[工学]第一章矢量分析与场论基础题解.doc

《[工学]第一章矢量分析与场论基础题解.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[工学]第一章矢量分析与场论基础题解.doc（30页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、电磁场题解第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1），2）解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得 ，； 1-2 求下列标量场的等值面1），2）， 3）解 据题意可得 ， ，1-3 求矢量场 经过点的矢量线方程。解 根据矢量线的定义，可得 解微分方程，可得 ， 将点的坐标代入，可得 ， 即 ， 为所求矢量线方程。1-4 求矢量场的矢量线方程。解 根据矢量线的定义，可得 解微分方程，可得 ， 为所求矢量线方程。1-5 设，求： 1）在点处沿矢量方向的方向导数， 2）在点处沿矢量方向的方向导数。解 的方向余弦为 ，； 又有 ， 据方向导数的定义，可得 1-6 求标量场在点 处沿

2、其矢径方向的方向导数。解 的方向余弦为 ，； 又有 ，据方向导数的定义，可得 1-7 设有标量场，求在点处沿该点至方向的方向导数。在点沿什么方向的方向导数达到最大值？其值是多少？ 解 点至点的方向余弦为 ，； 又有 ，据方向导数的定义，可得 当方向余弦均为1时，方向导数达到最大值，即沿方向导数达最大值，1-8 求下列标量场的 1）；2）；3）； 4）； 5）解 据 ，可得1）2）3）4）5）1-9 求标量场在点处的梯度。解 ，则所求梯度为1-10 求标量场具有最大方向导数的点及方向，所求的点满足。（提示：最大的方向导数就是在点处的梯度，模最大，且满足，即求条件极值。）解 ，将代入，可得 ，即

3、，当、时，有，即点和为满足条件的点，又，即最大方向导数的方向分别为1-11 设为正整数， 1）求 2）证明是常矢量）解 1） 2） 证明 设 ，则 ，因此，可得 ，证毕。1-12 设S为上半球面其法向单位矢量与轴的夹角为锐角，求矢量场 沿所指的方向穿过S的通量。（提示：注意与同向）解 将用球坐标表示，则在面上有，因此，可得 1-13 求均匀矢量场通过半径为的半球面的通量。（如图1-1所示）解 设半球面的方程为则矢量通过面的通量等于矢量通过面在的平面上的投影的通量，因此，1-14 计算曲面积分,其中是球心在原点，半径为a的球面外侧。解 设，根据散度定理，可得1-15 求矢量场从内穿出所给闭曲面的

4、通量： 1），为球面 2），为椭球面解 1） 根据散度定理，可得2）1-16 求下列空间矢量场的散度： 1） 2）解 1） 2）1-17 求在给定点处的值： 1）在M（1.0，0.0，-1.0)处； 2） ,在M（1.0，1.0，3.0）处； 3）在M（1.0，3.0，2.0）处。解 1） ，则2） ，则3） ，则1-18 求标量场的梯度场的散度。解 1-19 已知液体的流速场 ，问点M（1.0，2.0，3.0）是否为源点？解 ，由于，所以是源点。1-20 已知点电荷分别位于两点处，求从闭曲面S内穿出的电场强度通量, ,其中为： 1）不包含两点的任一闭曲面； 2）仅包含点的任一闭曲面； 3)

5、同时包含两点任一闭曲面。解 据高斯通量定理，可得1）2）3）1-21 求矢量场 (c为常数）沿下列曲线的环量 1）圆周（旋转方向与轴成右手关系） 2）圆周（旋转方向与轴成右手关系）解 设圆周包围的曲面为，则，据斯托克斯定理，可得1） 2）1-22 求矢量场在点M（1.0，3.0，2.0）处的旋度以及在这点沿方向的环量面密度。解 矢量场在点M（1.0，3.0，2.0）处的旋度为沿方向的环量面密度为 1-23 设矢量场，求该矢量场沿椭圆周C：与轴成右手关系方向的环量。解 据斯托克斯定理，可得1-24 求题1-16中各矢量场的旋度。解 ，分别可得1） 2）1-25 试证明矢量恒等式和。证明 1） 对

