国培：数学思想何庆高.ppt

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1、小学数学思想及典型案例分析,主讲人：何庆高,of,小学数学思想及典型案例分析,3、数学思想与数学方法、数学思维之间既有联系又有区别。,1、为什么要研究数学思想？,数学课程标准中明确提 出要使学生掌握基本数 学思想；学生和教师（尤其是教 师）对数学思想理解不 深，重视不够。,2、什么是数学思想？,指人们对数学的本质认识，是从具体教学认识过程中提炼出的一些具有普遍指导意义的观点和规律，也是最上位的方法。,一、化归思想,对一个问题如果应用已有知识不能或不容易 解决时，往往需要把问题转化，把它归结为 能够解决或比较容易解决的问题。,数学化,化归思想：,熟悉化,简单化,直观化,化归思想,如例：1、多位数

2、计算 2、小数计算 3、有理数计算 4、异分母运算 5、圆面积计算（把圆沿半径分成若干等份，在拼成一个长为r，宽为r的长方形）6、梯形面积 7、高次方程化为低次方程，多元化为一元；,化为10以内数字的计算；,化为整数计算；,化为非负数计算；,化为同分母；,化为长方形面积计算；,化为三角形、平行四边形面积的计算；,例1、如图是一座楼房的平面图，求这座楼房平面图的周长。,化归思想,解：如图：,（50+30+10）2=90 2=180,。,例2：女孩去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米，或乙布3米或丙布6米，她决定三种布买一样多。问最多各能买几米？,化归为：一项工程，甲干2天完成，乙干3天完成，丙干

3、6天完成，甲、乙、丙一起干几天完成？,化归思想,1（+）=1,1 1 3 6,二、数形结合思想,例如：1、数小棒 2、分数的意义3、应用题中的画线段图4、公倍数、公约数5、1/2+1/4+1/8+1/16,华罗庚：数形本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。,1/2,1/4,1/8,1/16,边长为1的正方形,例3：A、B、C、D、E五个球队进行单循环赛（每两个队之间要比赛一场）进行到中途，发现A、B、C、D比赛过的场次分别是4、3、2、1，问这时E队赛过几场。,用图示：,E,B,A,C,D,E队赛过 2场,数形结合思想,例4：有甲、乙两人年

4、龄不相等，已知甲像乙这么大时，乙8岁。当乙像甲这么大时，甲29岁，求今年甲、乙两人的年龄各是多少？,8岁,差,差,差,乙,甲,29岁,解：如图，甲乙年龄差为（298）3=7,乙：8+7=15甲：15+7=22,数形结合思想,例5：甲乙两人步行走完连结A村与B村的同一条路，分别需 要6小时、10小时。（1）如果甲、乙分别从A村，B村出发，几小时后相遇？（2）如果甲、乙都从A村出发到B村，但乙先出发2小时，那么甲几小时追上乙？,数形结合思想,（1）：如图，,A,B,0,2,4,6,8,10,0,2,4,6,8,10,P,C,1（+）=,16,110,154,PC=（小时）,154,例5：甲乙两人步

5、行走完连结A村与B村的同一条路，分别需 要6小时、10小时。（1）如果甲、乙分别从A村，B村出发，几小时后相遇？（2）如果甲、乙都从A村出发到B村，但乙先出发2小时，那么甲几小时追上乙？,数形结合思想,（2）：如图，,D,Q,（1-2）（+）=3,110,16 10,GD=3 小时,例6：某校对五年级100名同学进行了学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语。而且喜欢数学和语文（但不喜欢外语）的有6人，喜欢数学和外语（但不喜欢语文）有4人，三科都喜欢的有12人，而且每个人至少喜欢一科，问：有多少同学只喜欢语文？,解：如图，设只喜欢语文、外语的有x人。,数形结合思想

