最新一元二次方程的解法基础训练及一元二次方程知识点优秀名师资料.doc

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1、一元二次方程的解法基础训练及一元二次方程知识点2=n,下列说法正确的是 6.关于x的方程(x+m)2A.有两个解x=?n 1.方程x=16的根是x=_,x=_. 1222.若x=225，则x=_,x=_. 12B.当n?0时，有两个解x=?n,m 23.若x,2x=0，则x=_,x=_. 122n,mC.当n?0时，有两个解x=? 4.若(x,2)=0，则x=_,x=_. 1225.若9x,25=0，则x=_,x=_. 12D.当n?0时，方程无实根 2226.若,2x+8=0，则x=_,x=_. 127.方程(x,2)=(2x+3)的根是 27.若x+4=0，则此方程解的情况是_. 1A.x

2、=,x=,5 B.x=,5,x=,5 1212238.若2x,7=0，则此方程的解的情况是_. 12C.x=,x=5 D.x=5,x=,5 9.若5x=0，则方程解为_. 12123210.由7，9两题总结方程ax+c=0(a?0)的解的情况是:三、解方程 0时_;当ac=0时_;当ac,22(1)x=4 (2)x=16 当ac,0时_. 二、选择题 21.方程5x+75=0的根是( ) 22(3)2x=32 (4)2x=82. A.5 B.,5 C.?5 D.无实根 22.方程3x,1=0的解是( ) 1 A.x=? B.x=?3 3 223(5)(x+1)=0 (6)2(x,1)=0 3C

3、.x=? D.x=? 3 23.方程4x,0.3=0的解是( ) 1x,0.075A. B. x,30 2022=1 (7)(2x+1)=0 (8)(2x,1)x,0.27x,0.27C. 12 11 D. x,30x,30122020 5724.方程=0的解是( ) x, 22122(9) (2x+1)=3 (10) (x+1),144=0 357772A.x= B.x=?C.x=?D、x=? 5555 2 5.已知方程ax+c=0(a?0)有实数根，则a与c的关系是( ) A.c=0 B.c=0或a、c异号 C.c=0或a、c同号 D.c是a的整数倍 1 22(3)x,x+6=0 (4)x

4、-6x+8=0 一、填空题 221. =_，a的平方根是_. a 22、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再2.用配方法解方程x+2x,1=0时 2写成(x+m)=n的形式 ?移项得_ 122(1)2x+3x,2=0 (2)x+x,2=0 ?配方得_ 42即(x+_)=_ ?x+_=_或 x+_=_ ?x=_,x=_ 123.用配方法解下列方程 23.用配方法解方程2x,4x,1=0 22(1)x+5x,1=0 (2)2x,4x,1=0 ?方程两边同时除以2得_ ?移项得_ ?配方得_ ?方程两边开方得_ ?x=_,x=_ 1222x，3x,1,02(3) (4) xx-+=4304、

5、为了利用配方法解方程,6xx,6=0，我们可移项得_，方程两边都加上_，得 _，化为_.解此方程得 x=_，x=_. 12 5、填写适当的数使下式成立. 22 x+6x+_=(x+3) ?221?x,_x+1=(x,1) 2(5). (6) x(x，2),24x,x,1,022?x+4x+_=(x+_) 2二、选择题 21、一元二次方程x,2x,m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为( ) 222A.(x,1)=m+1 B.(x,1)=m,1 22C.(x,1)=1,m D.(x,1)=m+1 22、用配方法解方程x+x=2，应把方程的两边同时2( ) x,4(x,1),5(7) (8) y

6、(y，1),121111A.加 B.加 C.减 D.减 4242三、解答题 21、列各方程写成(x+m)=n的形式 112222(1)x,2x+1=0 (2)x+8x+4=0 (9) (10) x，x,0y，22y,4,036 2 22(13)4x+4x,1=0 (14)2x,4x,1=0 22(1)x+4x,4=0 (2)x,4x,4=0 122(15) (16) 2360xx+-=xx-+=320 222 (3) (4) xx-+=320xx+-=3100222(17). (18) 2+10xx-=xx(4)12+= 3322 (5). (6) xx(4)12+=xx-=103 222(1

