2412垂径定理.ppt

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1、24.1.2 垂径定理,？,1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？,圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴,2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？,圆是中心对称图形，圆心是对称中心,一、温故知新,3、填空：（1）根据圆的定义，“圆”指的是“”，是 线，而不是“圆面”。（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的，半径决定圆的，二者缺一不可。（3）同一个圆的半径 相等。,圆周,位置,大小,曲,处处,4.过圆上一固定点可以作圆的最长弦有()条.A.1 B.2 C.3 D.无数条5.一点和O上的最近点距离为4cm,最远距离为10cm,则这个圆的半径是_cm.,A,7,.,O,

2、A,C,.,B,3.图中有_条直径,_条非直径的弦,圆中以A为一个端点的优弧有_条,劣弧有_条.4.如图,O中,点A、O、D以及点B、O、C分别在一直线上，图中弦的条数为_。5.CD为O的直径,EOD=72,AE交O于B,且AB=OC,则A=_.,第5题,1,2,2,4,3,24,问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,1.理解圆的对称性；2.理解掌握圆的垂径定理，并能灵活运用。

3、,重点：,理解掌握垂径定理,难点：,灵活运用垂径定理解决有关圆问题,二、明确目标,知识目标:,培养探索、推理、归纳、证明的能力及用 数学语言表达数学问题的能力.,能力目标:,培养独立思考、敢于质疑、善于表达的习惯；学会互助、合作、交流.,感情目标:,阅读课本P80-82，完成以下问题：1.圆的垂径定理是什么？2.垂径定理的推论是什么？你能用一句话概括这些推论吗？,三、自学、合作与交流,合作探究,四、能力展示,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,活

4、 动 一,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2）线段：AE=BE,O,A,B,C,D,E,如图:,AB是O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM,垂径定理的推论,连接OA,OB,则OA=OB.,在OAM和OBM中,OA=OB，OM=OM，AM=BM,OAMOBM.,AMO=BMO.,CDAB,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,几何语言表达,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,（1）（4）（5）,（2）（3）,（1）（5）,（2）（3）（4）,讨论,（1）（3）

5、,（2）（4）（5）,（1）（4）,（2）（3）（5）,（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对优弧（5）平分弦所对的劣弧,（3）（5）,（3）（4）,（1）（2）（5）,（2）（4）,（1）（3）（5）,（2）（5）,（1）（3）（4）,（1）（2）（4）,（4）（5）,（1）（2）（3）,每条推论如何用语言表示？,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧（4）（5）（6）（7）（8）（9）,九条推论,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一

6、条直线来说。如果具备,（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,结论,五、高效训练,你学会了吗？,？,？,一、判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧,分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分,3半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是。,8cm,1半径为4cm的O中，

7、弦AB=4cm,那么圆心O到弦AB的距离是。,2 O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是。,二、填空：,4、O的半径为10cm，弦ABCD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是_.,2cm,或14cm,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,在来！你行吗？,解：,答：O的半径为5cm.,在Rt AOE 中,2：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：ACBD。,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，ACBD,E,实际上，往往只

8、需从圆心作一条与弦垂直的线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.,3、已知：O中弦ABCD。求证：ACBD,你能讲解吗？,夹在两条平行弦间的弧相等.,你能有一句话概括一下吗？,小结:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,解得：R279（m）,解决求赵州桥拱半径的问题,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,实践应用,7.2,18.7,体会.分享,说出你这节课的收获和体验，让大家与你一起分享！,圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它

9、的对称轴.,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,垂径定理:,在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题。,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,六、知识盘点,别忘记还有我哟！,1、P82练习 1、2题2、教材88页习题24.1 8、9；3、练习册同步,作业：,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又A

10、C=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形.,挖掘潜力,某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m，过O 作OC AB 于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？,C,N,M,A,E,H,F,B,D,O,结束寄语,不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也.,再见,学生练习,已知：AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD求证：ECDF,E,D,油的最大深度ED=ODOE=200(mm),或者油的最大深度ED=OD+OE=450(mm).,(1),在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,油面宽

11、AB=600mm,求油的最大深度。,OE=125(mm),解：,例1 如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径.,解：连结OA。过O作OEAB，垂足为E，则OE3厘米，AEBE。AB8厘米 AE4厘米 在RtAOE中，根据勾股定理有OA5厘米 O的半径为5厘米。,讲解,判断,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.(),（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.(),（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.(),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(),（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,活动一,