6、于标量函数，有 2） 对于矢量函数，有第二章 静电场 (注意：以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间，按真空考虑）2-1 在边长为的正方形四角顶点上放置电荷量为的点电荷，在正方形几何中心处放置电荷量为的点电荷。问为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。解 如图建立坐标系，可得据题设条件，令 ，解得 2-2 有一长为，电荷线密度为的直线电荷。 1）求直线延长线上到线电荷中心距离为处的电场强度和电位； 2）求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为处的电场强度和电位。解 1）如图（a）建立坐标系，题设线电荷位于轴上之间，则处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为，由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度

7、和电位分别为 2）如图（b）建立坐标系，题设线电荷位于轴上之间，则处的电荷微元在点处产生的电场强度和电位分别为，式中，分别代入上两式，并考虑对称性，可知电场强度仅为方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为2-3 半径为的圆盘，均匀带电，电荷面密度为。求圆盘轴线上到圆心距离为的场点的电位和电场强度。解 根据电荷分布的对称性，采用圆柱坐标系。坐标原点设在圆盘形面电荷的圆心，轴与面电荷轴线重合。场点P的坐标为。在带电圆盘上取一个电荷元，源点坐标为。由电荷元产生的电位 计算P点电位时，场点坐标不变，源点坐标中是变量。 整个圆盘形面电荷产生的电位为 根据电荷分布的对称性，整个圆盘形面电荷产生的电场强度只

8、有方向的分量 2-4 在空间，下列矢量函数中哪些可能是电场强度，哪些不是？回答并说明理由。 1） 2） 3） 4） （球坐标系）5）（圆柱坐标系）解 对于给定各矢量表达式求旋度，可得1）2）3）4）5） 据，可知式3）和式5）不可能是电场强度表达式，而其余各式可能是电场强度表达式。2-5 有两相距为的平行无限大平面电荷，电荷面密度分别为和。求两无穷大平面分割出的三个空间区域的电场强度。解 如图2-4所示的三个区域中，作高斯面，据高斯通量定理，可得在区域（1）和（3）中，电场强度为零；再作高斯面，据高斯通量定理，可得在区域（2）2-6 求厚度为，体电荷密度为的均匀带电无限大平板在空间三个区域产生

9、的电场强度。解 如图2-5所示的三个区域中，作高斯面，据高斯通量定理，电场强度在上的通量为可得在区域（1）和（3）中，电场强度 对于区域（2），如图建立坐标系，作高斯面，据高斯通量定理，电场强度在上的通量为 ，得 2-7 有一半径为的均匀带电无穷长圆柱体，其单位长度上带电荷量为。求空间的电场强度。解 如图建立圆柱坐标系，设圆柱体的体电荷密度为，则有 ，即 作柱对称高斯面，可得当，解得 当，解得 2-8 如图2-7所示，一半径为的均匀带电无穷长圆柱体电荷，电荷体密度为，在其中挖出半径为的无穷长平行圆柱孔洞，两圆柱轴线距离为。求孔洞内各处的电场强度。解 设孔洞内任意场点至大、小两圆柱体轴心的矢径分

10、别为、，则当孔洞内充满体密度为的电荷时，场点处有 孔洞内充满充满体密度为的电荷时，由在场点处产生的场强为 则所求场点的电场强度为 式中为两圆柱轴线间距的单位矢量，方向为从大圆柱体的轴心指向小圆柱体的轴心。2-9 求如图2-8所示电偶极子对实验电荷的作用力。解 据教材36页式（2-67），可得实验电荷处的电场强度为 则实验电荷所受电场力为 2-10 如图2-9所示，平行平板电容器中，一半是介电常数为的电介质，另一半是真空。电容器正负极之间距离为，加电压。求电介质中的电场强度、电位移矢量、极化强度、极化电荷体密度以及电介质与真空分界面上的极化面电荷密度。解 设介电常数为的电介质中的电场强度为，真空

11、中的电场强度为，据边界条件可得 ，据，可得电位移矢量分别为 ， 据，可得介质中的极化强度为 以上各矢量的方向均为从正极板指向负极板。极化电荷体密度为 分界面上的极化面电荷密度为 2-11 有一带电导体球，带电荷量为，周围空间为空气。空气的介电常数为，空气的击穿场强为。问导体球的半径大到什么程度就不会出现空气击穿？解 电场强度在导体球表面达到最大值，即 则 2-12 试证明在线性、各向同性、均匀电介质中若没有自由体电荷就不会有束缚体电荷。证明 由于在线性、各向同性、均匀电介质中，又，则，可得，即。2-13 已知某种球对称分布的电荷产生的电位在球坐标系中的表示式为，和均为常数。求体电荷密度。解 据

