九年级数学下册七章相似章节复习同步练习课件新版新人教版.pptx

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1、章末复习,知识框架,归纳整合,中考链接,素 养 提 升,知识框架,相似多边形,位似,定义,两个边数相同的多边形,如 果它们的角分别相等,边成 比例,那么这两个多边形叫 作相似多边形,三个角分别相等,三条边 成比例的两个三角形叫作 相似三角,对应角相等,对应边成比例,平行于三角形一边的直线 和其他两边相交,所构成 的三角形与原三角形相似,相似三角形,两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似,两角分别相等的 两个三角形相似,三边成比例的两个三角形相似,确定位似中心,找关键 点,作关键点的对应点,坐标中的位似 变换,不仅相似,而且对应 点的连线相交于一点,性质,对应线段(高、中线、角平 分线等)的比等

2、于相似比,周长的比等于相似比,面积 的比等于相似比的平方,判定,利用视线测量物高,应用,利用影长测量物高,利用其他方法构成相似三 角形测距离,作图,不仅相似,而且对应 点的连线相交于一点,定义,性质,对应角相等,对应边成比例,周长比等于相似比,面积 比等于相似比的平方,专题一 平行线分线段成比例,【要点指导】平行线分线段成比例是三角形相似的基础,也是求线 段比和证明与线段长度相关的等式的一种方法.,归纳整合,例1 如图27-Z-1,在ABC中,D为AC上一点,且,过点 D 作 DE BC 交 AB 于点 E,连接 CE,过点D 作 DF CE 交 AB 于点F.若 AB=15,则 EF=_,相

3、关题1,C,如图27-Z-2,在ABC中,DEBC,AE=2 cm,则AC的长是().A2 cm B4 cm C6 cm D8 cm,专题二 相似三角形的判定,【要点指导】判定两个三角形相似的方法：(1)平行于三角形一边 的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；(2)三边成比 例的两个三角形相似；(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(4)两角分别相等的两个三角形相似.证明两个三角形相似,要结合已知 条件和隐含条件灵活选择判定方法.以上四种方法中,两角分别相等和 平行线法是常用的证明方法.,例2 如图27-Z-3 所示,CD 是RtABC斜边上的高,E是AC的中 点,ED,C

4、B的延长线交于点F.求证：FDBFCD.,证明 CD是RtABC斜边上的高,E是AC的中点,EDA=A,EDC=ECD.EDC+EDA=90,EDA=BDF,EDC+BDF=90,ECD+BDF=90.ECD+DCF=90,BDF=DCF.又F=F,FDBFCD.,相关题2,如图27-Z-4所示,在 ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,分别过点D,C 作DEOC,CEOD(1)图中有若干对相似三角 形,请至少写出三对相似(不全等的)三角形,并选择 其中一对加以证明；(2)求证：DM=OB.,解(1)相似三角形有ABMNDMNCE，AOMACE，DNECNA等证明：四边形ABCD是平行四边

5、形，ABCD，ABMNDM.CEOD，NDMNCE，AOMACE，ABMNDMNCE.DEOC，DNECAN.,专题三 相似三角形的性质,【要点指导】(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角 平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等于相似比；(3)相 似三角形面积的比等于相似比的平方,例3 若ABCABC,且AC=3 cm,BC=5 cm,AC=4 cm,AB=7 cm,则ABC的周长为().A12 cm B13 cm C14 cm D15 cm,A,相关题3 在ABC中,BC=6,AC=8,AB=10,另一个与它相似的 三角形的最短边长是3,则 其最长边长是().A12 B

6、5 C16 D20,解析 在ABC中，最短边长BC6，最长边长AB10，另一个与它相似的三角形的最短边长是3，它们的相似比是21，另一个三角形的最长边长是5.,B,例4 已知两个相似三角形的一对对应角平分线的长分别是35 cm 和 14 cm.已知它们的周长相差 60 cm,求这两个三角形的周长；已知它们的面积相差 588 cm2,求这两个三角形的面积.,解(1)两个相似三角形的一对对应角平分线的长分别是 35 cm 和 14 cm,这两个三角形的相似比为 5 2,这两个三角形的周长比为 5 2.设较大的三角形的周长为 5x cm,较小的三角形的周长为 2x cm.它们的周长相差 60 cm,