7、9) (20) xx-=4(2)5yy(-3)2=2xx-=4(2)5(7) (8) yy(3)28+=531322(21) (22) xx+-=210yy+-=32101122(9) (10) x，x,0y，22y,4,04436 2(23) ()()xx-34-390+-=1122(11) (12) yy+-=2310xx+-=0 63 3 622=2，x= D(x=x=, C(x121222222213.(m,n)(m,n,2),8=0，则m,n的值是 ( ) 一、填空题 21(一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)，A(4 B(,2 C(4或,2 D(,4或2 2当b-4

8、ac?0时，它的根是_，当b-4ac0时，三(解下列方程; 方程_( 22226=0yy+-1、 2、 2(方程ax+bx+c=0(a?0)有两个相等的实数根，则231=0xx+有_，若有两个不相等的实数根，则有_，若方程无解，则有_( 2 3(若方程3x+bx+1=0无解，则b应满足的条件是_( 24(关于x的一元二次方程x+2x+c=0的两根为 _(c?1) 225(用公式法解方程x=-8x-15，其中b-4ac=_，23、 4、 6=11-3xx(x-2)(x-3)=4x=_，x=_( 1226(已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm，则 此长方形的周长为_( 二选择题 2 7(一

9、元二次方程x-2x-m=0可以用公式法解，则m=( )( A(0 B(1 C(-1 D(?1 2(用公式法解方程4y=12y+3，得到( ) 8 22,3636,4172=0xx+-5、 6、 635=0xx+-A(y= B(y= 22323,323C(y= D(y= 22 2 9(已知a、b、c是?ABC的三边长，且方程a(1+x)2+2bx-c(1-x)=0的两根相等，则?ABC为( ) A(等腰三角形 B(等边三角形 C(直角三角形 D(任意三角形 2210(不解方程，判断所给方程:?x+3x+7=0;?x+4=0;22227、 8、x-2x+1=0 ()5-18=13xx-?x+x-1

10、=0中，有实数根的方程有( ) A(0个 B(1个 C(2个 D(3个 211.用公式法解方程4x,12x=3，得到( ) ,3636,22A(x= B(x= ,323323, 22C(x= D(x= 2122 9、 0.4x-0.8x=1 10、y+y-2=1 33232212.方程x+4x+6=0的根是( ) 322A(x=，x= B(x=6，x= 1212 4 22 2、 1、 6=xx2-3=0xx 3、 4、 4(3+)7(3+)xxx=xxx(3)3(3)-=-一、填空题 1、填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程 解:3x(x+5)_=0 (x+5)(_)=0 x+5=_或

11、_=0 x=_,x=_ ?1244225、 6、 4-12x-9=0xy-y+=02392、用因式分解法解方程9=x,2x+1 (1)移项得_; (2)方程左边化为两个平方差，右边为零得_; (3)将方程左边分解成两个一次因式之积得_; 4)分别解这两个一次方程得x=_,x=_. (123x(x+1)=0的解是 ; 、 22224、3x(x,1)=0的解是 ; 7、 8、 (2xx-1=9)()()xx-3=25+45、(x,1)(x+1)=0的解是 ; 6、(2x,1)(x+1)=0的解是 ; 27、x16x=0的解是 ; 2 8、x+8x+16=0的解是 ; 二、选择题 222221.方程

12、x,x=0的根为( ) 16-3(4)xx=+9、 10、 ()xx-3=-9A.x=0 B.x=1 C.x=0,x=1 D.x=0,x=,1 1212 2.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( ) A.(2x,2)(3x,4)=0 ?2,2x=0或3x,4=0 B.(x+3)(x,1)=1 ?x+3=0或x,1=1 C.(x,2)(x,3)=2?3 ?x,2=2或x,3=3 D.x(x+2)=0 ?x+2=0 3.方程ax(x,b)+(b,x)=0的根是( ) 221(-3)+436xx=11. 12. (-3)2(2)xx(x+2)=+A.x=b,x=a B.x=b,x= 1212a

