22020年应用3.2第2课时导数与函数的极值最值学案文北师大版05053300.doc
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1、第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图像判断极值典例 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y(1x)f(x)的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知,当x0;当2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值,在x2处取得极小值命题点2求函数的极值典例 (2017泉州质检)已知函数f
2、(x)x1(aR,e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,求a的值;(2)求函数f(x)的极值解(1)由f(x)x1,得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,得f(1)0,即10,解得ae.(2)f(x)1,当a0时,f(x)0,f(x)在(,)上是增加的,所以函数f(x)无极值当a0时,令f(x)0,得exa,即xln a,当x(,ln a)时,f(x)0,所以f(x)在(,ln a)上是减少的,在(ln a,)上是增加的,故f(x)在xln a处取得极小值且极小值为f(ln a)ln a,无极大值综上,当a0时,函数f(x
3、)无极值;当a0时,f(x)在xln a处取得极小值ln a,无极大值命题点3根据极值求参数典例 (1)(2017沧州模拟)若函数f(x)x32cx2x有极值点,则实数c的取值范围为_答案解析f(x)3x24cx1,由f(x)0有两个不同的根,可得(4c)2120,c或c.(2)若函数f(x)x2x1在区间上有极值点,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析函数f(x)在区间上有极值点等价于f(x)0有2个不相等的实根且在内有根,由f(x)0有2个不相等的实根,得a2.由f(x)0在内有根,得ax在内有解,又x,所以2a,综上,a的取值范围是.思维升华 函数极值的两类热点问题(1
4、)求函数f(x)极值的一般解题步骤确定函数的定义域;求导数f(x);解方程f(x)0,求出函数定义域内的所有根;列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号(2)根据函数极值情况求参数的两个要领列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解验证:求解后验证根的合理性跟踪训练 (1)函数f(x)(x21)22的极值点是()Ax1 Bx1Cx1或1或0 Dx0答案C解析f(x)x42x23,由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0,得x0或x1或x1.又当x1时,f(x)0,当1x0,当0x1时,f(x)1时,f(x)0,x0,1,1都是f(x)的极值点(2)函数
5、y2x的极大值是_答案3解析y2,令y0,得x1.当x0时,y0;当1x0时,y0.当x1时,y取极大值3.题型二用导数求函数的最值典例 (2017洛阳模拟)已知函数f(x)kln x,k,求函数f(x)在上的最大值和最小值解f(x).若k0,则f(x)在上恒有f(x)0,所以f(x)在上是减少的若k0,则f(x).()若k0,则在上恒有0,由ke,则x0在上恒成立,所以0,所以f(x)在上是减少的综上,当k0,得x1;令f(x)0,得1a,则实数a的取值范围是_答案解析由题意知,f(x)3x2x2,令f(x)0,得3x2x20,解得x1或x,又f(1),f,f(1),f(2)7,故f(x)m
6、in,a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为e3,求f(x)在区间5,)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc,因为ex0,所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同又因为a0,所以当3x0,即f(x)0,当x0时,g(x)0,即f(x)5f(0),所以函数f(x)在区间5,)上的最大值是5e5.思维升华 (1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值
7、情况,画出函数的大致图像,然后借助图像观察得到函数的最值跟踪训练 若函数f(x)x3x2在区间(a,a5)上存在最小值,则实数a的取值范围是()A5,0) B(5,0)C3,0) D(3,0)答案C解析由题意,得f(x)x22xx(x2),故f(x)在(,2),(0,)上是增加的,在(2,0)上是减少的,作出其图像如图所示,令x3x2,得x0或x3,则结合图像可知,解得a3,0)利用导数求函数的最值典例 (12分)已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a0时,求函数f(x)在1,2上的最小值思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f(x)0,f
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