7、3x=60,解得 x=20,5x=520=100(cm),2x=220=40(cm),较大的三角形的周长为 100 cm,较小的三角形的周长为 40 cm.,(2)这两个三角形的相似比为 5 2,这两个三角形的面积比为 25 4.设较大的三角形的面积为 25y cm2,较小的三角形的面积为 4y cm2.它们的面积相差 588 cm2,(25-4)y=588,y=28,25y=2528=700(cm2),4y=428=112(cm2),较大的三角形的面积为 700 cm2,较小的三角形的面积为 112 cm2.,相关题4 如图27-Z-5所示,在ABC 中,点D,E分别在边AB,AC上,且 则

8、SADE S四边形BCED的值为().A B12 C13 D14,C,专题四 证明比例式或等积式,【要点指导】本章中常出现证明比例式或等积式的题目,解决此类 问题主要运用相似三角形的性质,常用的方法有：1三点定形法.分别观察所证线段比例式的分子和分母或各个比 的分子和分母,它们各自两条线段的四个字母中不同的三个字母是否分 别为某三角形的三个顶点,若恰好能组成两个三角形,则可以考虑证明 这两个三角形相似.,2基本图形定形法.熟悉相似三角形的基本图形是寻找相似三角 形的捷径,常见的相似三角形有以下四种：(1)平行线型；(2)等角对顶 型；(3)共角等角型；(4)共边等角型 3等量代换法.当需要证明

9、的成比例的四条线段不能构成相似三 角形时,往往需要进行等量代换,如“线段的代换”或利用“中间比”进行代换.4辅助平行法.利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有 效方法,这种方法经常通过平行线分线段成比例定理及其推论来实现.,例5 如图27-Z-6所示,在四边形ABCD中,AD=CD,DAB=ACB=90,过点D作DEAC,垂足为F,DE与AB相交于点E.求证：ABAF=CBCD,证明 DEAC,DFA=90 DAB=DAF+CAB=90,CAB+B=90,DAF=B.在DAF和ABC中,DFA=ACB=90,DAF=B,ABAF=CBCD,相关题5-1 如图27-Z-7所示,在 ABC中

10、,D是BC边上一点,E是AC边上一点,且满足 AD=AB,ADE=C 求证：(1)AED=ADC,DEC=B；(2)AB2=AEAC,相关题5-2,如图27-Z-8所示,AB是 半圆O的直径,点P在BA的 延长线上,PD切O于点 C,BDPD,垂足为D,连接 BC.求证：(1)BC平分PBD；(2)BC2=ABBD.,证明(1)连接OC，则OCPD.BDPD，OCBD，OCBCBD.OBOC，OCBOBC，CBDOBC，即BC平分PBD.(2)连接AC.AB是半圆O的直径，ACB90.BDPD，PDB90.又CBDOBC，ABCCBD，,专题五 位似变换,【要点指导】位似图形一定是相似图形,经

11、位似变换后的图形,不 仅与原图形相似,而且对应点的连线交于一点,利用位似变换,可以将一 个图形放大或缩小.,例6 如图27-Z-9,ABC的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,3),C(3,0).(1)以点O为位似中心画DEF,使它与ABC位似,且相似比为2；(2)在(1)的条件下,若M(a,b)为ABC边上的任意一点,则DEF的 边上与点M对应的点M的坐标为多少？,解：(1)如图27-Z-10,DEF和DEF即为所求的三角形.(2)与点M对应的点M的坐标为(2a,2b)或(-2a,-2b),相关题6如图27-Z-11,ABC的三 个顶点坐标分别为A(2,7),B(6,8),C(8,2).(1