13、122C.x=a,x= D.x=a,x=b 1212 b 4.下列各式不能用公式法求解的是( ) 122y-6y+9=0A. B. y-y+1=0 4222(4-3)+44-3+4=0xx()13、 3(4)+16xx+=C. 122D. (-1)+0xx= 4 三、解方程 5 111111 A.2 B.3 C.23 D.23或或 232332三、解方程 一、填空题 2 2(1)=0;(2)2x，5x，2=0; 2x,3x,2021、填写解方程的过程 xx-2-3=0 解: x -3 x 1 -3x+x=-2x 2所以(x- )(x+ ) xx-2-3=2 2(3)3x，7x,6=0 ;(4)

14、 xx-215=0即(x- )(x+ )=0 即x- =0或x+ =0 ?x=_,x=_ 12 22、用十字相乘法解方程6x,x-1=0 解: 2x 22(5)(6) 352=0xx-6135=0xx-+1 2x- x=-x 2所以6x,x-1=(2x )( ) 即(2x )( )=0 即2x =0或 =0 22(7)(8) 7196=0xx-12133=0xx-+?x=_,x=_ 1223、解是 ; xx+=560 24、的解是 ; xx-+=560 25、的解是 ; xx-=560 242(9)(10) xx-215=0xx-718=026、的解是 ; xx+-=56027、的解是 ; 2

15、730xx=,， 2 8、的解是 ; 6750xx=,二、选择题 1.方程x(x,1)=2的两根为 A.x=0,x=1 B.x=0,x=,1 12122C.x=1,x=,2 D.x=,1,x=2 1212(11) (12) 二次函数知10212=0xx-+ab222.已知a,5ab+6b=0，则等于 +ba识点归纳及相关典型题 6 轴(或重合)的直线记作.特别地， ?平行于yx,h第一部分 基础知识 轴记作直线. yx,02y,ax，bx，c(a,b,c1.定义:一般地，如果是常数，7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口a，那么y叫做的二次

16、函数. xa,0)大小完全相同，只是顶点的位置不同. 2y,ax2.二次函数的性质 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 2y,ax(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是y (1)公式法:22轴. b4acb,2yaxbxcax，,，,，,22a4a,y,ax(2)函数的图像与的符号关系. a2b4ac,b ?当时抛物线开口向上顶点为其最,a,0(，),?顶点是，对称轴是直线2a4a低点; bx,. ?当时,抛物线开口向下,顶点为其最a,02a高点. (2)配方法:运用配方的方法，将抛物线的解析式2y(3)顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析的形式，得到顶点为化为，y,ax,h，k2y,ax式

17、形式为. (a,0)(,)，对称轴是直线. hkx,h2 (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴y,ax，bx，c3.二次函数 的图像是对称轴平行于为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直y(包括重合)轴的抛物线. 平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的2y,ax，bx，c4.二次函数用配方法可化成:交点是顶点. 2的形式，其中，y,ax,h，k 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进2行验证，才能做到万无一失. b4acb,hk,，,. 2a4a2y,ax，bx，c9.抛物线中，的作用 a,b,c5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:?2y,axa (1)决定开口方向及开

18、口大小，这与中的222y,axy,ax，k;?;?;?，y,ax,ha完全一样. 22y,ax，bx，c;?. ，y,ax,h，k (2)a和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物b26.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. y,ax，bx，c线的对称轴是直线 a ?的符号决定抛物线的开口方向:当时，开a,0bx,y，故:?时，对称轴为轴;b,02a口向上;当时，开口向下; a,0bya?(即、同号)时，对称轴在轴,0ba相等，抛物线的开口大小、形状相同. a7 b2左侧;?(即、异号)时，对称轴在a,0b.已知图像的顶点或 (2)顶点式:，y,ax,h，ka轴右侧. y对称轴，通常选择顶点

19、式. 2y,ax，bx，c (3)的大小决定抛物线与轴交 (3)交点式:已知图像与轴的交点坐标x、x，ycx21点的位置. ，通常选用交点式:y,ax,xx,x. 122y,ax，bx，c 当时，y,c，?抛物线x,012.直线与抛物线的交点 2与y轴有且只有一个交点(0，): cy,ax，bx，c (1)y轴与抛物线得交点为(0, ，抛物线经过原点; ?,与y轴 ?c,0c,0). c交于正半轴;?,与y轴交于负半轴. (2)与y轴平行的直线与抛物线c,0x,h2 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如y,ax，bx，c有且只有一个交点b抛物线的对称轴在y轴右侧，则 . ,02(,).

