[理学]Chapter 4 振动.doc

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1、第四章 振动一、教学的基本内容：简谐振动和简谐振动函数，旋转矢量法描述简谐振动，谐振子（弹簧振子、单摆和复摆），同一条直线上的两个简谐振动的合成（合振动加强和减弱的条件）。二、教学的基本概念：机械振动和广义振动，为什么说简谐振动是最简单的振动？何为简谐振动？旋转矢量的圆周运动与投影点的谐振动的关系，作图法处理同一直线上两个简谐振动的合成的基本思路与方法，震动叠加后加强与减弱的条件及实际意义。三、教学的基本规律：1简谐振动的定义式： 三个特征：振幅 决定振动的能量； 角频率 决定振动系统的性质； 初相 决定起始时刻的选择。简谐振动可以用旋转矢量图法表示。2 振动的相（）两个振动的相差：同相 ；

2、反向 3简谐振动的运动微分方程： 回复力 初始条件决定振幅和初相： ； 4、简谐振动的实例：弹簧振子： 复摆： 5、简谐振动的能量：6、同一直线上的两个同频率简谐振动的合成：两个分振动分别为：；合振动其中 当时， 合振动的振幅最大；当时， 合振动振幅最小。四、教学内容的重点：简谐振动，振动的相，同一直线上两个同频率简谐振动的合成，合振动的加强和减弱的条件。五、教学内容的难点：旋转矢量法表示简谐振动，证明某一实际振动为简谐振动。六、课后作业：教材P71，习题1，2，3，4，5，6七、教学实践信息反馈以及解决方法：一、什么叫机械振动呢？“物体在一定位置附近来回往复的运动叫机械运动”。二、机械振动的

3、最重要的特征是什么？“机械振动的最重要的特征是它的周期性”。那么什么是周期性呢？所谓的周期性是指“每隔一段时间的时间，物体的运动就完全重复一次”。三、广义振动：机械振动是物体位移（这个物理量）随时间作周期性变化，人们把机械振动的概念加以延伸：任何一个物理量随时间作周期性变化时，都称为振动。例如：交流电的电流和电压，电磁波中的电场强度和磁场强度。四、什么样的振动是最简单的？“简谐振动”是最简单的。为什么说“简谐振动”是最简单的？因为任何一个复杂的振动都可以由若干个简谐振动迭加而成，所以简谐振动是研究复杂振动的基础。4-1 简谐振动一、简谐振动函数（简谐振动方程）下面以“弹簧振子”为例导出简谐振动

4、函数。如图所示：物体之间振动，点称为平衡位置。在任意位置时，振子受力，由牛顿第二定律知，加速度为 （为物体质量） 、均大于0可令 可有： 式(12-2)是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为 或 其中、为积分常数。这就是简谐振动函数。二、作几点说明：1符合以上两式的振动为简谐振动（定义）由于，所以。因而，是振子振动时，离开平衡位置的最大距离，称为振幅（即振动位移的最大幅值）。2振动的速度： 振动的加速度：振子运动状态由两个量表示，由以上四式可知，都取决于这个量，所以是一个十分重要的量，称为相位。当时，则相位称为初相位。前一次课，我们以“弹簧振子”为例定义了：符

5、合以下两式或（简谐振动的振动方程）的振动为简谐振动，其中为简谐振动的振幅；为简谐振动的相位；为初相位。角频率（圆频率）、和三者之间的关系为：令初相，则分别称为谐振动的曲线，曲线和曲线。可见，的相位超前相位，而的相位与的相位“相反”。3设振动的周期为，则： 比较可得： 又 可见，是振子“”秒内全振动的次数，称为角频率。 和的值均由弹簧振子自身确定，与外界各因素无关，故称为弹簧振子的固有频率。4简谐振动的曲线，曲线和曲线，根据简谐振动函数公式，速度公式和加速度公式可给出三种曲线，如图所示：、和的频率相同，但它们的相位不同。三、旋转矢量法：设有一个长度为的矢量，在平面内绕原点，以角速度沿逆时针方向匀

