最新向量加法运算及其几何意义教案4名师优秀教案.doc

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1、向量加法运算及其几何意义教案4 教师助手 学生帮手 家长朋友 三维目标 1.通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量. 2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量. 重点难点 教学重点:向量的减法运算及其几何意义. 教学难点:对向量减法定义的理解. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的

2、减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课. 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算减法.引导学生去探究、发现. 推进新课 新知探究 提出问题 ?向量是否有减法, ?向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念, ?如何理解向量的减法, ?向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则, 活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向

3、量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义? 引导学生思考,相反向量有哪些性质? 由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量. 于是-(-a)=a. 我们规定,零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0. 所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. (1)平行四边形法则 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 图1 如图1,设向量=b,=a,则=-b,由向量减法的定义,知ACABAD=a+(

4、-b)=a-b. AE又b+=a,所以=a-b. BCBC由此,我们得到a-b的作图方法. 图2 (2)三角形法则 如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-bOAOBBA可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义. 讨论结果:?向量也有减法运算. ?定义向量减法运算之前,应先引进相反向量. 与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a. ?向量减法的定义.我们定义 a-b=a+(-b), 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 规定

5、:零向量的相反向量是零向量. ?向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现. 提出问题 ?上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么? ?改变上图中向量a、b的方向使a?b,怎样作出a-b呢? 讨论结果:?=b-a AB?略. 应用示例 如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d. 图3 活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量. OAOBOCOD作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作=a,=b

6、,=c,=d.则DC=a-b,=c-d. BA变式训练 (2006上海高考) 在ABCD中,下列结论中错误的是( ) DCACABABABA.= B.AD+= C.-AD=BD 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 D.AD+=0 BC分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,-=错ABADBD误,D中,+=+=0正确. BCADADDA答案:C 例2 如图4,ABCD中, =a,=b,你能用a、b表示向量、ACABADDB吗? 图4 活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边

7、形的四条边与两条对角线的关系. 解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道=a+b, AC同样,由向量的减法,知=-=a-b. DBABAD变式训练 1.(2005高考模拟) 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的OD向量分别是a、b、c,则向量等于( ) A.a+b+c B.a-b+c C. a+b-c D.a-b-c 图5 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c, 结合图形有=+=+=+-=a-b+c. ODOAOABCOAOCOBAD答案:B 2.若=a+b,=a-b. ACDB?当a、b满足

8、什么条件时,a+b与a-b垂直, ?当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|, ?当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角 , ?a+b与a-b可能是相等向量吗, 图6 解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量、恰为平行四边ACDB形的对角线. 由平行四边形法则,得 AC=a+b,=-=a-b. DBABAD由此问题就可转换为: ?当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直,(|a|=|b|) ?当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等,(a、b互相垂直) ?当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角,(a、b相等) ?a+b与a-b可能是相等向量吗,(不可能,因为对角线

9、方向不同) 点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟. 例3 判断题: (1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同. (2)?ABC中,必有+=0. BCCAAB(3)若+=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点. BCCAAB(4)|a+b|?|a-b|. 活动:根据向量的加、减法及其几何意义. 解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a

10、和b方向都相同; 若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量, 此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥. (2)由向量加法法则+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上AB述结论. BCAC(3)因为当A、B、C三点共线时也有+=0,而此时构不成三AB角形. (4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定. 当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|a-b|,异向则有|a+b|a-b|; 当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|. 综上所述,只有(2)正确. 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生

11、帮手 家长朋友 例4 若|=8,|=5,则|的取值范围是( ) ACBCABA.3,8 B.(3,8) C.3,13 D.(3,13) 解析:=-. BCACAB(1)当、同向时,|=8-5=3; ACBCAB(2)当、反向时,|=8+5=13; ACBCAB(3)当、不共线时,3|13. ACBCAB综上,可知3?|?13. BC答案:C 点评:此题可直接应用重要性质|a|-|b|?|a+b|?|a|+|b|求解. 变式训练 已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0. 证明:已知a?0,b?0,c?0,且ab,bc,ca,

12、 (1)必要性:作=a,BC=b,则由假设CA=c, AB另一方面a+b=BCAC+=. ABCAAC由于与是一对相反向量, ACCA?有+=0, 故有a+b+c=0. 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。BCAC(2)充分性:作AB=a,=b,则=a+b,又由条件a+b+c=0, （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一ACCACAACCA?+c=0.等式两边同加,得+c=+0. CA?c=,故顺次将向量a、b、c

13、的终点和始点相连接成一三角形. 教师助手 学生帮手 家长朋友 (2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.（直径添线成直角） 教师助手 学生帮手 家长朋友 知能训练 课本本节练习 8.直线与圆的位置关系解答: 1.直接在课本上据原图作(这里从略). 六、教学措施：2.,. CAACDBADBA点评:解题中可以将减法变成加法运算,如-=+=,这样ABADDAABDB计算比较简便. 3.图略. 课堂小结 顶点坐标：（，）1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图. 一年级有学生 人，通过师生一学期的共同努力，绝大部分部分上课能够专心听讲，积极

14、思考并回答老师提出的问题，下课能够按要求完成作业，具有一定基础的学习习惯，但是也有一部分学生的学习习惯较差，学生上课纪律松懈，精力不集中，思想经常开小差，喜欢随意讲话，作业不能及时完成，经常拖拉作业，以致学习成绩较差，还需要在新学期里多和家长取得联系，共同做好这部分学生行为习惯的培养工作。2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论. 作业 课本习题2.2 A组6、7、8. 设计感想 （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一1.向量減法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的,两种作图方法各有千秋.第一种作法结合向

15、量减法的定义,第二种作法结合向量的平行四边形法则,直接作出从同一点出发的两个向量a、b的差,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,第二种作图方法比较简捷. 2.鉴于上述情况,教学中引导学生结合向量减法的几何意义,注意差向 教师助手 学生帮手 家长朋友 (2)中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的边到圆心的距离 教师助手 学生帮手 家长朋友 量的方向,也就是箭头的方向不要搞错了,a-b的箭头方向要指向a,如果指向b则表示b-a,在几何证明题目中,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系. 一、指导思想： 教师助手 学生帮手 家长朋友