20、ah，bh，cha10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: (3)抛物线与x轴的交点 函数解析式 开口对称轴 顶点坐标 2y,ax，bx，c 二次函数的图像与轴的两x方向 xx个交点的横坐标、，是对应一元二次方程212 (0,0) x,0y,ax 2y( 的两个实数根.抛物线与x轴ax，bx，c,0轴) 的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的2当) (0, x,0ky,ax，k 判别式判定: y(a,0, ?有两个交点抛物线与x轴相,0时 轴) 交; 2开口 ( ,0) x,hh ，y,ax,h, ?有一个交点(顶点在x轴上)抛,0向上 x物线与轴相切; 2 (,) x,hhk，y,ax,h

21、，k当, ?没有交点x抛物线与轴相离. ,0a,0x (4)平行于轴的直线与抛物线的交点 b2(x,y,ax，bx，c时 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个2a2b4acb,开口 ,，交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，2a4a向下 2设纵坐标为，则横坐标是的ax，bx，c,kk) 两个实数根. 11.用待定系数法求二次函数的解析式 2，y,kx，nk,0 (5)一次函数的图像与二次函ly,ax，bx，c (1)一般式:.已知图像上三点或yx三对、的值，通常选择一般式. 8 2A，y,ax，bx，ca,0数的图像的交点，GFEy,kx，n由方程组 的解的数目来确2BCy,ax，b

22、x，cD 定:?方程组有两组不同的解时与有两第,题图 第4题图 ,Gl2个交点; ?方程组只有一组解时与只,Gly,ax，bx，c,.二次函数的图象如图所示，则下有一个交点;?方程组无解时与没有交,Gl 列结论正确的是( , )点. A(a,0，b,0，c,0 B(a,0，b,0，c(6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线x,0 2y,ax，bx，c与轴两交点为x C(a,0，b,0，c,0 D(a,0，b,0，c,0 ，Ax，0，Bx，0xx，由于、是方程2121.如图，已知中，BC=8，BC上的高，D,ABCh,42的两个根，故 ax，bx，c,0为BC上一点，交AB于点E，交AC于EF

23、BC/bcx，x,x,x,1212,DEF点F(EF不过A、B)，设E到BC的距离为，则xaa2的面积y关于的函数的图象大致为( , ) x2b4cb,4ac,22，AB,x,x,x,x,x,x,4xx,12121212aaaa,y444 4第二部分 典型习题 O2O4O2424O2x42,.抛物线y,x，2x,2的顶点坐标是 ( D ) BCDAA.(2，,2) B.(1，,2) C.(1， ,3) D.(,1，,3) EFx4,2,？,，EFxyxx82,4842y,ax，bx，c,.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( C ) 2y,x,2x,3,.抛物线与x轴分别交于A、B

24、两点，,(ab,0，c,0 ,(ab,0，c,0 ,(ab则AB的长为 4 ( ,0，c,0 ,(ab,0，c,0 2y,kx，(2k,1)x,16.已知二次函数与x轴交点的xxx,x横坐标为、()，则对于下列结论:?1212x,x当x,2时，y,1;?当时，y,0;?方程2 2kx，(2k,1)x,1,0x有两个不相等的实数根、19 2,a(,2)，b(,2)，c,52c,3,14，k,2xx,x;?x,1，x,1;?，212122a,b,4则,即 ,解a,0，b,0，c,3,ky,a，b,1abc，,4,其中所有正确的结论是 ? (只需填写序a,1,号)( ,b,2得 ,xO,c,3，y,

25、2x，bb,07.已知直线与x轴交于点A，与y,2轴交于点B;一抛物线的解析式为y,x,2x,3故所求的解析式为:. 2，y,x,b，10x，c. (2)函数图象如图所示. 由图象可得，当输出值y为正数时， (1)若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线输入值的取值范围是x,1或x,3( x上，试确定这条抛物线的解析式; y,2x，b9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:骆驼的(2)过点B作直线BC?AB交x轴交于点C，若抛物体温会随外线的对称轴恰好过C点，试确定直线的y,2x，b部环境温度解析式. 的变化而变22y,x,10y,x,4x,6解:(1)或 化，而且在这四天中每昼 将代入，得.顶

