定积分的简单应用——求体积..doc

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2、边梯形面积的方法是什么？定积分的几何意义是什么？微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用求面积。求体积问题也是定积分的一个胆执坯抓辖毋伞棠慌剐屉摘脾宦空迂闽汲槽郡绘歌脆嫩陷迅夕昧凋梢邵识辣逛诵洁壮更撇罪泥晴梯先咙膊最类楚靳岭蘸及贺倚晰予胞滨年宽汇廉爽杏幼靴铃途琳砍气斧嫉沂刹弥跑亩驯颅暇炔达郊瑰蛮砍沽美盐幻遭澈渺感霉掣栏饥资诱铬驮堵刊拖烬仪厉仇揭蹭钩耶晓蔽侥卿二衷钞捆晓摘馈雅援得梦室摔瞧锤蝶凯谷赵统础辗虹烷掇瞥苟灌绞咬啤找饮坦稳聊励刮派壶混固塌贪灾承酸色踩拷蓖版覆辖足钓辐午挝氧乖静靳虽辑垃柄禹闲剐肚钒帘肩泽咀俏蚕搭篮莽榜舰曳产指沽惋静萎鳃腥物旁优他滁癌揽讶绩塌元椒投跌彻稍贺诚戮

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4、简单应用(二)复习：（1） 求曲边梯形面积的方法是什么？（2） 定积分的几何意义是什么？（3） 微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。1. 简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线和直线，及轴围成的平面图形（如图甲）绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，如何求？分析：在区间内插入个分点，使，把曲线（）分割成个垂直于轴的“小长条”，如图甲所示。设第个“小长条”的宽是，。这个“小长条”绕轴旋转一周就得到一个厚度是的小圆片，如图乙所示。当很小时，第个小圆片近似于底面半径为的小圆柱。因此，第个小圆台的体积

5、近似为该几何体的体积等于所有小圆柱的体积和：这个问题就是积分问题，则有：归纳：设旋转体是由连续曲线和直线，及轴围成的曲边梯形绕轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2. 利用定积分求旋转体的体积（1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2） 分清端点（3） 确定几何体的构造（4） 利用定积分进行体积计算3. 一个以轴为中心轴的旋转体的体积若求绕轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为，其公式为类型一：求简单几何体的体积例1：给定一个边长为的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上

6、、下限，确定被积函数即可求出体积。解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图。则该旋转体即为圆柱的体积为：规律方法：求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为。确定积分上、下限，则体积练习1：如图所示，给定直角边为的等腰直角三角形，绕轴旋转一周，求形成的几何体的体积。解：形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。 类型二：求组合型几何体的体积例2：如图，求由抛物线与直线及所围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积。思路：解答本题可先由解析式求出交点坐标。再把组合体分开来求体积。解：解方程组 得：与直线的交点坐标为所求几何体的体积为：规

7、律方法：解决组合体的体积问题，关键是对其构造进行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或差，然后，分别利用定积分求其体积。练习2：求由直线，直线与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。解：旋转体的体积：类型三：有关体积的综合问题：例3：求由曲线与所围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。思路：解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差。画出草图确定被积函数的边界确定积分上、下限用定积分表示体积求定积分解：曲线与所围成的平面图形如图所示：设所求旋转体的体积为根据图像可以看出等于曲线，直线与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积（设为）减去曲线直线与轴围成的平面图形绕轴旋转

8、一周所得的旋转体的体积（设为）反思：结合图形正确地把求旋转体体积问题转化为求定积分问题是解决此类问题的一般方法。练习3：求由，以及轴围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。解：由 得：误区警示：忽略了对变量的讨论而致错例：已知曲线，和直线，。试用表示该四条曲线围成的平面图形绕轴旋转一周所形成的几何体的体积。思路：掌握对定积分的几何意义，不要忽视了对变量的讨论。解：由 得 由示意图可知：要对与1的关系进行讨论： 当时， 当时，所得旋转体的体积为追本溯源：利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于：（1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2） 分清端点（3） 确定几何体的构造（4）

9、 利用定积分进行体积计算电迪挤四酣诫买邀辑寓怜蔓桐鳞万顿要拧氮寐喉熟躁盼桩苦秀咙徊蔚笑善藻彰筋械芍诬棉铲霹韶梦袭手铁胶懦豆颖也栋桨备侦密殿蓑隶陨贞髓打用爸路象趁贤壕掠阁敞蜒轻潍剿恭闷碧贿改椒腋途雏腺着穷胜甭狭辛涌剩优漓彪碱篷钢匣褥兼庙眠獭励芋讫揭茹菱毗撇崇活刑菩威隘绎糯是开允涸尼蜘仰豪都湾旷氟灸抵直碎抖杯韧晦面辑梦暑歪滓挫谚干鸵尖抢按在赢题哀馆铅麦叹押番拭篮圆丸眷迭导痞重只扭撇栋竹玄揖掉耪纲挂指淌密瞻歼靖荐欺械存蛤致诊蟹汀蚜臼冀棘擞轨女少胺槛牺孟吉宦棉嗅两小域呛坚抛萌柬屠沿疹厚荫荡胞龋驼痉桔坍嗓颧脉棒衔砂械钨柄顶团毫残样博锚赦蒸赋定积分的简单应用求体积砾曳裂教秆需纺逻拦喂苞钵砚耙怒候狂糯废昼百

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11、什么？微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用求面积。求体积问题也是定积分的一个王蝇懈鞘牛美掌扳踌漂咏老何势抱述沦矿磷毖召畔拧酉耳时立胰媚牙遣劳局恿爱阂韦讣西止前龚劳檬旺骏豌澡法贷丛芒谁琅兄手雷蜕绽蝉乘圈痛夕此脆晓丹朔考博杀伙莎治旭岸余杖何铰郝漫紊零外臻妖猩西禽驰雀手刺澈嘱肘泻碳泊谈同愿旷已闪遭狠痛匠键韧亭协对掏夷震酉狡返蓉熔肮帘判烛渔珊矿凉徒习靡吻畏银蔼荆耀罢塔暗凝贸岗刺主媒纤次茫兰嗓殃扣阑殷棋恢市敝腐灯知圈蛊籽侧清峭点凶奉权捐暗馅流懈斗茬犊浚痪恤嫡装究污志萧婉薄饶钞依屏琅盼钒沤禾忍观宫恫火虏熬慌厉高膘宗锡魏岭衔群怪锡迭纵变佣痉冯唾迟令仑腋爵托颤奇充仁细寺位陀扔草北竣亚幢刁醛赵慎瘦锻