6、,语文 58,数学 38,外语 52,12,6,x,4,数形结合思想,解得：x=14,100=58+52+38,5861214=26,答：只喜欢语文的同学有26人。,（6+x+4）,-212,三、对应思想,例如：1、数数时自然数与实物的对应；2、在数轴上填数（渗透点与数的对应）；3、认识图形中渗透对应。4、在计算中渗透对应,对应思想：是指在两类事物(集合)之 间建立某种联系的思维方法。,8x3,2x3,5x3,6,15,24,例7：为了测量一口井的深度，同学们想用长绳吊一重物的方法，将绳子3折时，绳比井深长出6米，将绳4折时，则绳子比井深长出2米，求绳长？,对应：,3折,4折,多出24=8米,

7、多出63=18米,解：,答：井深10米，绳长48米,（米）,对应思想,例8：某校安排学生宿舍，如果每间5人，则有14人没有床位，如果每间7人，则多4个空床位，问宿舍有几间，学生几人？,对应：,每间5人,14人没床位,每间7人,多出4个床位,宿舍间数为：(14+4)(7-5)=9（间）学生人数为：59+14=59（人）,解：,对应思想,例9：鸡兔同笼，共有头30个，腿70条，问鸡和兔各有几只？,解一：假设笼中全是鸡，则兔的只数为：（70230）（4 2）=5（只）鸡的只数为：30 5=25（只）,解二：假设笼中全是兔，则鸡的只数为：（430 70）（4 2）=25（只）鸡的只数为：30 25=5

8、（只）,对应思想,假设法的本质是对应思想,四、分类讨论思想,分类讨论思想：对一个问题如果无法统一研究解决，则需要把研究对象按一定标准进行分类并逐一解决，这就是分类讨论思想。,例如：,1、整数,奇数,偶数,正整数,1,质数,合数,2、三角形,锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,四边形,平行四边形,梯形,两组对边都不平行的四边形,例12：如图有多少条线段？（两种分类法）,分类讨论思想,5+4+3+2+1=15（条）,A1,A2,A3,A4,A5,A6,A,B,D,C,在 ABC中，有：5+4+3+2+1=15（个）；在 ABD中，有 15 个；在 BDC中，有 5 个。总共 15+15+5=35（

9、个）,图中有多少个三角形？,例13：用一台天平和重1克，3克，9克的砝码各一个，当砝码只能放在同一个盘内时，可称出不同的重量有多少种？,解：分类：取一个砝码 取两个砝码 取三个砝码 共3+3+1=7（种）,分类讨论思想,有 3 种情况；有 3 种情况；有 1 种情况；,例14：将自然数N接写在任意一自然数的右边（如将2接在35的右边得352），如果得到新的数都能被N整除，则称N为魔术数，问小于500的自然数中有多少个魔术数？,分类讨论思想,解：设P为一个自然数，则魔术数为PN.分类讨论：当N为一位数是，PN=10P+N 由于N PN，则N 10P，因P的任意性知:N 10 所以 N=1，2，5

10、（3个）当N为两位数时，PN=100P+N N 100 N=10，20，25，50（4个）当N为三位数时，PN=1000P+N N 1000 N=100，125，200，250，500（舍去）（4个）共 3+4+4=11个,五、试验归纳思想,例如：1、加、减、乘、除的运算2、1/2+1/4+1/8+1/2n,3、如图构成的线段有多少条？,A1,A2,A3,An,解：n+(n-1)+2+1=n(n-1)条,试验归纳思想,12,例15：,7449的个位数是多少。试验：,归纳：以4为周期重复出现,449=1124+1,7449的个位数为7,例16：（上楼梯问题）一个楼梯有10级台阶，从下面走到最上面

11、，每一步可以跨1级或2级，共有多少种走法？,试验归纳思想,解：试验归纳：,级数,走法,1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 5 8 13 21 34 55 89,可推广：a=a+a（n级台阶）,n,n-1,n-2,例17：甲、乙两队学生从相距19千米的两地出发，相向而行，有一个学生骑自行车以每分钟2.5千米的速度在两队学生之间往返联络（停息时间不计）骑自行车的学生与甲、乙两队学生同时出发，如果甲队学生每小时行4.8千米，乙队学生每小时行4.7千米，当两队相遇时，骑自行车的学生共行了多少千米？,例18：如图，比较两图阴影部分面积的大小,60,40,60,40,六、整体思想,19（4

