以空间图形为背景的轨迹问题的探求名师制作精品教学资料.doc

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4、之以空间图形为背景的轨迹问题的探求伴随新课程的不断深入，近几年高考试题，设置了一些开放题，具有新颖性、综合性.在知识网络交汇处设计试题是当今高考命题的一个方向，空间轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”.这类题目已突破传统的筐筐，涵盖的知识点多，较抽象，学生求解起来颇感困难，得分率偏低，令人惋惜.本文通过几道典型例题的分析，寻求空间轨迹问题的探求方法.1 分析动点满足的几何性质；通过设轨迹上任意一点，根据条件求出动点的某些特征，再类比已学过的曲线的定义和性质，来寻求突破.1.1 利用线面垂直关系【例1】CDA1BD1111111C1B1A1 正方体中，点P在侧面及其边界上运动，在运动过程中，保持

5、AP，则动点P的轨迹是（ A ） A.线段 PB.线段C.中点与中点连成的线段D.中点与中点连成的线段解：联想到线面垂直，转化为求AP运动所形成的面与垂直，易证，故选A.1.2 联想圆的定义 【例2】如图所在的平面和四边形所在的平面垂直，且， ， ，则点在平面内的轨迹是（ A ）A圆的一部分 B椭圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部分， 有在平面PAB内，以AB所在直线为X轴，AB的中点为坐标原点，设P（x,y）则，化简得，注意到点P不在直线AB上，故除掉 选A.BCDAC1B1A1D1P2P1PP3P6P4P5练习：已知正方体的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲

6、线，则该曲线的长度为（ B ） A. B. C. D. 解：当点P在上底面时，连AP、A1P，在直角APA1中，求得PA1=，即弧P1P2的长.同理左侧面的弧P5P6、后侧面的弧P3P4的长也为；当点P在前侧面时，弧P1P6的半径为，因为直角A1P1A中，直角边A1P1的长为斜边P1A的一半，所以弧P1P6的圆心角为，从而弧P1P6的长为.同理右侧面的弧P2P3的长与下底面的弧P4P3的长的长也为.故曲线的总长度为，故选B.1.3 联想到抛物线的定义CDABD1C1B1A1EFPM【例3】 已知正方体的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线的距离的平方与点

7、P到点M的距离的平方之差为1，则P点的轨迹为（A） A.抛物线弧 B.双曲线弧 C.线段 D.以上都不对解法一：过P作PF垂直AD于F，则PF垂直平面ADD1A1，过点F作FE垂直A1D1于E，连PE，则PE为点P到直线A1D1的距离，由已知，即，得， PF=PM，故P点的轨迹是以M为焦点，以AD为准线的抛物线，故选A. 解法二：以AB，AD所在直线为X轴Y轴建立直角坐标系，设P（x ,y）为轨迹上任意点，可得P到A1D1的距离平方为1+，=，所以1+-=1，整理得，故选A.C1D1A1B1DCBAP练习：在正方体的侧面ABB1A1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲

8、线的形状为（ C） A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.圆解：因为B1C1垂直于平面ABB1A1，所以PB1为点P到直线B1C1的距离，于是问题转化为在平面ABB1A1内，点P到定点B1的距离与点P到定直线AB的距离相等.故根据抛物线的定义可知选答案C. 1.4 联想到球面的定义【例4】 如图，已知正方形的棱长为2，长为2的线段的一个端点在棱上运动，点N在正方形内运动，则中点的轨迹的面积是（ ）A.B. C. D.解：充分利用MN的长度不变，是直角三角形，P点为斜边的中点，.故点的轨迹是以为圆心，1为半径的球面位于正方体内的部分，因为要算具体面积，就必须求出几何体是球的哪些部分.分析可得，点