6、速转动，如图所示，假设时旋转矢量与轴间的夹角为，那么时刻转过的角度为，则旋转矢量的端点在轴上的投影点的坐标为：结论：投影点在轴上做简谐振动，可见作逆时针匀速圆周运动的旋转矢量与做简谐振动的投影点有一个简单却又十分密切的关系。注意以下两点：1不要混淆了旋转矢量与投影点两者之间的关系：旋转矢量做的是逆时针圆周运动，真正做简谐振动的是投影点。2清楚以下四个量的双重身份：既是旋转矢量的模又是投影点在轴上做简谐振动的振幅；既是旋转矢量沿逆时针方向匀速圆周运动的角速度，又是投影点做简谐振动的角频率；既是旋转矢量在时与轴之间的夹角，又是投影点做简谐振动的初相；既是旋转矢量在任意时刻与轴上之间的夹角，又是投影

7、点做简谐振动任意时刻的相位。或者选取轴为竖直轴，如图所示：4-2 谐振子一、什么是谐振子？我们把“作简谐振动的系统叫做谐振子”。常见的谐振子有：单摆、复摆、弹簧振子、LC震荡电路二、弹簧振子我们在前一节学习了“弹簧振子”，得到了如下结果：当时，则：，联立解得： 振幅公式 初相公式可见，振幅和初相取决于初始状态。弹簧振子的机械能： 说明：弹簧振子的动能和势能都在随时间变化，但总机械能却保持不变，而且三、复摆如图，“任意刚体绕固定轴自由（未计任何阻力）摆动”可视为复摆。根据刚体定轴转动定律：其中：当很小时，则 令 其解为： 可见复摆做的亦是简谐振动。其中，振幅是复摆的最大摆角(绝对值)，角频率。

8、周期 复摆的摆动角速度为： 初始摆角： 初始角速度为： 联立解得： 说明复摆的振幅和初相取决于初始状态。LC震荡电路也是一个谐振子，放到电磁学去学习。四、应用举例：例一、参见教材P59例41一物体沿x轴作简谐振动，振幅为，周期为。时，位移为，且向x轴正向运动。（1）求物体振动方程；（2）设时刻为物体第一次运动到处，试求物体从时刻运动到平衡位置所用最短时间。解：（1）设物体谐振动方程为由题意知 方法一用数学公式求, 方法二用旋转矢量法求根据题意，有如左图所示结果 图12-9由上可见，方法二简单（2）方法一用数学式子求由题意有： （） 或 此时 设时刻物体从时刻运动后首次到达平衡位置，有： 或 （

9、） 方法二用旋转矢量法求由题意知，有左图所示结果，M1为时刻末端位置，M2为时刻 末端位置。从内转角为 显然方法二简单。例二、参见教材P60例42 已知：，时，解：与平衡时， 时，应用 4-5 同一直线上两个简谐振动的合成设有两个简谐振动分别为： 同在轴方向上，振动角频率同为如果某一个质点同时参与以上两个谐振动，则任一时刻，质点的位置为：这就是两个同方向（轴方向）同频率（皆为）简谐振动的合成问题。如果利用三角函数的和差化积公式，很容易得出结果，但物理意义未突出，下面采用旋转矢量法求出两个简谐振动的合成。如图所示，时，旋转矢量与简谐振动对应，旋转矢量与简谐振动对应，则它们的合矢量就与对应。所以合

10、成的旋转矢量与合成后的合振动对应，由此得到下面的结论：两个同频率同方向的简谐振动，合振动方程为：，由图可得合振幅和合振动初相公式：下面做几点说明：1当两个分振动的初相位差：时，则 则合振动振幅为：此时合振动的振幅最大，称为振动加强；如果是两个光振动合成的话，则该点看上去最亮。2当两个合振动的初相差时，则 则合振动的振幅为：此时合振动振幅最小，称为振动减弱；如果是两个光振动合成的话，则该点看上去最暗。3如果是两个同方向，不同频率的简谐振动合成时，仍然可以用前面旋转矢量法或平行四边形法则求解，但是由于两个旋转矢量和的角速度不同，所以平行四边形的形状在不断变化，所以合振动振幅亦在随时间变化，故合成后