12、.8+4.7）2.5,整体思想：把研究的问题作为整体，从全局的观点来考虑问题。,例20：计算：（1+）（+）（1+）（+）,整体思想,1 1 1 2 3 4,1 1 1 12 3 4 5,1 1 1 12 3 4 5,1 1 1 2 3 4,解：令,+=A,1 1 1 2 3 4,+=B,1 1 1 12 3 4 5,原式=（1+A）B（1+B）A=B+AB A AB=B A=,15,八、符号化思想,符号化思想：用数字符号去准确，清晰，简明，抽象的表达和解决数字问题。,1、教材中引入了一些数学符号；如：(1)自然数0、1、2、3、4、5(2)小数（.）分数()百分数(%)(3)运算符号：、等；

13、2、用字母表示：(1)表示运算律，如：a+b=b+a，=，a+b=c a=c-b(2)表示公式，如：、(3)列方程解应用题；(4)用符号化思想解决问题；如前面 例20,b a,bm am,数学中的三种语言：自然语言、符号语言、图形语言。,七桥问题是符号化思想的完美体现,八、符号化思想,九、函数思想,1、什么是函数？什么是函数思想？2、小学数学应该渗透函数思想。,例21、算一算，填一填 说明三个量之间的关系 说明对应 渗透正比例，反比例,九、函数思想,被除数,除 数,商,例21（在几何中渗透函数思想）用16根1厘米的小棒围成长方形成正比例，你能围出多少个？其中面积最大是多少？,对应 变化前面例5

14、（图像中渗透）,九、函数思想,十、方程思想,什么是方程思想？,方程思想是用方程的理论和方法去解决所研究的问题。是重要的数学思想之一。,十一、模型思想,数学模型：用数学语言概括地描述现实世界事物的特征，数学关系和空间形式的一种数学结构。小学数学模型：概念、规律、法则、公式、数学关系、图表、程序等问题模型。自然数0、1、2、3.和数轴；加法a+b=c加法交换律a+b=b+a公式、方程、函数；应用题：行程问题，工程问题，归一问题，比例问题等；鸡兔同笼问题，上楼问题，抽屉原理；,例23：从1、2、3.，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中一定有2个数互质。,解：将这100个数分为

15、50组：,十一、模型思想,1,2,3,4,99,100，在选出的51个数中必有2个数属于同一个组，这一组的2个数是两个相邻的整数，当然互质。,第一抽屉原理：把mn+1个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有m+1个物体。第二抽屉原理：把mn-1个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有m-1个物体。,例22：七桥问题,十一、模型思想,建模思想,教学模型举例：公式（定理）数学模型,问题情景,实践探索,归纳概括公式,验证巩固,深化拓展,1、正方形和长方形面积的计算；2、三角形面积计算；3、一个数乘小数。,十二、极限思想,1、无限是极限的基础，如：自然数无限多；0.3，小数点后面数字无限多；直

16、线无限长；与5/2相等的分数无限多等。2、在几何公式中渗透极限思想：例：的推导；用极限思想记忆图形面积，从梯形面积出发用极限观点记忆平行四边形，三角形，锥形面积；3、在形成新概念时渗透极限思想例如：在循环小数中：比较0.9和1的大小；4、用极限思想培养学生兴趣。例24：龟兔赛跑，乌龟在兔子前100米。兔子每分钟走100米，乌龟每分钟走一米，同时出发，兔子能否追上乌龟？,.,.,十三、集合思想,集合：把一些事物看成一个整体。例如：,正方形,长方形,平行四边形,12的约数,18的约数,9，18,4,12,123,集合：子集,集合：交集,前面例6也是一种集合哦,结束语,除了以上数学思想以外也有其 它数学思想，如：统计思想；以上数学思想也是相互联系的；数学思想的养成和培养是一个长期的润物细无声的过程，老师、学生都需要从每一节的每一个问题中去体会，去领悟。,谢谢观赏,