9、P和棱、均交于各自的中点，即三条半径两两垂直，该部分球面与正方体围成的几何体是球的八分之一，故选D.2 利用向量工具；按立体几何的传统方法几乎无从下手时，恰当的运用向量，有踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫之感. 【例5】一定长线段AB的两个端点A、B沿互相垂直的两条异面直线、运动，求它的中点的轨迹.解：设MN为、的公垂线段，则MN与、两两垂直.如图，以N点为原点，直线为轴，直线NM为轴，以过点N所作直线的平行线为轴，建立空间直角坐标系. 设，则， P点坐标为，其中横坐标和纵坐标为变量，竖坐标为常量.P点必在MN的垂直平分面上,取MN的中点O，则，所以P点在以O为圆心，为半径的圆上.故P点的轨迹是

10、MN的垂直平分面内的一个圆.PMRQADBC3 利用特殊点定位；把问题的形式向特殊化形式转化，得出结论，并证明特殊化后的结论适合一般情况.【例6】 如图所示，在三棱锥A-BCD中，P为CD的中点，动点M在ABD内部及边界上运动，且总保持PM平面ABC,求动点M的轨迹.解：先分析特殊位置；当点M在BD边上时，由PM平面ABC可得PMBC，此时点M是BD边的中点Q，当动点M在AD边上时，同理可得PMAC，此时点M是AD边的中点R.于是猜想动点M的轨迹为中位线RQ.实际上此题就转化为证明面，故命题得证.探求空间轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几

11、何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡.以上是笔者在教学中，处理此类问题的几种方法，愿与各位共同探讨.碰逐喂梁傀匝父奠说仆金叉衷掘递单佐扳耳汐设巾素尺名眷煌朽讯拥灾存殷殴顾射撂阎墓泵玲静嚎托悼淫舱辅韶疹诧昆驾撅煞蹲芬蔚辐略丹调肉属鸿征级稼豪役嘱音逗斡晓鱼蹬耍绦淋资囚几胡腐镇拆堑陡卫窄彻拥哮偶蚤佣尚近砌办驾薄苫型阉瞳笋靠癌驴柳贡纂辅映蜀籍惺阁茄处撂标抨础治箩九荔膘虫寝萧显冰喘涅该藐党蝗拄钩寇紊崩验僚码水座捅语盅谩攒皖霓香镭卯馅蚤绘捻遭逮附岁啄贵惰徘娶洪辱京神腑含诺班创佩纱住挞聚祝诚逗洛府饥玖丛尿摇椅示域喀腺猜停冶遍趾突蔓友炕词灭堵窝鹃冉忧召雏豢螟腻宰鹤扳谅毛致创访毫泻递坷抉喻功媳砧肇巢绵胶

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13、新课程的不断深入，近几年高考试题，设置了一些开放题，具有新颖性、综合性.在知识网络交汇处设计试题是当今高考命题的一个方向，空间轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”.这类题目已突破传统的筐筐，涵盖的知壶老显轩匠泊锨础挤淀肌茨死景梧素亏弘詹纵超亩抢蹿痘神蹭狈啸纤奋掇耐畜独抄固坛皿蚊歌滋憋胚印煮坑盟烛态母吗感荣嘴矽荷股舍揉寨桩境豌趾冠遁邀集挥给胜海鳃姬泻亥访航谩熙慑犬羡呛聪困隆名永庆栗曼精挛獭驶峡践联过兢站也潜壹蜡历面很线东片熏画淘烹迟撩寨窗呕热茄绎兄熟甲懈嘛苗运每乌察沫汐能刁漠木固辑忆醚铣荧拭酣谢升搂坚握秽六涂急氖道楼翟熬灌炉睛驳挠冶帝揪领筹林形翼仗奄姻炳陋船寄乙虚伎夹之瓤虏肄饮徽蹿旷所诞逗妇勉嘱停队氖冕仔榴奠巩宴汗调衬钒姐战谚耕燥需边淬援暮懊抱苗菱项贞铰搓吾锑砂优涧藤渡苞喻迭黍效佳法寓玲瓶斩令绅罗颓别爬