[初中作文]初一有理巧算精品.doc

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1、有理数运算中的几个技巧有理数的运算是初中数学中的基础运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证下面介绍一些运算技巧 一、 归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等例1 计算： (0.5)(3) + 2.75(7)解法一：(0.5)(3) + 2.75(7) = (0.5 + 2.75) + (37) = 2.254=2 解法二：(0.5)(3) + 2.75(7) =0.5 + 3+ 2.757= (3 + 27 ) + (0.5 + + 0.75 =2评

2、析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法二、 凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率例2 计算：19299399949999解：19299399949999=201300140001500001= (20300400050000)4= 543204= 54316在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、整百、整千等数，这样便于迅速得到答案三、 变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运

3、算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算例3 计算：4()()6解：4()()6 = 4()()6= 46()()= 11()= 10评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的 四、 逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快例4 计算：17.4837174.81.98.7488解：17.4837174.81.98.7488 =17.4837(17.4810)1.917.4844=17.483717

4、.481917.4844= 17.48(371944)= 1748评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率五、 巧拆项把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷例5 计算20051001解：2005= (20041)(10021)= (20031001)()=1003评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决六、 变量替换通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用例6 计算(0.125)解：设a =，

5、b = 0.125，c =，则(0.125)= (b)= 1评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：，0.125，因此，采用变量替换就大大减少了计算量七、 分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算例7 计算：2345678966676869解：2345678966676869= (2345)(6789)(66676869)= 0000= 0评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题八、 倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化例8 计算 ()()()()解：把式括号内倒序后，得：(

6、)()()()， 得：12345859 = 1770，()()()() =(1770) = 885评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度九、 添数配对例9 计算111921993199941999951999996199999971999999981999999999解：添上987654321，依次与各数配对相加，得：111921993199941999951999996199999971999999981999999999= 20200210210210(987654321)= 222222222045= 2222222175评析：添数配对实质上也是一种凑

7、整运算十、 整体换元对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果例10 计算1解；设1= x，则()，得=x， ，得1=x，解得x =，故1=评析：整体换元可以避开局部细节的麻烦，它利用前后项之间的倍数关系，使用的是错位相加法有理数运算技巧十五招6- -一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。例1 计算：。解：原式 。二、凑整将和为整数的数结合计算。例2 计算：。解：原式 。三、对消将相加得零的数结合计算。例3 计算：。原式 。四、组合将分母相同或易于通分的数结合。例4 计算：。解：原式 。五、分解将一个数分解成两个或几个数之和

8、的形式，或分解为它的因数相乘的形式。例5 计算：。 原式 六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。例6：计算：例8 计算：解：原式 。七、变序运用运算律改变运算顺序。例8 计算：解：原式 。八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。解：原式 。九、逆用正难则反，逆用运算律改变次序。例11 计算： 。解：原式 。十、观察根据0、1、在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0、1或的部分优先计算。例12 计算：。解：，。原式。十一、变量替换通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用例6 计算(0.125)解：设a =，b

9、= 0.125，c =，则(0.125)= (b)= 1评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：，0.125，因此，采用变量替换就大大减少了计算量十二、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化例8 计算()()()()解：把式括号内倒序后，得：()()()()， 得：12345859 = 1770，()()()() =(1770) = 885评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度 十三、添数配对例9 计算111921993199941999951999996199999971999

10、999981999999999解：添上987654321，依次与各数配对相加，得：111921993199941999951999996199999971999999981999999999= 20200210210210(987654321)= 222222222045= 2222222175评析：添数配对实质上也是一种凑整运算十四、整体换元对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果例10 计算1解；设1= x，则()，得=x， ，得1=x，解得x =，故1=十五、分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算例

11、7 计算：2345678966676869解：2345678966676869= (2345)(6789)(66676869)= 0000= 0评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题 有理数的运算技巧有理数的运算是初中代数运算中的基础运算，它有一定规律和技巧。只要认真分析和研究题目的内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高。一. 巧用运算律例1. （第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题）求和 二. 巧用倒序法例2. 计算三. 巧用拆项法例3. （第六届“祖冲之杯”数学竞

12、赛题）计算_四. 巧用反序相加减的方法例4. （第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）计算_五. 巧用缩放法例5. 求的整数部分。六. 巧用整体换元法例6. （广西2012年初一数学竞赛决赛题）计算七. 巧用倒数法例7. 计算八. 巧用添项法例8. 计算九. 巧用配对的方法例9. （第六届“华罗庚杯”数学竞赛复赛试题）与相比较，哪个更大？为什么？十. 巧用凑整法例10. 计算：同步练习题：计算下列各式：1. 2. 3. 4. 5. 6. 计算7. 计算8. 计算：9. 计算10. 计算：有理数的运算技巧答案一. 巧用运算律例1. （第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题）求和 分析：由加法

