[理学]高数第十二章习题答案.doc

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1、第十二章 微分方程第一节 微分方程的基本概念 1.将下列方程与其名称用线连接起来（） （）阶微分方程（）（）阶微分方程（） （）代数方程（） （）偏微分方程（）（）阶微分方程 .设微分方程为 （）验证（为任意常数）是方程的通解； （）由通解求满足初始条件的特解； （）说明上述通解和特解的几何意义 解（）因为，所以，故是微分方程的解又因为含有一个任意常数，故是方程的通解（）将代入中，得，所求特解为（）通解是满足方程（）的一簇曲线，特解是满足初始条件的一条曲线 注意易犯的错误是在（）中只验证了是方程的解，而没有强调此解中包含一个任意常数.产生错误的原因是对通解的定义理解不清楚一般的，阶微分方程的通

2、解中应包含个相互独立的任意常数 .设一阶微分方程的通解为，其中为任意常数，求此微分方程 解将方程两边对求导得，即，将其代入得即. 注意易犯错误是.产生错误的原因，一是丢失了函数，二是微分方程中没有消去常数第二节 可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程 .求下列微分方程的通解（）解将方程分离变量得两边积分得：故所求通解为或（）解令，则故即解得所求通解：（）解分离变量得，两边积分得：，故所求通解为（）解分离变量得积分得，即所求通解为. .求下列微分方程满足所给初始条件的特解（），解分离变量得，两边积分得通解为，将代入得：故所求特解为（）解分离变量再积分，因为时，所以.则为所求特解（）解分离变量得，

3、两边积分得通解为将代入得，所求特解为，（）解分离变量得，两边积分得即将代入得，所求特解为 .已知曲线过点，且其上任意一点处的切线斜率为，求曲线方程 解由题意得故又过点，故，即所求曲线方程为 .若以曲线为曲边，以为底的曲边梯形的面积与纵坐标的次幂成正比，且已知，求此曲线的方程 解曲线所满足的积分方程是将积分方程两边分别对求导，得曲线所满足的微分方程为，即，两边积分得将代入上式，解得，所求曲线方程为注意易犯错误是 .产生错误的原因是把函数看作与无关的量，由实际上，函数是的函数，由于还没有求出其具体表达式，不能直接积分 .求下列微分方程的通解（）解（）方程变形为，由公式法（）（为常数）解（）解方程变

4、形为，由公式法（）解分离变量得 两边积分得 即 .求下列微分方程满足所给初始条件的特解（）解，代入，得，所求特解为（）解，将代入，得，所求特解为（）解法方程变形为，由公式即代入得，所求特解为解 法 ，设，代入方程得分离变量得，积分得将代入得，所求特解为（）解方程两端对求导得，即，由公式得由方程得初值条件，代入得.所求特解为 .设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解 解 把代入方程得，故方程可化为故 由得，故所求特解为 8.已知在全平面上与路径无关，其中具有一阶连续导数，并且L是起点为终点为的有向曲线时，该曲线积分值等于，试求函数 解由于积分与路径无关，则，即，所以由，得所以，则第三节

5、 可利用变量代换法求解的一阶微分方程 .求下列齐次方程的通解（）解，令，则，分离变量得积分得 所以 所求通解为 （）解，令，代入方程得，分离变量得，积分得：，所以，将代入得所求通解为（3）解 令，则方程变为：故 所以通解为 （）解方程变形为令，则分离变量，积分得，即代入原变量得通解 .求下列齐次方程满足所给初始条件的特解（）解方程两边同时除以得 令，代入得分离变量得，积分得，将代回得，由于，所以所求特解为（）解，令，代入得，化简得，两边积分得，所以，即将初始条件代入得所求特解为 .用适当变量替换，求解下列方程（）解令，则，所以，分离变量得积分得，.将回代得（）解令，则，代入方程得分离变量得，方

6、程两边积分得，故则，即为所求通解 .求下列伯努利方程的通解（）解，这是的伯努利方程令，则，所以所求通解为（）解令，则方程变形为其通解故原方程通解为（）解方程变形为，令，则.故所以原方程通解为第四节 全微分方程 .验证下列各方程为全微分方程，并求出方程的通解（）解，由于，所以方程为全微分方程所求通解为注意常犯错误是，产生错误的原因是忽视了与在处无定义，积分下限不能取，即不能在轴上取起点（）解，由于，故方程为全微分方程方程可变形为即 故通解为 （）解，由于，故方程为全微分方程故通解为 2.已知，试确定，使为全微分方程，并求出全微分方程的解.解，令，有即 ，又因为得故.由于故全微分方程的通解为 .利

