数学建模——数学与现实间的桥梁.doc

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1、数学建模数学与现实的桥梁摘 要在中学教学中，数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，随着数学教学的不断深入，重视数学知识与现实生活的联系，发展学生的数学应用意识和应用能力，已成为数学教育发展的趋势。本文从加强中学数学建模的重要性入手，着重阐述了开展中学数学建模的重要意义、开展数学建模的一般过程、中学数学教学中如何开展中学数学建模，并对中学数学建模教学作了初步的探讨与思考，也对中学数学建模的前景做了展望。关键词：数学建模；中学数学；模型；思维 1相关的基本概念1.2数学模型所谓数学模型是把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构，称为数学模型。1.2中

2、学数学建模 中学数学建模主要指基于中学范围内的数学知识所进行的建模活动，同其它数学建模一样，它仍以现实世界的具体问题为解决对象，但要求运用的数学知识在中学生认知水平内，专业知识不能要求太高，并且要有一定的趣味性和教学价值 。但是现在中学数学建模已被部分地区以课程形态展现。2 数学建模的的准备 2.1数学建模的一般步骤 数学建模的实质就是应用数学知识将复杂无章的实际问题抽象成符合逻辑的数学关系，然后将所有的数学关系组建成相应的数学模型的过程。建模的一般步骤为：（1）模型准备：了解问题的实际背景，掌握对象的各种信息，弄清现实对象的特征。用数学语言来描述问题。 （2）模型假设：根据实际对象的特征和建

3、模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。 （3）模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）（4）模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。 （5）模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。（6）模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，在次重复建模过程。 （7）模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。数学建模过程可大致用下图

4、表示：模型准备模型假设 模型构成 改进 模型检验模型分析 模型求解 模型应用2.2数学建模应用的基本要求在初中数学教学中数学建模的应用要结合具体的教学内容来对学生进行训练，一般情况下，教师首先需要创设特定的问题情境，然后对相应的问题建立数学模型，最后对可靠模型进行解释、应用与拓展，学生通过对问题的探讨和研究可以实现真正意义上的“做数学”和“用数学”的过程，从而有助于培养学生的数学思维能力以及实际应用能力。中学阶段常见的数学模型有方程模型、不等式模型、函数模型或几何模型、统计模型等。 2.3中学生数学建模能力的培养学生建模能力主要包括两个层面上：一是数学化能力，即将实际问题转化为数学问题的能力，

5、其中包括数学阅读能力，数学抽象能力，转化能力；二是针对转来的数学问题，应用相应的数学知识加以解决的能力。培养学生的建模能力主要从以下几个方面做起：一、课堂教学中渗透建模的思想和方法。（1）能力的形成是长期的工作，培养学生数学建模能力首先应该重视课本中的应用题。新教材编入的数学应用题是根据教材进度和学生知识掌握情况而设，它是对教材基础知识的掌握和发散，因此要认真对待教材。（2）数学知识来自实践并在实践中运用并发展，所以我们要从数学知识的原型出发，引导学生通过观察、分析、概况，得到数学概念。另外，要寻找数学知识的现实、生活原型，使学生可以借助自己的认知主动的构建知识。二、建立数学建模兴趣小组。 （

6、1）通过专题教学的方式让学生尽快的熟悉数学建模的基本知识和方法，尽可能留出更多的时间让学生自由、尽情的发挥； （2）编组时、尽量让学生自愿组成一个学习小组，这样学生能在课余时间更好的进行合作、交流、更新新知识；（3）尽量采用报告交流会的形式进行学生成果展示。这种情况下学生的思、说、写等方便能力都得到充分的锻炼。3、常见初中数学中的模型3.1建立方程模型方程组模型的建立主要是运用数学语言将问题中的相关条件抽象成若干个方程，并且要使其中的未知数能够满足每个方程，然后将这若干个方程组合在一起对问题进行求解。现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系，“方程（组）”模型则是研究现实世界数量关系最基本的数学