26、点坐标为(，0)bcb,第9题 夜的体温变2bbb，1016100(,),，由题意得化情况相同(他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化24情况绘制成下图(请根据图象回答: 2bbb，1016100,，,2b，解得?第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是24上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时bb,10,6. 12间? (2) y,2x,2?第三天12时这头骆驼的体温是多少? y8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，?兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 ,21y且是x的二次函数，已知输入值为,0,时, 相 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 ,4,3,( 析式( 应的输出值分别

27、为5, (1)求此二次函数的解析式; 解:?第一天中，从4时到16时这头骆驼的 (2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,体温是上升的 y并根据图象写出当输出值为正数时输入值的x它的体温从最低上升到最高需要12小时 取值范围. ?第三天12时这头2骆驼的体温是39? y,ax，bx，c解:(1)设所求二次函数的解析式为, ?10 12222 ，y,x，2x，2410,x,22时，?ABC,90?( ?当 AC,AB，BC164222210.已知抛物线与x轴交于A、 y,ax，(，3a)x，4 由，得AC,AB，BC316816 B两点，与y轴交于点C(是否存在实数a，使得 ( 25,(,，

28、9)，(，16)22a9a9a?ABC为直角三角形(若存在，请求出a的值;若不 4 解得 ( a,9存在，请说明理由( 444 当时，点B(-3，0)a,3解:依题意，得点C的坐标为(0，4)( 493a3，9xx 设点A、B的坐标分别为(，0)，(，0)， 12与点A重合，不合题意( 42x,3 由，解得 ，ax，(，3a)x，4,01222 ?当时，?BAC,90?( BC,AC，AB34( x,2222 由，得BC,AC，AB3a4 ? 点A、B的坐标分别为(-3，0)，(，0)( ,16168( ，16,25，(,，9)3a22a9a9a4 ? ，4AB,|,，3| 解得 a,(不合题

29、意( 3a9221， AC,AO，OC,5a, 综合?、?、?，当时，?ABC442222为直角三角形( |,|，4( BC,BO，OC,3a211.已知抛物线y,x，mx,m，2. ? (1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的416416822AB,|,，3|,2，3，9,，9225两侧，并且AB,，试求m的值; 3a9a3a9aa， (2)设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在1622 ，( AC,25BC,，162关于原点对称的两点M、N，并且 ?MNC的面积等于9a22227，试求m的值. ?当时，?ACB,90?( AB,AC，BC解: (1),(x，0),B(x，0) .

30、 则x ，x是方1212222 由， AB,AC，BC2程 x,mx，m,2,0的两根. 16816 得( ,，9,25，(，16)22?x，x ,m , x?x =m,2 ,0 即m,2 ; 1 2129aa9a12又AB,?xx?, , a, 解得 ( (xxxx+),451 2121242116?m,4m，3=0 . a, ? 当时，点B的坐标为(，0)，43 y解得:m=1或m=3(舍去) , ?m的值为1 . 625400222 C ，( AC,25AB,BC,99(2)M(a，b)，则N(,a，,b) . 222 于是( AB,AC，BC ?M、N是抛物线上的两点, M 1x a,

31、 ? 当时，?ABC为直角三角形( 4O 11 N 2 ? D(0，3a)(? 梯形ABCD中，AB?CD，且,，,，,amamb2,?,? ,2,，,amamb2.?,2,y,ax，4ax，3a 上， 点C在抛物线22?，?得:,2a,2m，4,0 . ?a,m，2 . ? C(,4，3a)(? AB,2，CD,4( ?当m,2时，才存在满足条件中的两点M、N. ? 梯形ABCD的面积为9，? 11am,2? . (? ( (2，4)3a,9(AB，CD),OD,9222,m这时M、N到y轴的距离均为, ? a?1( 又点C坐标为(0，2,m),而S= 27 , ? 所求抛物线的解析式为?M

32、 N C 1222,m?2?(2,m)?=27 . y,x，4x，3y,x,4ax,3或( 2?解得m=,7 . xy(3)设点E坐标为(，).依 002y,ax，4ax，t12.已知:抛物线与x轴的一个交点x,0y,0题意， 00为A(,1，0)( y50(? 且, (1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标; 2x0(2)D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一5y,x( 002点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此?设点E在抛物线抛物线的解析式; 2y,x，4x，3上， (3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5?22的点，如果点E在(2)中的抛物线上，且它与点?( y,x，