13、交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。解：原式二. 巧用倒序法例2. 计算解：设，把等式右边倒序排列，得将两式相加，得即，所以所以原式4005三. 巧用拆项法例3. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题）计算_分析：直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为，而同理，那么本题就不难解决了。解：原式说明：形如的分数，可以拆成的形式。四. 巧用反序相加减的方法例4. （第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）计算_分析：把括号中的各项倒序排列后，再与原式相加，把分数相加变为整数相加，运算变得简单易行。解：设又两式相

14、加得又上面两式相加得故S612.5五. 巧用缩放法例5. 求的整数部分。分析：直接进行计算较繁，若想到利用缩、放的方法，可快速估算出值的范围。缩放法是“求整数部分”以及相关题型的常用方法。解：原式原式即1原式1.9，所以所求整数部分是1。六. 巧用整体换元法例6. （广西2005年初一数学竞赛决赛题）计算分析：本题目从结构上看相当繁琐，因此要选择恰当的方法进行计算。不妨巧用整体换元法，那么本题就不难解决了，计算就简便了。解：令则原式七. 巧用倒数法例7. 计算分析：因为与互为倒数，而比较容易计算，故此题只需先计算出后部分的结果即可。解：因为所以原式八. 巧用添项法例8. 计算分析：观察算式的特

15、征，发现将算式添上9，8，7，6，5的和，利用加法结合律可以使运算简便快捷。解：原式九. 巧用配对的方法例9. （第六届“华罗庚杯”数学竞赛复赛试题）与相比较，哪个更大？为什么？解：设构造对偶式那么而AB，所以即十. 巧用凑整法例10. 计算：分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。解：原式同步练习题：参考答案：1. 112. 3. 32 4. 5. 6. 20047. 24552 8. 1005507.5 9. 12.810. 1、 扩大或缩小“凑整”。 例如：【分析】根据“一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变”的道理，

16、进行适当变换，再提取公因数，进而凑整求和。 999778+333666=11353735 =999778+3333222=11351115 =999778+999222 =（113111）5 =999(778+222) =10 =9991000 =999000有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性 1括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号

17、，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单例1 计算下式的值：211555+445789+555789+211445例2 在数1，2，3，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？2用字母表示数我们先来计算(100+2)(100-2)的值：这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=_于是我们得到了一个重要的计算公式_这个公式叫_公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算例3 计算 30012999的值练习1 计算 1039710009的值 练习2 计算：练习3 计算：(2

18、+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)练习4 计算：3观察算式找规律例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88例5 计算1+3+5+7+1997+1999的值 例6 计算 1+5+52+53+599+5100的值例7 计算：练习一1计算下列各式的值： (1)-1+3-5+7-9+11-2009+2011；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+99+100； (3)19911999-19902000；(4)

19、4726342+4726352-472633472635-472634472636；(5) (6)1+4+7+244；(7) (8)2某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85有理数的巧算答案例1 计算下式的值：211555+445789+555789+211445分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算解 原式=(211555+211445)+(445789+555789) =211(

20、555+445)+(445+555)789 =2111000+1000789 =1000(211+789) =1 000 000说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧例2 在数1，2，3，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性在1，2，3，1998中有19982个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+

21、3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0这启发我们将1，2，3，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非负数是1说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化例3 计算 30012999的值解 30012999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，

22、86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算所以总分为9020+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)20=89.95例5 计算1+3+5+7+1997+1999的值 分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算

23、式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999 再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+3+1 将，两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500个2000)=2000500从而有 S=500 000例6 计算 1+5+52+53+599+5100的值分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将

24、使差易于计算 解 设S=1+5+52+599+5100， 所以5S=5+52+53+5100+5101 得4S=5101-1，例7 计算：分析 一般情况下，分数计算是先通分本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法 解 由于 所以说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用最常用的分数的速算和巧算（1）在计算分数的加减时，有一些分数计算题按照常规方法计算会很复杂，此时可以通过观察考虑将其中一些分数拆开，使得拆开后的一些分数相互抵消，已达到简算的目的，这些就是拆项法或裂项法

25、。以下是一些常用公式。1- 例如：-2（-）例如：（-）3- 例如：-4.计算； + 原式=+ =（1-）+（-）+（-） =1- =本题属于“-”的类型。5计算； + + 原式=（-）+(-)+(-)+(-) =(1-+-+-) =(1-) =本题属于“（-）”的类型。6. 计算；+原式=+ =2（+） =2（-+-+-+-） =本题属于“-”的类型。7练习题。（1）+（2）+(3) +(4) +希望同学们通过（2）的学习，对于速算和巧算有更深的认识，在（3）里我们还会学到更多的关于速算和巧算的知识。 参考答案(1) (2) （3）(4) 原式=(+) =(+) =(-) =- = 最常用的