7、模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、更清晰认识、描述和把握现实世界。【案例1】一元二次方程中的“平均变化率”问题。为了提高农民收入水平，某县加大了对农村现代化耕种的投资，2009年用于现代技术耕种投资全县共计20万元，2011年投资全县共计28.8万元，求这两年现代化耕种投资的平均增长率。解析：1.问题分析 假设这两年现代化耕种投资的平均增长率为，那么2010年用于绿化的投资额为多少元？那么2011年用于绿化的投资额为多少元？ 2.模型建立 2010年用于绿化的投资额为：。 2011年用于绿化的投资额为：。 根据2011年用于绿化的投资28.8万元， 得到方程 3.对数学模型求解并回归

8、实际问题 解方程可得：；不符合题意，舍去）。 故这两年绿化投资的平均增长率为20%。小结：对于变化率问题的解决，如果设起始数据为，终止数据为，平均变化率为，则经过两次增长或降低后得到方程形式为或者。那么对现实生活中广泛存在的如增长率、储蓄利率、产品购销、工程施工、人员调配等含有等量关系的实际问题，通常都可以通过构建方程(组)模型来解决。3.2 建立不等式（组）模型在现实世界中，正如相等关系一样不等关系也是普遍存在的，如在市场经营、生产决策和社会生活中的估计生产数量、核定价格范围、盈亏平衡分析、投资决策等许多问题中，很难确定（有时也不需要）具体的数值，则可挖掘实际问题所隐含的数量关系，建立不等式

9、（组）模型，进而解决实际问题 【案例2】某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A,B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆。某校八年级（4）班课外小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来。解析：1.问题分析：由题意可得，由甲、乙两种花卉去搭配A、B造型；反而言之搭配A、B两种造型的花卉盆数不能超过甲种花卉总盆数，同时也不能超过乙种花卉的总盆数。2.模型建立：设搭配A种造型x个，则B种造型为（50-x）个

10、，依题意，得：解这个不等式组，得: ;因为x是正整数，所以x可取31，32，33.所以可设计三种搭配方案： A种园艺造型31个，B种园艺造型19个； A种园艺造型32个，B种园艺造型18个； A种园艺造型33个，B种园艺造型17个。小结：通过构建一元一次不等式(组)模型，把实际问题转化为一元一次不等式(组)进行求解，一是要注意正确找出实际问题中的不等关系，二是要注意按照列不等式(组)解应用题的基本步骤(审，设、列、解、答)，求出符合题意的答案.3.3 建立三角模型 在现实中我们经常会遇到如测高、测距、航海、拦水坝、人字架等实际问题，一般说来，这些问题的解决通常可建立三角模型，转化为解三角形问题

11、没 【案例3】如图， 甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16.1海里/小时的速度向东偏南32方向航行，乙船向西偏南58方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向求乙船的速度v（精确到0.1海里小时） OB（参考数据： sin320.53，Cos320.85，tAn320.62，Cot321.60）解析：1.问题分析：由题意知AOB90，要求乙船的速度，得先求OB的长2.模型建立:由题意可得：OA161232.2（海里）， 132，258AOB180（12）90由B在A的正西方向，可得A132又在RtAOB中，tAnA，OBOAtanA32.20.6219.964v1

12、9.96429.98210.0（海里小时）小结：三角模型与人类的生活密切相关，对于运用方程模型等方法不易求解的问题，我们可以尝试用三角模型进行解决，但是建立三角模型解决问题时，需注意角度和边之间的关系。 3.4概率统计模型 统计的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用要接受统计的观念，建立统计模型，最有效的方法是投入到统计的全过程中去，提问题，考虑抽样，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流，评价改进等，并在这个过程中学习和掌握统计的思想方法 【案例4】据报道，某公司的33名职工的月工资如下： 职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数人11215320工资元55

13、00500035003000250020002000（1）请你选择一个统计量（平均数、中位数或众数）来代表这个公司员工的工资水平； （2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？ （3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？简要地说明理由 解析：（1）平均数为(155001500023500130005250032000201500)2091(元)； 从表中可以看出中位数是1500（元），众数是1500（元） 所以，代表这个公司员工的工资水平的应是中位数或众数，这个统计量是1500（元） （2