33、4x，3000A在此抛物线对称轴的同侧，问:在抛物线的对称5,y,x,00轴上是否存在点P，使?APE的周长最小?若存在， 解方程组 得2,2,y,x，4x，3000,求出点P的坐标;若不存在，请说明理由( 解法一: 1,x,，0,x,6，,02 (1)依题意，抛物线的对称轴为x,2( ,5y,15;0,y,(0 ? 抛物线与x轴的一个交点为A(,1，0)， ,4,? 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另 ? 点E与点A在对称轴x,2的同侧，? 点一个交点B的坐标为(,3，0)( 15E坐标为(，)( ,242y,ax，4ax，t(2)? 抛物线与x轴的一个设在抛物线的对称轴x,2上存在一点

34、P，使?交点为A(,1， 0)， APE的周长最小( 2a(,1)，4a(,1)，t,0 ? (? t,3a(? ? AE长为定值，? 要使?APE的周长最小，2只须PA，PE最小( y,ax，4ax，3a( ? 点A关于对称轴x,2的对称点是B(,3，12 0)， 0)( ? 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x, 2,2的交点( y,ax，4ax，3a，得D(0，3a)( (2)由设过点E、B的直线的解析式为， y,mx，n ? 梯形ABCD中，AB?CD，且点C在抛物线 21y,ax，4ax，3a上， ,15m,m，n,2 ? 解得 24,? C(,4，3a)(? AB,2，CD,4(

35、 3,3m，n,0.n,.,2, ? 梯形ABCD的面积为9，? 131 ? 直线BE的解析式为y,x，(? 把x(解得OD,3( (AB，CD),OD,92221 ? (? a?1( 3a,3,2代入上式，得( y,212 ? 点P坐标为(,2，)( y,x，4x，3 ? 所求抛物线的解析式为或222y,x,4x,3y,x,4x,3 ?设点E在抛物线上，? ( 2 ( y,x,4x,3000(3)同解法一得，P是直线BE与对称轴x,2的5,y,x,00交点( y 解方程组 消去，得2,02,y,xx,4,3.000, ? 如图，过点E作EQ?x轴于32点Q(设对称轴与x轴的交点为F( x，x

36、，3,0( 002BFPF ? ?,0 . ? 此方程无实数根( , 由PF?EQ，可得(? BQEQ1 综上，在抛物线的对称轴上存在点P(,2，)，11PF2(? PF,( ,552使?APE的周长最小( 24解法二: 2 ? 点P坐标为(,2，y,ax，4ax，t (1)? 抛物线与x轴的一个交1)( 点为A(,1，0)， 22 以下同解法一( a(,1)，4a(,1)，t,0 ? (? t,3a(? 13.已知二次函数的图象如图2y,ax，4ax，3a( 所示( 2 令 y,0，即(解得 ax，4ax，3a,0 (1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标( (2)若点N为线段BM上的一

37、点，过点N作x轴的x,1x,3，( 12垂线，垂足为点Q(当点N在线段BM上运动时(点N ? 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(,3，不与点B，点M重合)，设NQ的长为l，四边形NQAC13 222的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t，PA,(m，1)，n的取值范围; 2222( PC,m，(n，2)，AC,5(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使?分以下几种情况讨PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P论: 的坐标;若不存在，请说明理由; i)若?PAC,90?，则4)将?OAC补成矩形，使?OAC的两个顶点成为 (矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对

38、边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要222PC,PA，AC( 计算过程)( 2,解:(1)设抛物线的解析式， y,a(x，1)(x,2)nmm，,2,? ,2222,m，(n，2),(m，1)，n，5., ? (? (? ,2,a，1，(,2)a,15m,1 解得:，(舍去)( ? 点m,2122y,x,x,2( 57,P，( ,119,24,，, 其顶点M的坐标是( ,24,222 ii)若?PCA,90?，则PA,PC，AC( (2)设线段BM所在的直线的解析式为，y,kx，b2,nmm，,2, ? ,点N的坐标为N(t，h)， 2222,(m，1)，n,m，(n，2)，5.,0,

