复习讲义--等比数列及其前n项和.doc

《复习讲义--等比数列及其前n项和.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复习讲义--等比数列及其前n项和.doc（12页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、6.3等比数列及其前n项和2014高考会这样考1.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定；2.运用基本量法求解等比数列问题；3.考查等比数列的应用问题复习备考要这样做1.注意方程思想在解题中的应用；2.使用公式要注意公比q1的情况；3.结合等比数列的定义、公式，掌握通性通法1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母_q_(q0)表示2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.3等比中项若G2ab_(ab0)，那么G叫做a与b的等比中项4等比

2、数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，则前n项和为Sn.5等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm，(n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn (k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_qn_.难点正本疑点清源1等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数2等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及

3、基本量之间的关系在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小3两个防范(1)由an1qan，q0并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形导致解题失误2在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8_.答案解析由a6a10a3a541及a6a10a，a3a5a，得aa41.因为a4a85，所以(a4a8)2a2a4a8a412551.又an0，所以a4a8.3已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则_.答案2解析令a1，b3，

4、c9，则由题意，有x2，y6.此时2.4(2011广东)已知an是递增等比数列，a22，a4a34，则此数列的公比q_.答案2解析由a22，a4a34，得方程组q2q20，解得q2或q1.又an是递增等比数列，故q2.5(2012课标全国)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于()A7 B5 C5 D7答案D解析方法一由题意得或a1a10a1(1q9)7.方法二由解得或或a1a10a1(1q9)7.题型一等比数列的基本量的计算例1(2012辽宁)已知等比数列an为递增数列，且aa10，2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.求an的前n项和为Sn.答案2n解

5、析先判断数列的项是正数，再求出公比和首项aa100，根据已知条件得25，解得q2.所以aq8a1q9，所以a12，所以an2n.例2等比数列an的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.思维启迪：(1)由S1，S3，S2成等差数列，列方程求出q.(2)由a1a33求出a1，再由通项和公式求出Sn.解(1)依题意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于a10，故2q2q0.又q0，从而q.(2)由已知可得a1a123.故a14.从而Sn.探究提高等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，

6、一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解题型二等比数列的性质及应用例3在等比数列an中，(1)若已知a24，a5，求an；(2)若已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值思维启迪：注意巧用性质，减少计算如：对于等比数列an，若mnpq (m、n、p、qN*)，则amanapaq；若mn2p(m，n，pN*)，则amana.解(1)设公比为q，则q3，即q3，q，ana5qn5n4.(2)a3a4a58，又a3a5a，a8，a42.a2a3a4a5a6a2532.探究提高在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少

7、运算量，提高解题速度例4(1)已知Sn为等比数列an的前n项和，且S38，S67，则a4a5a9_.答案解析根据等比数列的性质，知S3，S6S3，S9S6成等比数列，即8,78，S97成等比数列，所以(1)28(S97)解得S97.所以a4a5a9S9S378.(2)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6等于()A5 B7 C6 D4答案A解析把a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第1项，第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项因为数列an的各项均为正数，所以a4a5a65.例5

8、等比数列an满足：a1a611，a3a4，且公比q(0,1)(1)求数列an的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn21，求n的值解(1)a3a4a1a6，又a1a611，故a1，a6可看作方程x211x0的两根，又q(0,1)，a1，a6，q5，qann1n6.(2)由(1)知Sn21，解得n6.题型三等比数列的判定例6已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式思维启迪：(1)由anSnn及an1Sn1n1转化成an与an1的递推关系，再构造数列an1(2)由cn求an再求bn

9、.(1)证明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列又a1a11，a1，首项c1a11，公比q. 又cnan1，cn是以为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n.当n2时，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.探究提高注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n1时是否符合n2时的通项公式，能合并的必须合并例7已知数列an的前n项和Sn2an1，求证：an是等比数列，并求出通项公式证明Sn2an1，Sn12an11.an1Sn1Sn(2an11)(2an1)

10、2an12an.an12an，又S12a11a1，a110.又由an12an知an0，2.an是以1为首项，2为公比的等比数列an12n12n1.等差与等比数列综合性问题的求解典例：(12分)(2011湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列审题视角设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列bn的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问规范解答(1)解设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad，依题意，得adaad1

11、5，解得a5.2分所以bn中的b3，b4，b5依次为7d,10,18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)4分故bn的第3项为5，公比为2.由b3b122，即5b122，解得b1.所以bn是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn2n152n3.6分(2)证明数列bn的前n项和Sn52n2，即Sn52n2.8分所以S1，2.因此是以为首项，2为公比的等比数列12分求解等差和等比数列综合性问题的一般步骤：第一步：设等比数列、等差数列的基本量；第二步：根据条件列方程，解出基本量；第三步：根据公式求通项或前n项和；第四步：根据定义证明等差、等比数列；对于等比数列， 一