14、）按（1）中的方法可得新的平均数是3288（元），中位数是1500（元），众数是1500（元） （3）中位数或众数1500(元)更能反映这个公司员工的工资水平 平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的特征数，而这里的1500（元）更有说服力 小结：概率在社会生活及科学领域中用途非常广泛诸如抽奖游戏、彩票中奖、股票走势、球队胜负等问题，常可构建概率模型求解统计的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用 4、数学建模在中心教学中的作用4.1用数学模型解决实际问题便与理论联系实际数学教学中，往往忽视运用数学知识解决实际问题的所谓“掐头去尾烧中断”的教学方法，使得中学数学脱离现实生

15、活。因此，解题中要注意引导学生联系日常生活，把日常生活中的一些实际问题用数学来解决。要重视从实际问题中建立数学模型，解决数学问题，从而解决实际问题这个全过程。通过数学模型方法解题，可以把数学与实际问题沟通起来，互相渗透，互相转化，是数学更深地扎根于实际。4.2用数学模型解决实际问题，能提高学生学习兴趣。数学模型是从实际提炼出来，而后又用之解决问题，可激发学生极大的兴趣；学会了主动学习，学会了去索取自己所要学的知识，对数学有了新的认识，学习数学的兴趣更高了，更自觉了，自然效率也就更高了。4.3用数学模型解决实际问题，有助于培养学生创造思维。在高分下现代中学生应用意识薄弱，动手能力差，虽善于解题，

16、但创造能力差，而运用数学模型解题恰能起到改善作用。数学模型具有激发兴趣趣、求异、探究的特点，使学生思维处于活跃状态；多角度、多层次的观察、认识、思考问题，使学生充分发挥自己的想象力和主观能动性。独立思考，大胆探索积极提出自己的新观点、新思路、新方法。数学建模从特点上说带有探索性，在方法形式上更富有创造性，有助于培养学生的创新思维和创造性能力。综上，通过对实际问题建立有效的数学模型不仅可以加深学生对数学知识和方法的理解和掌握，而且还有助于调整学生的知识结构、深化知识层次。同时，学生也可以通过观察和收集、比较和分析等一系列认识活动来完成建模过程，以充分掌握数学及相关学科的内在联系，从而感受到数学的

17、广泛应用。5、中学数学建模的前景与展望数学以其高度的抽象性、严密的逻辑性以及广泛的应用性，渗透于科学技术以及实际生产、生活的各个领域.90年代初，我国教育界提出了“素质教育”的号召，素质教育要求数学坚持理论实际，教会学生把数学知识运用到实际当中去，分析、解决力所能及的实际问题.建模能力是解题者对各种能力的综合应用，它涉及文字理解能力，对实际的熟悉程度，对相关知识的掌握程度，良好的心理素质，创新精神和创造能力，以及观察、分析、综合、比较、概括等各种科学思维方法的综合应用。运用数学模型解决实际问题，不仅体现了数学的应用价值，而且有助于学生灵活掌握数学知识和技能，它对于实施素质教育有着巨大的推动作用

18、。中学数学建模具有广阔的美好的发展前景，我们的建模教学不应拘泥于形式，受缚于教条。我们应密切关注现实生活，密切结合课本，改变原题，将知识重新分解组合、综合拓广，使之成为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息的问题，这对培养学生思维的灵活性、敏捷性、深刻性、广阔性、创造性是大有益处的。参考文献1张奠宙、宋乃庆.数学教育概论M北京：高等教育出版社，20042徐利治.数学方法论选讲M.华中工学院出版社,19833张楚廷.数学方法论M.湖南科学技术出版社,19894候敏义.数学思维与数学方法论M.东北师范大学出版社,19875刘兆明.中学数学方法论M.湖北教育出版社,19876毛永聪.中学数学创新教法M.学苑出版社, 1999 49(3):483-484, 1980.7孙罗超.建立数学模型解应用题J. 数学通报,1996（12）8单文海.中学数学建模举例 J.数学通报,1997（2）9王迎东.从常见应用性问题看数学建模J.数学通讯,1997（3）10章晓航.借助图形表建模解数学题J.数学通讯,2000（5）11冯永明.中学数学建模的教学构思实践 J.数学通讯,2000（13）12应向明.构造数学模型解题J.数学通讯,2002（5）13美E.A.本德.数学模型引论M.科学普及出版社，1992第 7 页 共7页