11、不再是简谐振动。设两个振幅相等，同方向不同频率的两个简谐振动用三角函数的和差化积方法求合振动 这就是两个振幅相等，同方向不同频率的简谐振动的合成结果，当两个合振动频率较大且相差很小时，即 （假定）或者说 上式中的因子可视为振幅，而因子可视为角频率。12-1简谐振动1、弹簧振子运动如图所取坐标，原点O在m平衡位置。现将m略向右移到A，然后放开，此时，由于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。在弹性力作用下，物体向左运动，当通过位置O时，作用在m上弹性力等于0，但是由于惯性作用，m将继续向O左边运动，使弹簧压缩。此时，由于弹簧被压缩，而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左运动，使m速率减小，直

12、至物体静止于B（瞬时静止），之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。 图12-12、简谐振动运动方程由上分析知，m位移为x（相对平衡点O）时，它受到弹性力为（胡克定律）： (12-1)式中： 当即位移沿+x时，F沿-x，即当即位移沿-x时，F沿+x，即为弹簧的倔强系数，“”号表示力F与位移x（相对O点）反向。定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知，弹簧振子做谐振动。由牛顿第二定律知，加速度为 （为物体质量） 、均大于0，可令 可有： (12-2)式(12-2)是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，

13、它的解为 (12-3)或 (12-4)式(12-3)(12-4)是简谐振动的运动方程。因此，我们也可以说位移是时间的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。本书中用余弦形式表示谐振动方程。3、谐振动的速度和加速度物体位移：速度： (12-5)加速度： (12-6)可知：、曲线如下图12-3说明：（1）是谐振动的动力学特征；（2）是谐振动的运动学特征；（3）做谐振动的物体通常称为谐振子。12-2 谐振动的振幅 角频率 位相上节我们得出了谐振动的运动方程，现在来说明式中各量意义。1、振幅做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做。反映了振动的强弱。2、角频率（圆频率）为了定义角频率。首先定义

14、周期和频率。物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用表示；在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用表示。由上可知： 或 为周期，从时刻经过1个周期时，物体又首次回到原来时刻状态，（余弦函数周期为） 可见：表示在秒内物体所做的完全振动次数，称为角频率（圆频率） 对于给定的弹簧振子，、都是一定的，所以、完全由弹簧振子本身的性质所决定，与其它因素无关。因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。3、位相在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当、给定后，物体的位置和速度取决于，称为位相（或周相、相位）。由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。是时的位相

15、，称为初相。4、的确定对于给定的系统，已知，初始条件给定后可求出、。初始条件：时 由、表达式有 即即 （12-6） （12-7）值所在象限：1），：在第象限2），：在第象限3），：在第象限4），：在第象限5、两个谐振动物体在同一时刻位相差设物体1和2的谐振动方程为 图 12-4任意时刻二者位相差为：2的位相比1超前：2、1同位相：2的位相比1落后例12-1：如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上，已知，试求下列情况下的振动方程。（1）将从平衡位置向右移到处由静止释放；（2）将从平衡位置向右移到处并给以向左的速率为。解：（1）的运动方程为由题意知：初始条件：时，可得： 图12-5 ， 2） 初始条件

16、：时， 可见：对于给定的系统，如果初始条件不同，则振幅和初相就有相应的改变。例12-2：如图所示，一根不可以伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离平衡位置释放，小球即在铅直面内平衡位置附近做振动，这一系统称为单摆。(1)证明：当摆角很小时小球做谐振动；(2)求小球振动周期。证：（1）设摆长为，小球质量为，某时刻小球悬线与铅直线夹角为，选悬线在平衡位置右侧时，角位移为正，由转动定律： 有 图12-6 即 很小。 这是谐振动的微分方程（或与正比反向）小球在做谐振动。（2）（注意做谐振动时条件，即很小）12-3 表示谐振动的旋转矢量方法在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的