7、用观察法求下列方程的积分因子，并求其通解（）解法方程两边同时除以得，即，通解为，积分因子为解 法用同时乘以方程两边得，由于，方程为全微分方程由于在处无定义，所以通解为，即注意易犯错误是.产生错误的原因是不能在轴上取，因为与在处无定义（）解取，则有，即，通解为第五节 可降阶的高阶微分方程 .求下列微分方程的通解（）解，即（）解令，则，原方程变为即，所以.故（）解，所以，分离变量得，积分得，所以，则，所求通解为 （）解 令，微分方程变形为，分离变量积分得，即，直接积分得，所求通解为（其中） .求下列微分方程满足所给初始条件的特解（）解 令，即，分离变量积分得 ，所以，代入初值，得，所以，积分得，代

8、入初值，得所求特解为（）解 令，则，即，积分得，代入得所以，积分得.代入得，（）解 法令，有，即，这是的伯努利方程，令得，即，由初值条件，有，求得，则，即，由初值条件，只取，再分离变量积分得，由得，所求特解为解 法令，方程变形为，令，则，分离变量得，积分得即，亦即，代入，得，所以，又因为，所以，分离变量积分得，由得，所求特解为注意 易犯的错误是，分离变量积分得，由得，所求特解为产生错误的原因是没有考虑这个条件当时，不满足初值条件，故应将其舍掉，得特解为对于可降阶的微分方程求特解，边求解边确定任意常数，会给后面的计算带来方便若求出通解后再定义常数，不仅在积分过程中计算繁琐，而且确定常数时容易出错

9、.设一物体质量为，以初速度从斜面上推下，若斜面的倾角为，摩擦系数为，试求物体在斜面上移动的距离与时间的函数关系解 重力沿斜面的分力大小为，沿斜面法线方向的分力为，故摩擦阻力设位移函数，则有，代入初值，得，代入得，所以位移函数为第六节 线性微分方程通解的结构 .已知方程的两个特解为，试求该方程满足初始条件的特解 解 由于，所以是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的解，因此方程的通解为，将代入得，而，将代入得，所求特解为注意 易犯的错误是没有判别与的线性无关性. 与线性相关,则就不是通解,也无法定出特解. 2.设函数都是二阶非齐次线性微分方程的解,证明函数必为对应齐次方程的解. 证 由于是的解,所

10、以 (1)-(2)并整理得 ，即必为的解. 3.已知函数和是二阶线性非齐次微分方程所对应的齐次方程的两个特解,而该非齐次线性微分方程本身的一个特解为,求此二阶线性非齐次微分方程的通解,并写出这个方程. 解 法1 由解的结构定理知非齐次微分方程的通解为,设微分方程为,则有 解得 故有 .解 法2 通解为 ,得 ,将代入(3),整理得所求微分方程为 .注意 易犯的错误是无法消去通解中的任意常数,此时要通过的表达式消元.第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 1.求下列微分方程的通解.(1)解 特征方程为 ，特征根为 ，通解为 .(2)解 特征方程为 ，特征根为 ，通解为 .(3)解 特征方程为 ，特征

11、根为 ，通解为 .(4)解 特征方程为 ，特征根为 ，通解为 .(5)解 特征方程为 ，特征根为 ，通解为 . 2.求以为通解的微分方程(其中为任意常数). 解 法1 ,消去常数,得所求微分方程为 . 解 法2 因为特征值,特征方程为,因此所求微分方程为 .3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解.(1)解 特征方程 ，,由得,又,由得,所求特解为 .(2)解 特征方程 ，特征根 ，故通解为 由得 故所求通解为 . 4.若函数满足条件,求由曲线与所围成图形的面积. 解 由题设对两边求导,得,则有,即,特征方程为 ,由得,所以 ,从而,故 .第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 1.设,当为下列

