[理学]多元函数的概念 教案山西大同大学.doc
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1、第八章 多元函数8.1多元函数的概念自变量只有一个的函数称为一元函数,有二个独立的自变量的函数称为二元函数,有三个独立的自变量的函数称为三元函数,自变量有一个的函数就称为元函数,二元及二元以上的函数统称为多元函数。以前所学的函数都是一元函数,但是在实际问题中,所涉及的函数的自变量的个数往往不只是一个,有的是两个,甚至更多。例如,一个圆锥体的体积,它有两个独立的变量、。为此,就需要进一步讨论自变量为两个,或者更多情形下的多元函数。本节以二个独立的变量为基础,首先给出二元函数的概念。1二元函数的概念定义 设有两个独立的变量与在一定范围内取值,任取一组数值时,第三个变量就以某一确定的法则有唯一确定的
2、值与其对应,那末变量称为变量与的二元函数。记作其中与称为自变量,函数称为因变量,自变量与取值范围称为函数的定义域,一般记为。二元函数在点所取得的函数值记作,或类似地,可定义二元函数、四元函数、元函数等多元函数。2二元函数的定义域与一元函数相同,决定二元函数的要素仍然是定义域和对应法则。那么,二元函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围。对于一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间,二元函数的定义域可以是整个坐标平面,可以是一条曲线,还可以是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面。整个坐标平面或由曲线所围成的部分平面称为区域,围成区域的曲线称为区域的边界,边界上的点称为边界点,包
3、括边界在内的区域称为闭区域,不包括边界在内的区域称为开区域。开区域内的点称为内点。如果一个区域(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数,则称为有界区域,即一个区域可以被包含在一个以原点为圆心,适当长为半径的圆内;否则称为无界区域。如同区间可用不等式表示一样,区域也可以用不等式或不等式组来表示。区域通常表示为或两种形式,前者称为型区域,后者称为型区域。最简单的区域有矩形域和圆形域,如图81所示。例1 求的定义域解 该函数的定义域为 图81例2 求下列函数的定义域,并画出的图形。(1)(2)解 (1)要使得有意义,则需,即故函数的定义域,此区域是一个矩形域。(2)要使得有意义,则需 即故
4、函数的定义域,此区域是一个圆环。3二元函数的几何解释是二元函数定义域内的任意一点,则相应的函数值是,有序数组确定了空间一点,当在内变动时,对应的点就在空间变动,即对应P点的轨迹就是函数的几何图形,它通常是一张曲面,其定义域就是此曲面在平面上的投影。因此,二元函数在空间直角坐标中一般表示的是曲面。8.2 二元函数的极限及其连续性一、二元函数的极限与一元函数的极限类似,对于二元函数同样可以讨论当自变量与趋向于有限数值与时,函数的变化趋势,即二元函数的极限。、趋于、可看作成点趋向点,记作或。若,即,则就可表示。在平面上,趋于的方式可以时多种多样的,因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果定义于的
5、某一去心邻域的一个二元函数与一个确定的常数,当点以任意方式趋向点时,总是趋向于一个确定的常数,那么就称是二元函数当时的极限。为了区别于一元函数的极限,则把二元函数的极限叫做二重极限定义1 设函数在点的某一邻域内有定义(点除外),若点无限地趋于点时,恒有(是任意小的正数),则称为函数当时的二重极限,记为或。用语言严格给出定义1的二重极限的定义如下定义2 对任意给定的正数,无论怎样小,总存在一正数,当满足的一切恒有成立,则常数称为函数当时的二重极限。例1 函数当沿轴趋于时,即,当沿轴趋于时,即,当沿着直线趋于时,随着的取值不同,的值不同,所以不存在。注 一元函数的极限,点只沿轴趋于0,但二元函数的
6、极限要求点沿以任意方式趋向点,若沿轴或沿轴或沿平行与坐标轴的直线或沿某一条曲线趋于时的极限都存在,也不能确定它的极限不存在。二、二重极限的运算法则正像一元函数的极限一样,二重极限也有类似的运算法则当时, 则(1) (2) (3) ,其中例2 求极限 解 三、二元函数的连续性像一元函数一样,可以利用二重极限来给出二元函数连续的概念1二元函数连续的概念定义1 如果当点趋向点时,函数的二重极限等于在点处的函数值,则称函数在点处连续。如果在区域的每一点都连续,那末称它在区域连续。二元连续函数的和,差,积,商(分母不为零)和复合函数仍是连续函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的(多元初等函数是指由
