《角的平分线的性质》-启东市建新中学周邦益.ppt

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1、学科:数学年级:八年级课题:角的平分线性质授课教师:周邦益 学校：启东市建新中学 邮编：226221 电子邮件：联系方式：0513-83888412,八年级上册人教2011课标版,12.3角的平分线的性质,知识回顾,1、角平分线的概念,一条射线,把一个角,分成两个相等的角，,这条射线叫做这个角的平分线。,知识回顾,2、点到直线距离:,从直线外一点,到这条直线的垂线段,的长度，,叫做点到直线的距离。,如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?,你能由上面的探究得出作已知角的平分

2、线的方法吗?,探究1：,E,角的平分线的作法,证明：在ACD和ACB中 AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的 对应边相等）AC平分DAB（角平分线的定义）,尺规作角的平分线,A,画法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,分别以，为圆心大于 1/2 的长为半径作弧两弧在的内部交于,作射线,射线即为所求,A,为什么OC是角平分线呢？,想一想：,已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分AOB。,证明：在OMC和ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC，OMC ONC（SSS）MOC=NOC 即：OC平分AOB,1平

3、分平角AOB2通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？3结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。,变式),将 AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?,可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.,折一折,探究2,角平分线的性质,已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E。,求证：PD=PE,证明：PDOA

4、，PEOB（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）,在PDO和PEO中,PD=PE（全等三角形的对应边相等）,PDO=PEO AOC=BOC OP=OP,PDO PEO（AAS）,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,证明几何命题的一般步骤：1、明确命题的已知和求证2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。,角平分线的性质,定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,A,O,B,P,1,2,1=2（或OP是平分BAC）PD OA，PE OBPD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等),推理的理由有

5、三个，必须写完全，不能少了任何一个。,角平分线的性质,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,定理应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等。,如图，AD平分BAC（已知）,=，(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,判断：,变式,如图，DCAC，DBAB（已知）,=，(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,AD平分BAC,DCAC，DBAB（已知）,=，（）,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺 1：20 0

6、00）,s,公路,铁路,解：作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm,D即为所求。,D,C,s,公路,铁路,变式,如图，OC是AOB的平分线，又 _PD=PE(),PDOA，PEOB,角的平分线上的点 到角的两边的距离相等,在OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD.,例题,变式,在ABC中，C=90，AD为BAC的平分线，DEAB，BC7，DE3.求BD的长。,如图，在ABC中，C=90 AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EB,拓展提升,这节课我们学习了哪些知识？,小 结,1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；,2、角的平分线的性质：111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,OC是AOB的平分线,又 PDOA,PEOB PD=PE(角的平分线上的点到角的两边距离相等).,几何语言:,，,4,3.如图，DEAB，DFBC，垂足分别是E，F，DE=DF，EDB=60，则 EBF=度，BE=。,60,BF,4.如图，在ABC中，C=90，DEAB，1=2，且AC=6cm，那么线段BE是ABC的，AE+DE=。,角的平分线,6cm,5.已知ABC中,C=900,AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？,A,B,C,D,E,你会吗？,