12、)以点O为位似中心,在第 三象限内作出A1B1C1,使 A1B1C1与ABC的位似 比为12；(2)写出点A1,B1,C1的坐标；(3)如果ABC内部一点M 的坐标为(x,y),写出点M的 对应点M的坐标,解：(1)如图所示，A1B1C1即为所求作的三角形(2)A1(1，3.5)，B1(3，4)，C1(4，1)(3)点M的坐标为.,专题六 利用相似列函数解析式,【要点指导】求几何图形中的函数关系,一般会用到几何图形和相 似的性质,尤其是利用相似得到比例式,从而将未知线段用含字母的代数 式表示出来.,例7 如图27-Z-12所示,正方形ABCD的边长 为4,M,N分别是BC,CD上的两个动点,当

13、点M在BC 上运动时,保持AM和MN垂直.(1)求证：RtABMRtMCN.(2)设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y关于x 的函数解析式；当点M运动到什么位置时,四边形 ABCN的面积最大？并求出最大面积.(3)当点M运动到什么位置时,RtABMRtAMN？并求此时BM的长.,解(1)证明：在正方形ABCD中,B=C=90.AMMN,AMN=90,CMN+AMB=90 在RtABM中,MAB+AMB=90,(2)RtABMRtMCN,当x=2时,y取最大值,最大值为10 故当点M运动到BC的中点时,四边形ABCN的面积最大,最大面积为10.,(3)B=AMN=90,要使RtABMRtAM

14、N,由（1）知BM=MC,即当点M运动到BC的中点时,RtABMRtAMN,此时BM=2.,相关题7-1 如图27-Z-13所示,在矩 形ABCD中,AB=m(m是大 于0的常数),BC=8,E为 线段BC上的动点(不与点 B,C重合)连接DE,作 EFDE,EF与射线BA交于 点F,设CE=x,BF=y.(1)求 y 关于x 的函数解 析式；(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少？,相关题7-2 如图27-Z-14所示,在直 角梯形ABCD中,ABDC,D=90,ACBC于点C,AB=10 cm,BC=6 cm,点F 以2 cm/s的速度在线段AB 上由点A向点B匀速运动,点

15、E同时以1 cm/s的速度 在线段BC上由点B向点C 匀速运动,设运动时间为 t s(0t5).(1)求证：ACD BAC；(2)求DC的长；(3)设四边形AFEC的面积为 y,求y关于t的函数解析式,并求出y的最小值,素 养 提 升,专题一 转化思想,【要点指导】在证明比例式时,如果不能直接证明,可以采用等线 段代换或“中间比”代换进行转化.当图形中含有等腰三角形或平行四 边形等已知条件时,往往采用等线段转化；当图形中含有多组相似三角 形时,往往采用“中间比”进行转化,例1 如图27-Z-15所示,在ABC中,D为BC的中 点,过点D任作一条直线交AC于点E,交BA的延长线于点F.求证：,相

16、关题1 如图27-Z-16所示,以 ABC的边BC为直径作 O分别交AB,AC于点F,E,ADBC于点D,AD交O 于点M,交BE于点H.求证：DM2=DHDA,专题二 分类讨论思想的应用,【要点指导】如果被研究的问题包含多种情况,不能一概而论时,为了避免出现漏解,必须按可能出现的所有情况分别讨论,得出各种情 况下相应的结论,这种解决问题的思想称为分类讨论思想,例2 如图27-Z-17所示,在直角梯形ABCD中,A=B=90,AD=2,BC=8,AB=10,在线段AB上取一 点P,使ADP与BCP相似,求AP的长.,相关题2 如图27-Z-18,在ABC 中,AB=6 cm,AC=5 cm,点

17、D,E分别在AB,AC上.若ADE 与ABC相似,且SADE S四边形BCED=18,则AD=_cm.,专题三 数学建模思想,【要点指导】数学建模是指将实际问题转化为数学模型的方法 在有关相似三角形的实际问题中,我们常建立相似三角形的数学模型,然后运用相似三角形的判定与性质来解答,例3 如图27-Z-19所示,大江的一侧有A,B 两个工厂,它们到江边DE的距离分别为3 km和2 km,两厂与江边平行方向的距离为4 km,现在要在江边 建一个码头C,码头C到两厂之间修通公路,要使公 路最短,费用最低,则码头C应建在哪里？,解 如图27-Z-19所示BEC=ADC=90,BCE=ACD,设EC=x

