任意角的三角函数教学.doc

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1、浅谈任意角的三角函数的教学 教学之余，与同事聊起数学4（普通高中课程标准实验教科书，人民教育出版社A版）第一章中的任意角的三角函数时，都认为该节内容，老师不易向学生讲明白，学生也不大学得明白。教材由复习锐角三角函数-直角坐标中用坐标表示的锐角三角函数-用单位圆表示的锐角三角函数-用单位圆表示的任意角三角函数。以较短的篇幅阐述了任意角的三角函数的含义，至于为什么能用坐标表示这一关键问题，没做详细的推导，将用边长表示的锐角三角函数转变到用坐标表示的任意角的三角函数是本节教学的重难点，如不向学生讲明白，仅让学生记定义，记结论，显然是不大好的，为了讲好讲明白这个问题，我对内容进行了梳理归纳整理。在此，

2、将相应内容写下来，供各位参考，不当之处，祈请不吝赐教。一、 各个象限终边上的点的坐标的性质探究1. 角终边在第一象限内时，见图一，设P1（X1,Y1,）P2（X2,Y2,）为其终边上异于原点O的任意两点，过P1，P2分别作P1A1x轴于A1，P2A2x轴于A2，则易证OA1P1OA2P2, OA1/OA2=A1P1/A2P2=OP1/OP2,OA1/OP1=OA2/OP2,A1P1/OP1=A2P2/OP2,A1P1/OA1=A2P2/OA2, P1,P2在第一象限内，OP1=,OP2=,OA1=X1,OA2=X2,A1P1=Y1,A2P2=Y2, X1/=X2/,Y1/=Y2/,Y1/X1=

3、Y2/X2。由于P1,P2的任意性，设P(X,Y)为角终边上任意一点，则x/ ，y/ ,Y/X值不会改变，与点P的位置无关。2. 角终边在第二象限时，见图二，由OAP1OA2P2得OA1/OA2=A1P1/A2P2=OP1/OP2OA1/OP1=OA2/OP2,A1P1/OA1=A2P2/OA2, P1,P2在第二象限内，OP1=,OP2= ,OA1=-X1,OA2=-X2,A1P=Y1,A2P2=Y2-X1/=-X2/, -Y1/=-Y2/, Y1/-X1= Y2/-X2X1/=X2/, -Y1/=-Y2/, Y1/X1= Y2/X2由于P1,P2的任意性，设P（x,y）为角x终边上任意一点

4、，x/ ，y/ ,Y/X值不会改变，与点P的位置无关。3.角的终边在第三象限时，见图三，有OA1P1OA2P2,得OA1/OA2=A1P1/A2P2=OP1/OP2OA1/ OP1= OA2/ OP2, A1P1/ OA1= A2P2/ OA2, P1,P2在第三象限内，OA1=-X1,OA2=-X2,A1P1=-Y2,OP1=, OP2=X22 + Y22, -X1/=-X2/, -Y1/=-Y2/, -Y1/-X1= -Y2/-X2X1/=X2/, Y1/=Y2/, Y1/X1=Y2/X2由P1,P2的任意性设点P（X,Y）为角x终边上任意一点，则x/ ，y/ ,Y/X值不会改变，与点P的

5、位置无关。当x为第四象限时也有上述结论成立。二、各个轴线角终边上点坐标的特性探究1.当角终边在x轴正半轴时，见图一，设P1（X2,0）,P2(X2,0),(X1,X20)则X1/X1=1= X2/X2，0/X1=0/X2=0，0/ X1=0=0/ X2，由于P1、P2的任意性，P（X，0）为终边上任意一点，则X/X=1，0 /X=0，0/X=0，为定值。2.当角终边在x轴负半轴时， 见图二，设任意两点P1（X1,0）, P2 （X2,0）(X1,X20),则0/Y1=0=0/X1，Y1/Y1=1= Y2/Y2, Y2/0不成立，Y1/0也不成立，即设P(0,Y)为Y轴正半轴任意一点时，0 /Y

6、=0, Y /Y2=1,Y/0无意义。4.同理可得当P(0,Y)(Y0)为Y轴负半轴任意一点时，0 /Y=0，Y/（-Y）=-1,Y/0无意义。综上，无论角终边在哪一个轴上，结论（分母为0的情形除外）与各象限角的情形相同。三、三角函数概念的提出正是由于角终边上任意一点的坐标有上述性质，故引出三角函数反映上述性质。故把sin=y/ ,cos=x/ 2 ,tan=y/x(点p(x,y)为终边上任意一点)叫做角的正弦，余弦，正切。四、例题分析例1.见教材P12，例2.已知角x的终边经过点P0（-3，-4），求角x的正弦，余弦和正切值。显然，sinx=-4/5,cosx=-3/5,tanx=4/3例2.已知角x终边上一点P（3a,4a）（a0）试求sinx,cosx,tanx之值。解：sinx=4a/=4a/（-5a）=-4/5，cosx=3a/-5a=-3/5,tanx=4a/3a=4/3例3.已知角x终边上两点P1（5，10），P1（8，a）则实数a=-解：由三角函数定义，知：5/10=8/a，a=16例4.已知P1（4，a）, P2（3，6-a）在角x的终边上，则实数a=？解：由三角函数定义知：a/4=（6-a）/3, 3a=24-4aa=24/7