39、2k，b，,33, 解得:(舍去)(? 点m,，m,034 ? (解得k,，( b,3,9122,k，b.,42,35,P，,( ,2324, ? 线段BM所在的直线的解析式为( y,x,32iii)由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，13 ? ，其中(? ,t,2h,t,322，所以边AC的对角?APC不可能是直PA,AC112312( s,，1，2，(2，t,3)t,t,t，1角( 42223312 (4)以点O，点A(或点O，点C)为矩形的两个顶 ? s与t间的函数关系式是，S,t,t，142点，第三个顶点落在矩形这边OA(或边OC)的1自变量t的取值范围是( ,t,22对边上，如图a，

40、此时未知顶点坐标是点D(,57,1，,2)， P， (3)存在符合条件的点P，且坐标是，,124,以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落35,在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知P，,( ,224,1248,，,顶点坐标是E，F( ,2n,m,m,2 设点P的坐标为P(m，n)，则( 5555,14 (2)如果DE与AB的距离OM,0.45 cm，求卢浦大，计算桥拱内实际桥长(备用数据:2,1.4结果精确到1米)( 解:(1)由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 92 ( y,ax，10 图a 55 因为点A(，0)(或B(，0)在抛物线上， ,图b 2259

41、1822所以，得a,( 0()y,ax,2,a,，14.已知二次函数的图象经过点(1，,2101251)(求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象 因此所求函数解析式为189552与x轴的交点的个数( ( y,x，(,x,)1251022解:根据题意，得a,2,1. 9 (2)因为点D、E的纵坐标为， 所以20? a,1( ? 这个二次函数解析式是918952，得( x,2,x，2y,x,2( 2012510495 所以点D的坐标为(，)，点E的坐,2 因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是20495(0，,2)，所以该函数图象与x轴有两个交点( 标为(，)( 220415.卢浦大桥拱形可

42、以近似看作抛物线的一部分(在大5552DE,2,(,2), 所以( 桥截面1?11000的比例图上，跨度AB,5 cm，拱442高OC,0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE? 因此卢浦大桥拱内实际桥长为 AB，如图(1)(在比例图上，以直线AB为x轴，52，11000，0.01,2752,385(米)( 抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位2长度，建立平面直角坐标系，如图(2)( 16.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图(二2y,ax，bx，c次函数(a?0)的图象经过点A、B，与y轴相交于点C( (1)a、c的符号之间有

43、何关系? (2)如果线段OC的长度是线段OA、OB (1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函长度的比例中项，试证 数解析式，写出函数定义域; a、c互为倒数; 15 (3)在(2)的条件下，如果b,4，AB,43，232323，,ABOBOAxx,21aaa求a、c的值( ( 解: 123AB,43,43 ? ，? ，得(? a,(1)a、c同号( 或当a,0时，c,0;当a,0时，ca2,0( c,2( x(2)证明:设点A的坐标为(，0)，点B的坐标为1317.如图，直线分别与x轴、y轴y,x，33x0,x,x(，0)，则( 212交于点A、B，?E经过原点O及A、B两点( OA,x

44、OB,x ? ，( OC,c121)C是?E上一点，连结BC交OA于点D，(2若?COD,?CBO，求点A、B、C的坐标; ax，bx，c,0(a,0)xx 据题意，、是方程的12(2)求经过O、C、A三点的抛物线的解析式: c两个根( ? ( xx,12a(3)若延长BC到P，使DP,2，连结AP，c222 由题意，得，即( OA,OB,OC,c,ca试判断直线PA与?E的位置关系，并说明理由( 所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数( b4(3)当时，由(2)知，x，x,0b,412aa? a,0( 解法一:AB,OB,OA,2x,x,(x，x),4xx， 2112124c16,4ac232,AB()4() ? ( 2aaaa23 ,43AB,43 ? ， ? (得a解:(1)连结EC交x轴于点N(如图)( 1a,(? c,2. 3? A、B是直线分别与x轴、y,x，323解法二:由求根公式，(0,3)y轴的交点(? A(3，0)，B( 4,16,4ac4,16,42,3x,， 又?COD,?C