26、巧算和速算方法(2)在（1）和（2）中介绍了不少关于巧算和速算方法，在（3）中同学们会学到更多的关于巧算和速算方法，希望同学们认真学习。【公式法】在运算过程中，同学们可以根据数的特点与数之间的特殊关系，恰当，准确，灵活地运用公式，已达到简便计算的目的。记住以下公式：1。.1+2+3+n 2.1+2+3+n =n(n+1)（2n+1）6 =(1+2+3+n)3a- b=（a+b）（a-b）4计算： 1+2+3+50 =50（50+1）（502+1）6 =2575506 =42925本题属于“.1+2+3+n”的类型。5计算： 1+2+3+15 =(1+2+3+n) =120 =14400本题属于

27、“. .1+2+3+n”的类型。6计算: 1995- 1994 =(1995+1994)(1995-1994) =39891 =39897练习题。（1）(2) 1+2+3+25 （3） 1+2+3+25 参考答案（1）1995(利用a- b=（a+b）（a-b）) （2）5525 (3)105625初一奥数练习题一甲多开支100元，三年后负债600元求每人每年收入多少？ S的末四位数字的和是多少？4一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程5求和：6证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数8若两个整数x，y使x2+xy+y

28、2能被9整除，证明：x和y能被3整除9如图195所示在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点求证：PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半解答：所以 x=5000(元)所以S的末四位数字的和为1995=243因为 a-b0，即ab即当ba0或ba0时，等式成立4设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米依题意则有由有2x+y=20， 由有y=12-x将之代入得 2x+12-x=20所以x=8(千米)，于是y=4(千米)5第n项为所以6设p=30qr，0r30因为p为质数，故r0，即0r30假设r为合数，由于r30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5再由p=

29、30qr知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾所以，r一定不是合数7设由式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)可知m4由，m0，且为整数，所以m=1，2，3下面分别研究p，q(1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解(3)若m=3时，有解之得故 pq=88因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy由题设，9(x2+xyy2)，所以3(x2xyy2)，从而3(x-y)2因为3是质数，故3(x-y)进而9(x-y)2由上式又可知，93xy，故3xy所以3x

30、或3y若3x，结合3(x-y)，便得3y；若3y，同理可得，3x9连结AN，CN，如图1103所示因为N是BD的中点，所以上述两式相加另一方面，SPCD=SCNDSCNPSDNP因此只需证明SANDSCNPSDNP由于M，N分别为AC，BD的中点，所以SCNP=SCPM-SCMN =SAPM-SAMN=SANP又SDNP=SBNP，所以SCNPSDNP=SANP+SBNP=SANB=SAND初一奥数练习题二1已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x2000的值2某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元

31、，每天就少卖出10件试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3如图196所示已知CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，12=90求证：DAAB4已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为求a2b2c2的值5求方程xy-2x+y=4的整数解6王平买了年利率7.11的三年期和年利率为7.86的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22)7对k，m的哪些值，方程组 至少有一组解？8求不定方程3x4y13

32、z=57的整数解9小王用5元钱买40个水果招待五位朋友水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：1原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x131-2x+2000=20032原来每天可获利4100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4x)元，但每天卖出为(100-10x)件如果设每天获利为y元，则y (4x)(100-10x)=400100x-40x-10x2=-10(x2-6x9)90400=-10(x-3)2490所以当x=3时，y最大=490元，即

33、每件提价3元，每天获利最大，为490元3因为CE平分BCD，DE平分ADC及12=90(图1104)，所以ADCBCD=180，所以 ADBC又因为 ABBC，由， ABAD4依题意有所以a2+b2+c2=345xy-2x+y=4，即 x(y-2)+(y-2)=2，所以(x+1)(y-2)=2因为x10，且x，y都是整数，所以所以有6设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则因为y=35000-x，所以 x(10.07113)(10.0522)2+(35000-x)(1+0.07865)=47761，所以 1.3433x48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，

34、所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)7因为 (k1)xm-4， m为一切实数时，方程组有唯一解当k=1，m=4时，的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解当k=1，m4时，无解所以，k1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解8由题设方程得z3m-yx=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m原方程的通解为 其中n，m取任意整数值9设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则消去y，得12x-5z=180它的解是x=90-5t，z=180-12t代入原方程，得y=-23017t故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t x

35、=20，y=8，z=12因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有123+456=2120个初一奥数练习题三1解关于x的方程2解方程其中abc03求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和4液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72，求桶的容量5满足-1.77x=-2x的自然数x共有几个？这里x表示不超过x的最大整数，例如-5.6=-6，3=36设P是ABC内一点求：P到ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围7甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离8黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到1