18、 km,则DC=(4-x)km.BE=BE=2 km码头C应建在距离点E1.6 km处,相关题2“今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东 门一十五里有木,问：出南门几何步而见木？”这段话摘自九章算 术,意思是说：如图 27-Z-20所示,矩形城池ABCD,东边城墙AB长 9里,南边城墙AD长7里,东门点E,南门点F分别是AB,AD的中点,EGAB,FHAD,EG=15里,HG经过点A,则FH=_里.,1.05,母题1(教材P34练习第3题)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个 三角形框架的三边长分别为4 cm,5 cm和6 cm,另 一个三角形框架的一边长为2 cm,它的另外两条边 长

19、应当是多少？你有几种制作方案？,中考链接,考点：相似三角形的判定.考情：考查相似三角形的判定的常见题型有数相 似三角形的个数,添加构成相似三角形的条件,计 算相似三角形的边长、角度等.,策略,有平行线用平行线法,有一对等角,找,有两边成比例,找,有直角三角形,找,有等腰三角形,找,另一对等角,夹该角的两边成比例,夹角相等,第三边也成比例,有一对直角,一对锐角相等,斜边、直角边成比例,顶角相等,一对底角相等,底和腰对应成比例,链接1 张家界中考 在ABC中,AB=8,AC=6,在DEF中,DE=4,DF=3,要使ABC与DEF相 似,则需添加的一个条件是_(写出一种情况即可).,A=D或BC=2

20、EF,链接2 佛山中考 如图27-Z-21所示,网格 图中的每个方格都是边长为1的正方形若A,B,C,D,E,F都是格点,试说明：ABCDEF。,解 所以ABCDEF.,链接3 江西中考 如图 27-Z-22所示,在ABC中,AB=8,BC=4,AC=6,CDAB,BD 是ABC的平分线,BD交AC于点 E,求AE的长.,解 BD为ABC的平分线,ABD=CBD.ABCD,D=ABD,D=CBD,BC=CD.BC=4,CD=4.ABCD,ABECDE,AE=2CE.AC=6=AE+CE,AE=4.,母题2(教材P43习题27.2第 12题)如图27-Z-23所示,平行 于BC的直线DE把ABC

21、分成 面积相等的两部分,试确定点 D(或E)的位置.,考点：相似三角形的性质.考情：考查相似三角形对应线段的比、周长比、面积比与相似比的关系.策略：相似三角形对应线段(中线、高、角平分 线)的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比 等于相似比的平方.,链接4 黔西南州中考 如图27-Z-24所示,在ABC中,点 D在AB上,BD=2AD,DEBC交 AC于点E,则下列结论中不正确 的是().,D,分析 BD=2AD,AB=3AD.DEBC,BC=3DE,故A选项正确；DEBC,故B选项正确；DEBC,ADEABC,故C选项正确；DEBC,AB=3AD,SADE=SABC,故D选项错误.,链接5

22、 荆门中考 如图27-Z-25,四边形ABCD 为平行四边形,E,F为CD 边的两个三等分点,连接 AF,BE交于点G,则SEFGSABG=().A13 B31 C19 D91,C,分析 四边形ABCD是平行四边形,CD=AB,CDAB,EFGBAG.DE=EF=FC,EFAB=13,母题3(教材P41练习第2题)如图27-Z-26所示,测得 BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求河宽AB.,考点：相似三角形的判定与性质的实际应用.考情：利用相似三角形的判定与性质解决生活 实际问题,单独考查时多以选择题、填空题的形 式出现,有时也在解答题中出现.策略：建立相似三角形模型,利用相似

23、三角形的 判定定理判定两三角形相似,再根据对应角相等 或对应边成比例求解.,链接6 陕西中考 周末,小华和小亮想用所 学的数学知识测量家门前小河的宽测量时,他们 选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C,A共线.已知：BCAD,DEAD,测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m测量示意图如图27-Z-27 所示请根据相关测量信息,求河宽AB,解 BCAD,DEAD,BCDE,ABCADE,即解得AB=17,经检验：AB=17是原分式方程的解且符合题意.