12、，可得 2-14 有一平行平板电容器，两极板距离 ，之间平行地放置两块薄金属片和，忽略薄金属片的厚度，有。若将两极板充电到电压后，拆去电源，问： 1）之间的电压为多少？和两金属片上电荷分布如何？之间的电场强度为多少？ 2）在1）的基础上，若将和两金属片用导线联接后再断开，重新回答1）中的三个问题。 3）若充电前先用导线联接和两金属片，充电完成后先断开电源，再断开和之间连线，重新回答1）中的三个问题。 4）在2）的基础上，若将和用导线联接再断开，重新回答1）中的三个问题。解 极板间的电场强度为均匀的，各极板位于等位面上。 1）各极板间距相同，因此 ， 在C、D两金属片的两面均匀分布有电量相同的正

13、、负面电荷， 各极板间的电场强度相同，2）将和两金属片用导线联接，则，由于A、B极板上的电荷不变，则A、C间和D、B间的电场强度不变，电压也不变，即，；C、D相对的面上电荷中和后为零，另一面不变，量值。3）若充电前先用导线联接和两金属片，则充电后，各极板上的电荷同2）一样，分布在A、C或D、B相对的面上，但电荷的量值为，A、C及D、B之间的电场强度为，C、D之间的电场强度为零。4）据题设条件，可知，这时C、D极板上的电荷量不变，但分布于极板的两侧，设A、C及D、B相对面的电荷为，而D、C相对面的电荷为，则，根据电荷分布，设，可得，即，根据可得，即，解式、，可得、，因此可得、，A、C及D、B相对

14、面电荷分布，C、D相对面电荷分布。 2-15 有一分区均匀电介质电场，区域1（）中的相对介电常数为，区域2（）中的相对介电常数为。已知，求、和。解 根据，已知 ，则有 有根据边界条件，可得 及 2-16 一半径为的金属球位于两种不同电介质的无穷大分界平面处，导体球的电位为。求两种电介质中各点的电场强度和电位移矢量。解 设上、下半球的电荷面密度分别为和，则在半径为的球面上，有，即 将、代入上式，同时考虑到在介质界面上，电场强度只有沿界面切线方向的分量，即，则有 ，据题意可得 ，由此可得，并可得 ，2-17 在直角坐标系中，给定一电荷分布为求空间各区域的电位分布。解 作图2-12所示的圆柱面，两端

15、面位于处，则当时，闭合面内所包围的电荷量为电场强度为 当时，闭合面内所包围的电荷量为则电场强度也为零。 设，可得2-18 在平行平面静电场中，若边界线的某一部分与一条电场强度线重合。问：这部分边界线的边界条件如何表示？解 由于边界线为电场强度线，则不能是等电位线，界面上也无电场强度的法线方向分量，则界面上，由此可得，界面上边界条件为2-19 无限大导体平面上方左右对称放置两种电介质，介电常数分别为和。在第一种电介质中距导体平面，距电介质分界面处，放置一点电荷。若求解区域为第一种媒质的空间，求镜象电荷。解 在图2-13中，设下半区为导体，则可得镜象电荷分别为、和，其中2-20 导体表面如图2-1

16、4所示的两无限大平面，在两导体平面形成的空间区域放置一点电荷。问：两平面之间夹角为下列数值中哪一个时可以用镜象法？镜象电荷如何分布？1）， 2），3）解 当时可以用镜象法求解，镜象电荷如图2-15所示。2-21 求截面如图2-16所示长度为的两种圆柱形电容器的电容。解 （1） 设内、外极板上分别有电荷，则在两种介质中的电场强度分别为，电极间电压为 因此，极间电容为 （2） 设内、外极板上分别有电荷，其中在第一种介质中，内导体上的面电荷密度为，在第二种介质中，内导体上的面电荷密度为，则据高斯定理，有 ，考虑边界条件，有， 代入上式，可得 ，即，又有 因此 2-22 球形电容器内导体极板半径为，外