12、情形时,写出非齐次方程特解的形式(不具体计算). 的特征方程为,特征根(1)当时,由于为单特征根,故设特解.(2)当时,由于不是特征根,故设特解.(3)当时,由于不是特征根,而x为一次多项式,故设特解(4)当时,为三项组合,由于为单特征根,均不是特征根,所以设特解.注意 易犯错误是(1)设,错误原因是忘记了是单特征根.(3)设,或者设,错误的原因是对特解的结构不清楚.由于是一次多项式,虽然中不含常数项,也要设;虽然中的三角函数只出现一项,也必须设,否则会出现错误.(4)设,或,第二种错误的原因类似于（3），而设，丢了两项. 2.求下列微分方程的通解（1）解 由，得齐次方程的通解为，设，将代入方

13、程，由待定系数法得所以，所求通解为 （）解 由特征方程为得，齐次方程的通解为，设代入原方程解得，所以，所求通解为. .求微分方程，满足条件的特解 解 特征方程，特征根，故设特解，代入方程得.故方程通解为 .由得特解为 .试求函数，使曲线积分与积分路径无关解由题设有得即由特征方程得，所以，设代入原方程求得，所以，所求注意将积分问题转换为微分方程是常用的一种技巧，否则此题无法求解 .设连续，且，求 解令，则故 两边对求导得再对求导得 即 特征方程，特征根所以齐次方程通解为设非齐次方程的一个特解为，代入方程得故方程通解为.由得故 .求微分方程满足初始条件的解解 令，则原方程变形为，即，由特征方程得，

14、齐次方程的通解为，设，由待定系数法得，所以，通解为，将代入得所求通解为，将初值代入得，所求特解为注意易犯错误是将初值条件代入去求产生错误的原因是把初值误认为是时事实上初值条件是时，应该代入来确定，或者转换成时，而代入确定设二次可微，且对任意封闭曲线有，又，求 解由题设有得，即.令得，由得，齐次方程的通解为，将初值代入得，所求 第十二章 微分方程（总习题） .将下列所给方程的类型及求解方法用线连接起来（） （）伯努利方程，作代换.（） （）可分离变量的微分方程，分离变量，两边积分.（） （）以变量为函数，一阶线性非齐次微分方程，常数变易法.（） （）齐次微分方程，令.（） （）全微分方程，代公式

15、. 解 （）方程变形为，与（）连线（）方程变形为，与（）连线（）方程变形为，与（）连线（），因为，与（）连线（）方程变形为，与（）连线 .设是二阶常系数微分方程满足初始条件的解，讨论极限是否存在？ 解 将代入微分方程有使用两次洛必达法则有. .求满足初始条件的特解 解 令，方程化为，故所以，代入，得故所求特解为 .设可导函数满足，求 解 方程两边分别对求导得即 由题设，当时，有，代入，得，所以注意易犯的错误是.错误原因是不会寻求初值条件事实上积分方程中隐含着初值条件，只要将代入该方程，即可求得，进而求得，得出特解 求微分方程的通解 解 ，故为全微分方程所以通解为. .设曲线积分与路径无关，且，

16、试计算积分 解 积分与路径无关，故，即 ，特征方程，特征根，所以齐次方程通解为设特解，代入方程得所以通解为，由得，所以，所以积分 .一曲线过点，且位于第一象限内，在其上任取一点，过该点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与轴和曲线所围成图形与另一条平行线与轴和曲线所围成的图形绕轴旋转所成立体体积相等，求此曲线方程 解 设曲线方程为为曲线上任意一点，由题设得，方程两边求导得，整理得，积分得所求曲线为 .若是的一个原函数，是的一个原函数，求 解由，得，所以，由题设有，则即，积分得，由得，所以 .设二阶常系数线性微分方程的一个特解为试确定常数，并求该方程的通解 解法由特解知原方程的特征根为和因此特征方

17、程为，于是，为确定，将代入原方程，得.原方程通解为解 法将代入原方程得，比较同类项系数得解得 .故原方程为 易求得对应齐次方程通解，又已知一个特解，故原方程的通解为即，其中 10.已知是方程的三个线性无关的解，求该方程的通解；又若，写出微分方程 解由于是方程的三个线性无关的解，则为对应齐次微分方程的两个线性无关的解，则该方程的通解为令，则线性无关，所以为对应齐次微分方程的特征根，故，即，故微分方程为，由于是其解，将代入求得，得微分方程 11.火车沿水平轨道运动，火车的重量为，机车的牵引力为，运动的阻力为（为正常数），是火车的速度，假定时，求火车的运动规律 解由题意知，即，特征方程，特征根，所以齐次方程通解为 .设特解，代入方程得所以方程通解由，得，故 138