函数的单调性与导数.ppt

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1、第三章 导数及其应用,3.3.1 函数的单调性与导数,观察下列图象的单调区间,并求单调区间相应的导数.,图象是单调上升的.,图象是单调上升的.,函数的单调性与其导函数正负的关系:,当函数y=f(x)在某个区间内可导时，如果,则f(x)为增函数；如果,则f(x)为减函数。,4,1,解：由题意可知,其图象的大致形状如图。,例2、判断下列函数的单调性，并求出 单调区间：,(1)f(x)=x3+3x;,解：=3x2+3=3(x2+1)0,从而函数f(x)=x3+3x在xR上单调递增，见右图。,(2)f(x)=x2-2x-3;,解：=2x-2=2(x-1)0,图象见右图。,当 0，即x1时，函数单调递增

2、；,当 0，即x1时，函数单调递减；,(3)f(x)=sinx-x;x(0,p),解：=cosx-10,从而函数f(x)=sinx-x 在x(0,)单调递减，见右图。,(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;,解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4)0,当 0，即 时，函数单调递增；,图象见右图。,当 0，即 时，函数单调递减；,练习1:确定下列函数的单调区间:f(x)=x2-2x+4 f(x)=3x-x3,x1时，函数单调递增。,x1时，函数单调递减，-1x1时，函数单调递增。,练习2:确定下面函数的单调区间:f(x)=x/2+sinx;,解:(1)函数的定义域是R,令,解得,令,解

3、得,因此,f(x)的递增区间是:递减区间是:,解:函数的定义域是(-1,+),练习3、确定下面函数的单调区间：f(x)=x/2-ln(1+x)+1,由 即,解得x1.,故f(x)的递增区间是(1,+);,由 解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1).,求函数的单调区间的一般步骤:,(1)求出函数 f(x)的定义域A；,(2)求出函f(x)数的导数；,(3)不等式组 的解集为f(x)的单调增区间；,(4)不等式组 的解集为f(x)的单调减区间；,例3、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。,练习4 如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90o)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是（）。,D,求函数的单调区间的一般步骤,小 结:,函数的单调性与其导函数正负的关系,