17、导体极板半径为，极板间充满介电常数为的电介质。求电容器的电容。解 设球形电容器内导体电极上的分别带有电荷，则在极间介质中的电场强度为，极间电压为因此 第四章 恒定磁场 (注意：以下各题中凡是未标明磁媒质的空间，按真空考虑）4-1 如题4-1图所示，两条通以电流的半无穷长直导线垂直交于O点。在两导线所在平面，以O点为圆心作半径为的圆。求圆周上A、B、C、D、E、F各点的磁感应强度。解 参考教材71页的例4-1，可知，图4-2所示通有电流的直导线在点产生的磁感应强度为因此，可得（设参考正方向为指出纸面）用类似的方法可得 ，4-2 平面上有一正边形导线回路。回路的中心在原点，边形顶点到原点的距离为。

18、导线中电流为。 1）求此载流回路在原点产生的磁感应强度； 2）证明当趋近于无穷大时，所得磁感应强度与半径为的圆形载流导线回路产生的磁感应强度相同；3）计算等于3时原点的磁感应强度 。解 如图4-3中所示为正边形导线回路的一个边长，则所对应的圆心角为，各边在圆心产生的磁感应强度为1）n条边在圆心产生的磁感应强度为 2）当n时，圆心处的磁感应强度为 3）当等于3时圆心处的磁感应强度为 4-3 设矢量磁位的参考点为无穷远处，计算半径为的圆形导线回路通以电流时，在其轴线上产生的矢量磁位。解 如图4-4建立坐标系，可得轴线上处的矢量磁位为 4-4 设矢量磁位的参考点在无穷远处，计算一段长为2米的直线电流

19、在其中垂线上距线电流1米处的矢量磁位。解 据76页例4-4，可得 ，其中，则 4-5 在空间，下列矢量函数哪些可能是磁感应强度？哪些不是？回答并说明理由。 1） （球坐标系） 2） 3） 4） （球坐标系） 5） （圆柱坐标系）解 1） 2）3）4）5） 由于，因此以上表达式中，1）不是磁感应强度表达式，而2）5）可能是磁感应强度表达式。4-6 相距为的平行无限大平面电流，两平面分别在和平行于平面。面电流密度分别为和，求由两无限大平面分割出的三个空间区域的磁感应强度。解 如图建立坐标系，并作平行于平面的闭合回线，据安培环路定律，可得 和平行于平面的闭合回线，可得 考虑坐标系，及可得当，；当，；

20、当，；4-7 求厚度为，中心在原点，沿平面平行放置，体电流密度为的无穷大导电板产生的磁感应强度。解 如图4-6建立坐标系，当，作闭合回线，据安培环路定律，可得，当，作闭合回线，据安培环路定律，可得，因此，可得4-8 如图4-7所示，同轴电缆通以电流。求各处的磁感应强度。解 作半径为的闭合回线，据安培环路定律，可得 4-9 如图4-8所示，两无穷长平行圆柱面之间均匀分布着密度为的体电流。求小圆柱面内空洞中的磁感应强度。解 设小圆柱面内空洞中的任意点至大、小圆柱面的轴心距离分别为、，当空洞内也充满体电流时，可得点的磁感应强度为，空洞内的体电流密度在点产生的磁感应强度为4-10 内半径为，外半径为，

21、厚度为，磁导率为（）的圆环形铁芯，其上均匀紧密绕有匝线圈，如图4-9所示。线圈中电流为。求铁芯中的磁感应强度和磁通以及线圈的磁链。解 在铁芯中作与铁芯圆环同轴半径为的闭合回线，据安培环路定律，可得铁芯中磁感应强度为 相应的磁通为 磁链为 4-11 在无限大磁媒质分界面上，有一无穷长直线电流，如图4-10所示。求两种媒质中的磁感应强度和磁场强度。解 设轴与电流的方向一致，则据安培环路定律，可得 ，据边界条件，可得 解以上两式，得 ，4-12 如图4-11所示，无穷大铁磁媒质表面上方有一对平行直导线，导线截面半径为。求这对导线单位长度的电感。解 根据教材97页例题4-12、4-13，可得平行长线a