24、答：河宽AB为17 m.,链接7 衡阳中考 如图27-Z-28所示,已知零件的外径为25 mm,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和 BD相等,OC=OD)量零件的内孔直 径AB.若OCOA=12,量得CD=10 mm,则零件的厚度x=_mm.,2.5,分析由题意,得AOBCOD,CDAB=OCOA,即10AB=12,AB=20(mm).x=(25-20)=2.5(mm).,母题4(教材P50练习第1题)如图27-Z-29所示,把 AOB缩小后得到COD,求 COD与AOB的相似比.,考点：位似考情：求位似图形的相似比或求位似图形中点的坐标或画位似图形.策略：(1)位似图形上任意一对对应点到位似

25、中心的距离之比等于相似比；(2)在平面直 角坐标系中,如果以原点为位似中心,新图形 与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).,链接8 成都中考 如图27-Z-30,四边形 ABCD和四边形ABCD是以点O为位似中心的位 似图形,若OAOA=23,则四边形ABCD与四边 形ABCD的面积比为().A49 B29 C23,A,分析四边形ABCD和四边形ABCD是以 点O为位似中心的位似图形,OAOA=23,DADA=OAOA=23,四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为.故选A.,链接9潍坊中考 如在平面直角坐标系中,P(

26、m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把AOB 放大到原来的两倍,则点P的对应点的坐标为().A(2m,2n)B(2m,2n)或(-2m,-2n),A,分析 P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位 似中心把AOB放大到原来的两倍,则点P的对应 点的坐标为(m2,n2)或m(-2),n(-2),即(2m,2n)或(-2m,-2n).故选B.,链接10眉山中考 已知：如图27-Z-31所示,ABC三个顶点的坐标分别为A(0,-3),B(3,-2),C(2,-4),正方形网格中每个小正方形的边长是1个 单位长度(1)画出ABC向上平移6个单位长度得到的 A1B1C1；(2)以点C为位似中心

27、,在网格中画出A2B2C2,使A2B2C2与ABC位似,且A2B2C2与ABC的 位似比为21,并直接写出点A2的坐标,解(1)如图27-Z-32所示,A1B1C1即为所求.(2)如图27-Z-32所示,A2B2C2即为所求,点 A2的坐标为(-2,-2),母题5(教材P44习题27.2第14题)如图27-Z-33所示,在ABC中,AB=8,AC=6,BC=9.如果动点D以每秒2个单位长度的速度,从点B出发沿边BA向点A运动,此时直线DEBC,交AC于点E.记x秒时DE的长度为y,写出y关于x的函数解析式,并画出它的图像.,考点：相似三角形的判定与性质、函数的基本知识.考情：动态几何即用运动的

28、观点解决几何问题,相似三角形与函数的综合运用.策略：数形结合思想的运用,融代数与几何为一 体,把代数问题与几何问题相互转化,充分运用相似与函数的知识解决问题,运用几何知识求解析式是解题的关键.与二次函数结合时,往往涉及最大面积、最小距离等问题,解题时需要建立函数关系,运用函数的性质求解.,链接11汕头中考 如图27-Z-34所示,ABC与EFD均为等腰直角三角形,AC与DE重 合,AB=EF=9,BAC=DEF=90,固定ABC,将EFD绕点A 顺时针旋转,当DF边与AB边重合 时,旋转终止.不考虑旋转开始和结束时重合的情 况,设DE,DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的 延长线)于点G,

29、H,如图27-Z-34所示.,(1)始终与AGC相似的三角形有_及 _；(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数解析式(只 要求根据图的情况说明理由)；(3)当x为何值时,AGH是等腰三角形？,解(1)HGAHAB(2)由(1)可知AGCHAB,(3)当CG BC时,GAC=HHAG,AGGH.又AHAG,AHGH,此时AGH不可能是等腰三角形；,当CG=BC时,G为BC的中点,点H与点C重合,AGH是等腰三角形,此时,GC=BC=当CG BC时,由(1)可知AGCHGA,若AGH是等腰三角形,只可能存在AG=AH,若AG=AH,则AC=CG,此时,x=9 综上所述,当x的值为 或9时,AGH是等 腰三角形,