17、图示法，同样，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。一、旋转矢量自ox轴的原点o作一矢量，其模为简谐振动的振幅，并使在图面内绕o点逆时针转动，角速度大小为谐振动角频率，矢量称为旋转矢量。二、简谐振动的旋转矢量表示法 图12-7（1）旋转矢量的矢端M在x轴上投影坐标可表示为x轴上的谐振动，振幅为（2）旋转矢量以角速度旋转一周，相当于谐振动物体在x轴上作一次完全振动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。（3）时刻，旋转矢量与x轴夹角为谐振动的初相，时刻旋转矢量与x轴夹角为时刻谐振动的位相。说明：（1）旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。（2）必须注意，旋转矢

18、量本身并不在作谐振动，而是它矢端在x轴上的投影点在x轴上做谐振动。旋转矢量与谐振动曲线的对应关系（设） 图12-8三、旋转矢量法应用举例例12-3： 一物体沿x轴作简谐振动，振幅为，周期为。时，位移为，且向x轴正向运动。（1）求物体振动方程；（2）设时刻为物体第一次运动到处，试求物体从时刻运动到平衡位置所用最短时间。解：（1）设物体谐振动方程为由题意知 方法一用数学公式求, 方法二用旋转矢量法求根据题意，有如左图所示结果 图12-9由上可见，方法二简单（2）方法一用数学式子求由题意有： （） 或 此时 设时刻物体从时刻运动后首次到达平衡位置，有： 或 （） 方法二用旋转矢量法求由题意知，有左图

19、所示结果，M1为时刻末端位置，M2为时刻 末端位置。从内转角为 显然方法二简单。 图12-10例12-4：图为某质点做谐振动的曲线。求振动方程。 解：设质点的振动方程为由图知： 图12-11用旋转矢量法（见上页图）可知， （或 ） 例12-5：弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动，为振幅，时刻情况如图所示。O 为原点。试求各种情况下初相。 图12-1212-4 谐振动的能量对于弹簧振子，系统的能量=（物体动能）+（弹簧势能）已知： 物体位移 物体速度 （11-8）说明：（1）虽然、均随时间变化，但总能量且为常数。原因是系统只有保守力作功，机械能要守恒。（2）与互相转化。当时，。在处，。例12-6：

20、一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为。试求的位置。解：设弹簧的倔强系数为，系统总能量为在时，有 例12-7：如图所示系统，弹簧的倔强系数，物块，物块，与间最大静摩擦系数为，与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡位置，然后任其自由振动，使在振动中不致从上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。解：系统的总能量为（此时）不致从上滑落时，须有 图12-13极限情况 即 12-5 同方向同频率两谐振动合成一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动。如：在有弹簧支撑的车厢中，人坐在车厢的弹簧垫子上，当车厢振动时，人便参与两个振动，一个为人对车厢的振动，另一个为车厢对地的振动。又如：两个声源发出的声波

21、同时传播到空气中某点时，由于每一声波都在该点引起一个振动，所以该质点同时参与两个振动。在此，我们考虑一质点同时参与两个在同一直线的同频率的振动。取振动所在直线为x轴，平衡位置为原点。振动方程为、分别表示第一个振动和第二个振动的振幅；、分别表示第一个振动和第二个振动的初相。是两振动的角频率。由于、表示同一直线上距同一平衡位置的位移，所以合成振动的位移在同一直线上，而且等于上述两分振动位移的代数和，即为简单起见，用旋转矢量法求分振动。 图12-14 图12-15如图所示，时，两振动对应的旋转矢量为、，合矢量为。、以相同角速度转动，转动过程中与间夹角不变，可知大小不变，并且也以转动。任意时刻，矢端在x轴上的投影为：因此，合矢量即为合振动对应的旋转矢量，为合振动振幅，为合振动初相。合振动方程为：（仍为谐振动）由图中三角形知： （12-9） 由图中三角形知： （12-10）讨论：（1） 时（称为位相相同） （2） 时（称为位相相反） 例12-8：有两个同方向同频率的谐振动，其合成振动的振幅为，位相与第一振动的位相差为，若第一振动的振幅为，用振幅矢量法求第二振动的振幅及第一、第二两振动位相差。解：（1）（2） 图12-16例11-9：一质点同时参与三个同方向同频率的谐振动，他们的振动方程分别为，试用振幅矢量方法求合振动方程。解：如左图，（、构成一等腰梯形） 图12-17