7、常数及其具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的可用一个式子表示的多元函数)。如果二元函数连续,又在其定义域内时,当在定义域内求函数在的极限,可把用直接代入计算二元函数在点的函数值,即为其极限。例3 求极限 解 2多元函数连续性的性质性质(有界性及最大值与最小值定理)1 在有界的闭区域上的多元连续函数,必定在上有界,且取得最大值与最小值。性质(介值定理)2 在有界的闭区域上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。性质(一致连续性定理)3 在有界的闭区域上的多元连续函数,必定在上一致连续性。3二元函数间断性定义2 如果函数在不满足连续的定义,那末我们就称是
8、的一个间断点。二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似,但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂,它除了有间断点,还有间断线。例4 求函数的间断线解 与都是函数的间断线。8.3 偏导数在一元函数中,导数就是函数的变化率。对于二元函数同样要研究它的“变化率”。然而,由于自变量多了一个,情况就要复杂的多。在平面内,当变点由沿不同方向变化时,函数的变化快慢一般说来时不同的,因此就需要研究在点处沿不同方向的变化率。一、偏导数的概念若点只沿着平行于轴和平行于轴两个特殊方位变动时,函数有变化率。则其变化率叫做偏导数。1函数在点的偏导数定义1 设有二元函数,点是其定义域内一点,把固定在,而让在有增量,相应地函
9、数有增量(称为对的偏增量)如果与之比当时的极限存在,则此极限值称为函数在处对的偏导数,记作或注 函数)在处对的偏导数,是把固定在,实际上就是把看成常数后,二元函数的偏导数就转化为一元函数在处的导数。同样,把固定在,让有增量,如果极限存在,则此极限称为函数在处对的偏导数,记作或2函数的偏导函数当函数在的两个偏导数与都存在时,则称在处可导。如果函数在域的每一点均可导,那末称函数在域可导。此时,对应于域的每一点,必有一个对(对)的偏导数,因而在域确定了一个新的二元函数,称为对(对)的偏导函数。简称偏导数。定义2 如果函数在区域内每一点处对的偏导数都存在,且是的函数,则称它为函数对自变量的偏导函数,简
10、称为偏导数,记作 或类似地,可以定义函数对自变量的偏导函数,记作 或3偏导数的求法求时,只要把其它自变量看成常数而对求导数即可;求时,只要把其它自变量看成常数,对求导数即可。这是因在求偏导数时只有一个变量在变,其它变量固定的原因,故可按一元函数的求导方法求之。例1 求的偏导数解 把看作常量对求导数,得把看作常量对求导数,得例2 求的偏导数。解 根据二元函数的偏导数的求法来做。把和看成常量对求导,得把和看成常量对求导,得.把和看成常量对求导,得例3 求函数在点处的两个偏导数解 ,例4 设,求证证明 , +例5 设,求证证明 同理 , 例6 函数,求和解 同理 注 (1)偏导数符号、是一个整体的记
11、号,不能认为是与、与的商。(2)函数在点的偏导数实在是偏导函数在点的函数值(3)对二元函数)在处的偏导数存在,但不能保证函数在该点的极限存在,如例6。(4)二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。(5)函数在某点处两个偏导数都存在,但函数不一定可微连续。如在点处的两个偏导数都存在,但函数点处不连续。4导数的几何意义设为曲面上的一点,过作平面,截此曲面得一条曲线,此曲线在平面上的方程为,则导数,即二元函数在点处对的偏导数的几何意义就是这曲线在点处的切线对轴的斜率;同样地,偏导数的几何意义就是这曲线在点处的切线对轴的斜率。二、高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数,那么在内、都是的函数
12、,若这两个偏导函数的偏导函数也存在,则称它们的偏导数是函数二阶偏导数。即如果二元函数的偏导数与仍然可导,那么这两个偏导函数的偏导数称为的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个;.其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数。类似地,可定义三阶、四阶、以及阶偏导数,二阶及二阶以上的偏导数就称为高阶偏导数,而把与称为一阶偏导数。定理 如果函数的两个混合偏导数与在区域内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。注 (1)该定理说明,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。(2)与的区别在于:前者是先对求偏导,然后将所得的偏导函数再对求偏导;后者是先对求偏导再对求偏导例7 求函数的二阶偏导数.解
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