22、、b的单为长度内自感为 对于外自感，如图4-12取镜象，a、b之间的外磁链可视为a、b和c、d中的电流分别作用后叠加，即，外磁链为 外自感为 因此，自感为4-13 如图4-13所示，若在圆环轴线上放置一无穷长单匝导线，求导线与圆环线圈之间的互感。若导线不是无穷长，而是沿轴线穿过圆环后，绕到圆环外闭合，互感有何变化？若导线不沿轴线而是从任意点处穿过圆环后绕到圆环外闭合，互感有何变化？解 设长直导线中有电流，则在铁芯线圈中产生的磁通和磁链分别为，因此，两线圈之间的互感为根据诺以曼公式，可知两线圈之间的互感也可视为铁芯线圈中的电流产生被直导线所链绕的磁通与电流的比值，则题设后两种情况中，直导线链绕的

23、磁通没有发生变化，因此互感也不变。4-14 如图4-14所示，内半径为，外半径为，厚度为，磁导率为（）的圆环形铁芯，其上均匀紧密绕有匝线圈。求此线圈的自感。若将铁芯切割掉一小段，形成空气隙，空气隙对应的圆心角度为，求线圈的自感。解 当线圈中有电流时，设铁芯中的磁场强度为、气隙中为，据安培环路定律，可得据边界条件，可得 ，代入上式，得相应的磁通为 则铁芯及气隙中的磁通为 线圈所链绕的磁通为 则电感为 4-15 分别求如图4-15所示，两种情况中两回路之间的互感。解 （a）如图建立坐标系，对于三角形部分，可得长直导线中的电流在三角形线圈中产生的磁感应强度为，则磁通为互感为 （b）如图建立坐标系，对

24、于三角形部分，可得长直导线中的电流在三角形线圈中产生的磁感应强度为 ，则磁通为 互感为 4-16 试证明真空中以速度运动的点电荷所产生的磁场强度和电位移矢量之间关系为 。证明 如图4-16，点电荷在半径为处产生的电位移矢量为，当点电荷以速度向方向运动时在半径为处产生的磁场强度为证毕。4-17 试证明真空中以角速度作半径为圆周运动的点电荷在圆心处产生的磁场强度为，是与圆周运动方向成右手螺旋关系方向的单位矢量。证明 如图4-17所示，以角速度作半径为圆周运动的点电荷的线速度为 ，则磁场强度 证毕。4-18 如图4-18所示，半径为，长度为的永磁材料圆柱，被永久磁化到磁化强度为。求轴线上任一点的磁感

25、应强度和磁场强度。解 等效的磁化电流体密度和面密度分别为 ， 参阅教材72页例4-2，可得图4-19所示电流微元在点产生的磁感应强度为则圆柱体上的磁化电流在轴线上产生的磁感应强度为4-19 有两个相邻的线圈，设各线圈的磁链的参考方向与线圈自身电流的参考方向成右手螺旋关系，问：如何选取两线圈电流参考方向，才能使互感系数为正值？如何选取两线圈电流参考方向，才能使互感系数为负值。解 选择和的参考方向，使产生的磁通与成右手关系、产生的磁通与成右手关系，则互感系数为正值。选择和的参考方向，使产生的磁通与成左手关系、产生的磁通与成左手关系，则互感系数为负值。4-20 半径为的无穷长圆柱，表面载有密度为的面

26、电流。求空间的磁感应强度和矢量磁位。解 如图建立圆柱坐标，由于对称性，则场量仅可能为的函数，作轴心与重合、半径分别大于或小于圆柱面，据，可得，即；对于，由于磁感应强度线应经无穷远处闭合，即，则当，；当，作闭合回线，据安培环路定律，可得，即；作轴心与重合、半径分别大于或小于圆环线，据安培环路定律，可得。 综合以上分析，可得磁感应强度为 根据，可得矢量磁位为 式中为环绕的闭合回线。4-21 在沿轴放置的长直导线电流产生的磁场中，求点与点之间的矢量磁位差和标量磁位差（积分路径不得环绕电流）。解 沿轴放置的长直导线电流产生的磁场，作轴心与重合、半径为1的圆环线，设积分路径为点与点之间半圆环线，由于在半

