定积分和微积分基本定理知识梳理.doc

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1、定积分和微积分基本定理【考纲要求】1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。2.正确计算定积分，利用定积分求面积。【知识网络】【考点梳理】要点一、定积分的概念定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分.记作，即，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.要点诠释：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：分割；近似代替；求和；取极限.要点二、定积

2、分的性质（1）（为常数），（2），（3）（其中），（4）利用函数的奇偶性求积分： 若函数在区间上是奇函数，则；若函数在区间上是偶函数，则.要点三、微积分基本定理如果，且在上连续，则,其中叫做的一个原函数.由于也是的原函数，其中c为常数.一般地，原函数在上的改变量简记作.因此，微积分基本定理可以写成形式：.要点诠释：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.要点四、定积分的几何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.在上，当时，由曲线以及直线

3、与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在上，当既取正值又取负值时，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和. 在轴上方的面积积分时取正号，在轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.要点五、应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：；2. 如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：；3. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积公式为：.4.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函

4、数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.（二）利用定积分解决物理问题变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.【典型例题】类型一：运用微积分定理求定积分例1. 运用微积分定理求定积分（1）； （2）； （3）.【解析】（1），；（2），.（3），；【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得的原函数。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求，即利用求导函数与求原函数互为

5、逆运算。举一反三：【变式】计算下列定积分的值：（1）， （2） 【解析】（1）（2）【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577 典型例题四】例2.求【解析】【总结升华】化简被积函数是积分的前提，直到最简为止.举一反三：【变式】计算下列定积分的值.（1）； （2）； （3）； 【解析】（1），（2）.（3）.例3.求定积分 ，求函数在区间上的积分；【解析】 .【总结升华】当被积式为分段函数时，应分段积分。举一反三：【变式】求定积分：；【解析】 类型二：利用定积分的几何定义例4. （2016 河南商丘模拟）求定积分：； 2【解析】设，则表示个圆，02由定积分的概念可知，所求积分就是圆的面积,所

6、以举一反三：【变式】求定积分：【解析】设，则表示如图的曲边形，其面积,故.类型三：利用定积分求平面图形面积例5.(2015 山东淄博一模)如图所示，曲线yx21，x2，x0，y0围成的阴影部分的面积为()A.B. C. D. 【答案】A【解析】由曲线y|x21|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即，选A.【总结升华】求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是：（1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）； （3）确定被积函数，即解决“积什么”的问

7、题，是解题的关键；（4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；（5）计算各个定积分，求出所求的面积.举一反三：【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577 典型例题一】【变式1】由直线，曲线及轴所围图形的面积为( ).A B CD【解析】【答案】D【变式2】(2015 江西宜春月考)已知函数f(x)x3x2x1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)x2围成的图形的面积【解析】(1,2)为曲线f(x)x3x2x1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k，则kf(1)3x22x12，过点(1,2)处的切线方程为y22(x1)，即y2x.y2x与函数g(x)x2围成的图形如图：由可得交点A(

8、2,4)y2x与函数g(x)x2围成的图形的面积类型四：利用定积分解决物理问题例6. 汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？【解析】首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，当时，汽车速度公里/小时米/ 秒8.88米/秒.刹车后汽车减速行驶，其速度为.当汽车停车时，速度，故从到用的时间秒.于是在这段时间内，汽车所走过的距离是 米.即在刹车后，汽车需走过21.90 米才能停住.【总结升华】解决实际应用问题，解题的关键是弄清事物变化发展的规律，再根据规律变化找到相应的函数式.举一反三：【变式1】一物体在力的作用下，沿着与相同的方向，从处运动到处，求力所做的功。【解析】.【变式2】 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：）紧急刹车至停止。求：（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后火车运行的路程。【解析】（1）由解得，因此，火车经过后完全停止；（2）=。