12、定要说明首项非零温馨提醒关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量方法与技巧1等比数列的判定方法有以下几种：(1)定义：q (q是不为零的常数，nN*)an是等比数列(2)通项公式：ancqn1 (c、q均是不为零的常数，nN*)an是等比数列(3)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列2方程观点以及基本量(首项和公比a

13、1，q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二3在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意性质的应用，以减少运算量而提高解题速度失误与防范1特别注意q1时，Snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情况而导致解题失误A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2011辽宁)若等比数列an满足anan116n，则公比为()A2B4C8D16答案B解析由

14、anan116n，知a1a216，a2a3162，后式除以前式得q216，q4.a1a2aq160，q0，q4.2等比数列中，|a1|1，a58a2.a5a2，则an等于()A(2)n1 B(2)n1C(2)n D(2)n答案A解析|a1|1，a11或a11.a58a2a2q3，q38，q2.又a5a2，即a2q3a2，a20.而a2a1qa1(2)0，a11.故ana1(2)n1(2)n1.3在等比数列an中，a12，前n项和为Sn，若数列an1也是等比数列，则Sn等于()A2n12 B3nC2n D3n1答案C解析由已知得数列an的前三项分别为2,2q,2q2.又(2q1)23(2q21)

15、，整理得2q24q20，解得q1，Sn2n.4在等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为()A1 BC1或 D1或答案C解析根据已知条件得3.整理得2q2q10，解得q1或q.二、填空题(每小题5分，共15分)5在等比数列an中，a1a230，a3a460，则a7a8_.答案240解析a1a2a1(1q)30，a3a4a1q2(1q)60，q22，a7a8a1q6(1q)a1(1q)(q2)3308240.6在数列an中，已知a11，an2(an1an2a2a1) (n2，nN*)，这个数列的通项公式是_答案an解析由已知n2时，an2Sn1当n3时，an12Sn2整理得3

16、(n3)，an7设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则q的值为_答案2解析由已知条件得2SnSn1Sn2，即2Sn2Sn2an1an2，即2.三、解答题(共22分)8(10分)已知等差数列an满足a22，a58.(1)求an的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d，则由已知得.a10，d2.ana1(n1)d2n2.(2)设等比数列bn的公比为q，则由已知得qq2a4，a46，q2或q3.等比数列bn的各项均为正数，q2.bn的前n项和Tn2n1.9(12分)已知数列an

17、的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn(an1)(an2)若a2，a4，a9成等比数列，求数列an的通项公式解因为Sn(an1)(an2)，所以当n1时，有S1a1(a11)(a12)，解得a11或a12；当n2时，有Sn1(an11)(an12)并整理，得(anan1)(anan13)0 (n2)因为数列an的各项均为正数，所以anan13 (n2)当a11时，an13(n1)3n2，此时aa2a9成立当a12时，an23(n1)3n1，此时aa2a9不成立所以a12舍去故an3n2.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1已知an是首项为1的等比

18、数列，若Sn是an的前n项和，且28S3S6，则数列的前4项和为()A.或4 B.或4C. D.答案C解析设数列an的公比为q.当q1时，由a11，得28S328384.而S66，两者不相等，因此不合题意当q1时，由28S3S6及首项为1，得.解得q3.所以数列an的通项公式为an3n1.所以数列的前4项和为1.2已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于()A. B.或C. D以上都不对答案B解析设a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根，不妨设acdan，且a32是a2与a4的等差中项，则数列an的通项公式是_答案an2n解析因为a32是

19、a2与a4的等差中项，所以2(a32)a2a4.因为a2a3a428，所以2(a32)a328.所以a38，a2a420.设数列an的公比为q，则解得或因为数列an满足an1an，所以a12，q2.所以数列an的通项公式为an2n.5在等比数列an中，若a9a10a (a0)，a19a20b，则a99a100_.答案解析因为an是等比数列，所以a9a10，a19a20，a99a100成等比数列，从而得a99a100.6已知数列xn满足lg xn11lg xn(nN*)，且x1x2x3x1001，则lg(x101x102x200)_.答案100解析由lg xn11lg xn(nN*)，得lg x

20、n1lg xn1，10，数列xn是公比为10的等比数列，xn100xn10100，x101x102x20010100(x1x2x3x100)10100，lg(x101x102x200)lg 10100100.三、解答题7(13分)已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)解得d2 (d0). an1(n1)22n1.又b2a23，b3a59，数列bn的公比为3，bn33n23n1.(2)由an1得当n2时，an.两式相减得：n2时，an1an2. cn2bn23n1 (n2)又当n1时，a2，.c1c2c3c2 01333(332 013)32 013.