27、径相同的点上，矢量磁位相同，因此矢量磁位差为0；标量磁位差，式中正、负与电流与积分路径绕行方向相关。第五章 时变电磁场5-1 如图5-1所示，一个宽为、长为的矩形导体框，放置在磁场中，磁感应强度为。导体框静止时其法线方向与呈角。求导体框静止时或以角速度绕轴旋转（假定时刻，）时的感应电动势。解 由于 ，据 ，导体框静止时， 导体框旋转时，5-2 设图5-2中随时间变化的磁场只有轴分量，并沿轴按的规律分布。现有一匝数为N的线圈平行于平面，以速度沿轴方向移动（假定时刻，线圈几何中心处）。求线圈中的感应电动势。解 据 设 ，则有5-3 一半径为的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场中以等角速度旋转，其轴线与

28、磁场平行。在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷，如图5-3所示。这一装置称为法拉第发电机。试证明两电刷之间的电压为。解 由于，则有 5-4 设平板电容器极板间的距离为，介质的介电常数为，极板间接交流电源，电压为。求极板间任意点的位移电流密度。解 对于平板电容器，极间电场为均匀场，则有 ，5-5 一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为、，长度，极板间介质的介电常数为，极板间接交流电源，电压为 。求时极板间任意点的位移电流密度。解 对于同轴圆柱形电容器，由于，则极间电场强度和电压分别为，因此 ，5-6 当一个点电荷以角速度作半径为的圆周运动时，求圆心处位移电流密度的表达式。解 在圆心处，电位移矢量，由

29、于 ，则可得圆心处位移电流为 5-7 一个球形电容器的内、外半径分别为和，内、外导体间材料的的介电常数为、电导率为，在内、外导体间加低频电压。求内、外导体间的全电流。解 对于球形电容器，极间电场强度为 ，电压 ，则有，因此，传导电流密度 位移电流密度 全电流密度 全电流 5-8 在一个圆形平行平板电容器的极间加上低频电压，设极间距离为，极间绝缘材料的介电常数为，试求极板间的磁场强度。解 圆形平行平板电容器极间的电场强度、电位移矢量及位移电流密度均为均匀场，即 ，据安培环路定律，可得 ，则 5-9 在交变电磁场中，某材料的相对介电常数为、电导率为。分别求频率、以及时位移电流密度和传导电流密度的比

30、值。解 据 ，可得时，；时，；时，5-10 一矩形线圈在均匀磁场中转动，转轴与磁场方向垂直，转速。线圈的匝数，线圈的边长、。磁感应强度。计算线圈中的感应电动势。解 转速 ，角频率 线圈截面 ，磁通 ，磁链 线圈中的感应电动势 5-11图5-4所示的一对平行长线中有电流。求矩形线框中的感应电动势。解 如图建立坐标系，则线框中任意点的磁感应强度为 元磁通 ，则线圈所链绕的磁通线圈的感应电动势5-11 一根导线密绕成一个圆环，共100匝，圆环的半径为5cm，如图5-5所示。当圆环绕其垂直于地面的直径以的转速旋转时，测得导线的端电压为（有效值），求地磁场磁感应强度的水平分量。解 转速 ，角频率 ，线圈

31、截面 通过线圈的磁通量 ，相应的磁链 ，则线圈的电动势为 ，电动势的有效值 因此，所求地磁 5-13 真空中磁场强度的表达式为，求空间的位移电流密度和电场强度。解 据磁场强度表达式，可得电场强度 ，又 ，则 ，位意电流密度 5-14 已知在某一理想介质中的位移电流密度为，介质的介电常数为，磁导率为。求介质中的电场强度和磁场强度。解 据位移电流表达式，可得 则可得电位移矢量 ，电场强度 磁场强度 5-15 由两个大平行平板组成电极，极间介质为空气，两极之间电压恒定。当两极板以恒定速度沿极板所在平面的法线方向相互靠近时，求极板间的位移电流密度。解 设两极板间的初始距离为，在时刻，极板间的距离为，则

32、，极间电场强度 ，电位移矢量 因此，位移电流密度 第六章 电磁场能量6-1 一个空气介质的电容器，若保持极板间电压不变，向电容器的极板间注满介电常数为的油，问注油前后电容器中的能量密度将如何改变？若保持电荷不变，注油前后电容器中的能量密度又将如何改变？解 平行极板间电场强度和电位移矢量分别为 ，当极板间电压不变时，空气介质中电场能量密度 注油后电场能量密度 当极板上电荷不变时，极板上的电荷面密度 ，则电场强度 ，电位移矢量 ，空气介质中电场能量密度 注油后电场能量密度 6-2 内、外两个半径分别为、的同心球面极板组成的电容器，极板间介质的介电常数为，当内、外电极上的电荷分别为时，求电容器内储存

