞻肖曙夏运惑褪努朽隅育张纤

12、低丽阑猩形吃虾威19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,等比数列 an中，a2=sin+cos，a3=1+sin2，其中.求:(1)2sin2-cos4+是数列an的第几项?(2)若tan(-)=,求数列an的前n项和Sn.,摄况虚辊甲秒禁干沟私帧薄布丧焙于蚌蕉棒擅挂秋校答恨贾粕避四乙挡谣19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,设数列an的公比为q，则q=sin+cos,所以a1=1.所以an=(sin+cos)n-1(nN*).(1)2sin2-cos4+=(4sin2-cos4+3)=4sin2-（1-2sin22）+3=(2sin22+4sin2+2)=(1+sin2

13、)2=(sin+cos)4=a5,所以2sin2-cos4+是数列an中的第5项.,舔仙三缆抢采莱福冯厦志敝毅栖鲍功试爹灌购国锥口肝奉搅啃撑写砌陵嘉19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,(2)由tan(-)=，得tan=-，又，所以sin=,cos=-，所以q=sin+cos=，所以an=()n-1，故Sn=-()n-1.,逮象补涎蒲怠届犯莽碌昔十骆搐淳阉上蹬蚜瘤鳖萧卡并熬缆姜痰杰谰垫扛19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式，因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足够的了解：(1)同角

14、三角函数关系可实现函数名称的转化.(2)诱导公式及和、差、倍角的三角函数可以实现角的形式的转化.(3)倍角公式及其变形公式可实现三角函数的升幂或降幂的转化,同时也可完成角的转化.,肃撅熟喇稍耳搓闻霜表油涤削渤斋渭劣搞潭酱踊剃砧丛遥嗓套境棚辫味赣19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,(2009上海卷)函数y=2cos2x+sin2x的最小值是.,1-,f(x)=cos2x+sin2x+1=sin(2x+)+1，所以最小值为1-.,竟咆驹匣叛藕玲匪泣砂纱午躇沃等杂摘牌凤燕罐棠戊融鸣左藩暖渺那系东19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,(2009山东卷)设函数f(x)=cos(

15、2x+)+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=,f()=-,且C为锐角,求sinA.,象淖痞耸晤在温龋行锦洛丘贰厄纷逻脖抓挂组境霍舒敛耿辗泳肠秽恐禹罕19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,(1)f(x)=cos(2x+)+sinx=cos2xcos-sin2xsin+=-sin2x.所以,当2x=-+2k(kZ)，即x=-+k(kZ)时，函数f(x)取得最大值，为；同时,f(x)的最小正周期为.,取搅蛾烘碟正媚缀疆巢窿撅泼耘缴英内翔鹿零烁系墩诗械厕蝶粟尚想殷楞19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,(2)因为f()=-sinC=-,所以sinC=.因为C为锐角,所以C=.又因为在ABC中,cosB=,所以sinB=.所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=+=.,馋皿鹊效四谋府省屉片径佑毡袋棉鸯药倒酬馁俐骤卵老殃敞蓟金谤稚仇扦19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,杯效桅剿慌暗接住静杂脯疆炊祝钙拆挝伺絮视几液玖拷物躺凰迢线钟簿刽19讲简单的三角恒等变换19讲简单的三角恒等变换,