33、的静电场能量。解 如图6-1建立球坐标，球形极板间的电场强度和电位移矢量为 ，则极板间的电场能量 6-3 两个同轴薄金属圆柱，半径分别为、，小圆柱有放在大圆柱内，极板间介质的介电常数为，如果在两圆柱间加上的电压，求电容器极板间储存的静电场能量。解 如图6-2建立圆柱坐标，圆柱形极板间的电场强度为 ，由于极板间的电压，则有，可得，则极板间的电场能量 6-4 内导体半径为，外半径为的同轴电缆中通有电流。假定外导体的厚度可以忽略，求单位长度的磁场能量。解 如图6-3建立圆柱坐标，当时，有 相应的磁场能量为 当时，有 相应的磁场能量 所求磁场能量为 6-5 空气中有一个边长为的等边三角形回路和一长直导

34、线，三角形回路的一边与长直导线平行，间距为，三角形回路的另一顶点离直导线较远，如图6-4所示。当直导线和三角形回路分别有电流和时，求三角形回路与直导线之间的互有磁场能量。解 如图建立坐标系，电流三角形线圈中产生的磁感应强度为 ，元磁通 ，式中 ，磁通 两线圈间的互感 因此，两线圈间的互有能 6-6 一个平板电容器的极板为圆形，极板面积为，极间距离为。介质的介电常数为，电导率为。当极板间电压为直流电压时，求电容器中任一点的坡印亭矢量。解 如图建立坐标系，两极板间的电场强度、传导电流密度分别为 ，据安培环路定律，可得 即 则坡印亭矢量为 6-7 在题6-6中，如果电容器极间的电压为工频交流电压。求

35、任一点的坡印亭矢量及电容器的有功功率和无功功率。解 据题意，可得各极间电场强度为 ，相量式电位移矢量，相量式则传导电流密度为，相量式 位移电流密度，相量式 则全电流密度 ，磁场强度 坡印亭矢量由此可得有功功率，无功功率第七章 平面电磁波7-1 设空气中有一平面电磁波在坐标原点的电场强度为，电磁波以速度沿轴方向传播。求电场强度和磁场强度的表达式。解 据题意可得 7-2 设空间某处的磁场强度为。求电磁波的传播方向、频率、传播常数、传播速度和波阻抗，并求电场强度的表达式。解 据磁场强度表达式，可得电磁波的传播方向为轴正方向，频率 ，传播常数 ，传播速度 ，波阻抗 电场强度 7-3 一在真空中传播的电

36、磁波电场强度为，求磁场强度。解 据题意可得 7-4 某良导体中一均匀平面波的频率为，波长为。求该电磁波的传播常数、衰减系数、相位常数、传播速度和透入深度。解 据题意，已知频率，波长，磁导率，介电常数，媒质为良导体，电导率，并有 ，则可得传播常数 ，衰减系数 ，相位常数 ，传播速度 ，透入深度 7-5 已知真空中有一均匀平面波的电场强度。其中，。求磁场强度的瞬时值及相量表达式。解 据电场强度的表达式，可得磁场强度的瞬时值表达式为相量表达式为 7-6 在自由空间中某一均匀平面波的波长为。当它在某一无损媒质中传播时，其波长为，且已知在该媒质中和的幅值分别为和。求该平面波的频率以及该无损媒质的和。解 据题意，在自由空间中，则频率 在无损媒质中，波长，则波速由于，可得，解得，即，则 ，7-7 设一均匀平面波在一良导体中传播，其传播速度为真空中光速的，波长为。设媒质的磁导率为，试决定该平面波的频率和良导体的电导率。解 据题意，可得频率 ，由于在良导体中，即，则有 7-8 某导电媒质的磁导率为，电导率为。求透入深度为1米的电磁波的频率。解 据，可得，则 7-9 频率为的平面电磁波沿轴垂直透入一平面银层，银层的电导率为，求透入深度。解 30