四边形的中点专题.docx

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1、四边形的中点专题四边形的中点专题1.如图，正方形 ABCD中，E为AB边上一点，过点 D作DF丄DE与BC延长线交于点F.连接EF,与CD边交于点G,与对角线BD交于点H.(1) 若 BF=BD=2，求 BE的长；(2) 若M是EF中点，求证：MC垂直平分DB(1)解：四边形ABCDE方形，/ BCD=90， Rt BCD中, BC2 CD2 BD2，22即 BC222 BC=AB=1TDF丄 DE,ADEy EDC=90 =Z EDCk CDF / ADEy CDFADE CDF在 ADE?3 CDF中， AD CD，A DCF 90 ADEA CDF(ASA，-2 AE=CF=BF-BC=

2、2 1 BE=AB-AE=1-1 .2 =21(2)证明：如图：连接 DM BM T DF丄DE M为EF中点， DM= EF,2 vZ EBF=90，M 为 EF 中点， BMEF,： BM=DM2 M在BD的垂直平分线上v BC=CD,.C在BD的垂直平分线上 MC垂直平分DB2.如图，在平行四边形 ABCD中，对角线丄AC于点E,求证：AD=2OE证明：取CD的中点F,连接EF, OFv四边形ABCD是平行四边形，AO=COV DEI AC/ DEC=90 EF=FCV CD/ AB/ CAB2 DCA=x./ FECK DCE= x./ DACK FOC=2 x./ FEOK EFO=

3、 x OE=OFAD=2OE3.在平行四边形ABC冲，对角线相交于点 O. E、F、P分别OB OC AD的中点, 且 AC=2AB 求证：EP=EF证明：连接AE, V四边形ABCD是平行四边形3题 AD=BC AC=2OA=2OC： AC=2ABOA=AB V E 为 OB中点, AE! BD （三线合一定理），K AED=90 , v P 为 AD中点, AD=2Epv BC=AD - BC=2EPv E、F分别是 OB OC中点， BC=2EF EP=EF4.如图，点E为正方形 ABCD外一点，/ BCEK BAE=15 ,AE=T3,O为BD的中点，连接OE,求OE的长。解：连接BD

4、,v四边形ABCDE方形,VO为BD的中点 BD进过点O,vK BCEK BAE=15 K AECK ABC=90K BAC=45D/ EAC=60/. AC=2,3/. OE=1 AC = . 325.如图，在菱形ABCD中，对角线AC BD相交于O, AO=BD,E为AO的中点,连OG.求证:FG=OG接BE,F、G分别是BE AD的中点，连接FG 证明：取CD的中点H,连接GE HF、GH. 在菱形ABCD中，对角线AC BD相交于O ACL BD, / AOBH AOD=90 AO=BD丘为AO的中点 OE=OB=OD, F、G分别是BE AD的中点 GE/ OD,GE=O.5DO,H

5、F BO,HF=O.5BO GE/ HF,GE=HF四边形GEHF是平行四边形 HG/ EF,HG=EF/ GHEM OEB=45/ GHO=135/ GEOMAOD=90/ GEF=135GEOH在厶 GEF?3 GHgGHOGEF ,EFGH GEEA GHO( SAS , FG=OG 6.已知，矩形 ABC冲，延长BC至 E, 使 BE=BD F为DE的中点，连结 AF.(1)若 AB=3 AD =4,求 DE的长;4题C(2)求证：/ ADB=Z DAF解：（1）v因为四边形ABCD是矩形 BC=AD=, CD=AB=3在 Rt ABD中, BD=；42 32 =5 BE=BD=5,

6、CE=BE-BC=1： DE= 32(2)连接 BF、CF.v BE=BD EF=DF/ DBF2 EBF又 t CF= DE=DF2/ DCFM FDCZ ADCy CDFM BCD# DCF即/ ADF=BC又 t AD=BC ADFA BCF/ DAF# FBC二 / DBEAD / BC 2# ADB# DBE# ADB=2/ DAF7.在平行四边形ABC呼,DB丄AO于点O, E为AB的中点，OD=BE,# EDB=22.5 ,求# BDCI的度数凭& C解：连接OE,在平行四边形ABCD中,DB丄AO于点O /# AOB=90 , t E 为 AB的中点,二 Oe=ABE=BEt

7、OD=BE, OD=OE# EDB# DEO=22.5 , /.# EOB=45# AOE=45# OAB# OBA=45/ CD/ AB/ BDCh ABO=458.在平行四边形 ABC冲,/ CAB=N DACDF丄 AB于 F,交 AC于 E.AF=3,DF=4,求：EC的长解：取EC的中点G连接DG.四边形ABCD是平行四边形， CD/ AB/ CAB=/ DCA=x./ DAC=2 x. DF丄 AB/ DFB=90 AB= 3242 =5/ EDC=90 DG=GC=EG / GDCM DCG= x/ DGA=2x/ DGAM DAGAD=DG=5 EC=10点，连接DE,D9.如

8、图，点E为正方形ABCD的BC边上任意 的中点,连接FA BF. (1)求证：AF=BF.证明： 连接CF.V四边形ABCDE方形,(2)若/ FBE=30 ,BE=4 求 S ABF/ DCB=90 二/ADC,AD=BC F为DE的中点DF=FC/ FDCM CFB/ ADEM BCFAD BC在厶 ADF3 BCF中,ADE BCF ,DF CF ADFA BCF( SAS , FA=BF(2)作 EG! BF于 G/.Z EG90 / / FBE=30 ,BE=4/ GE=2BG=2 3/ ABE=60 ,AF=BF：A ABF是等边，二 BF=BC, /-Z BFC= BCF=67.

9、5/ FEC=FCE=67.5 , /Z GFEZ FEG=45 ,/ GF=GE=2/ BF=2 2.3/ SAbf=3BF2=322 3 =126.34410.如图，在正方形ABCD中, DG=HC连接AG F,O是AC的中点,连接OE OF(1)求证：DE=CF.求：Z AEO勺度数证明：在正方形ABC冲/ AD=DC, Z ADGZ DCH=90在厶ADGF3 DCH中,AD DCADGDG CHDCH ,/Z CDAZ DAGvZ ADE-Z DAE=90/Z ADE-Z DAE=90/Z ADE=90/ CF丄 DH/Z DCF=90在厶 ADEffiA DCF中,AD DCAEDDAEDFCCDFADEA DCF/ DE=CF. 连接 DO/ ADC=90 ,AO=-COr. DO=CO,DQAC/ DOC=90 ADEA DCF. / ADE玄 DCF. / CDF FCH/ CDOM ACB=45/ ODE OCF=45 - / CDF=45 - / FCHOD OC在 ADE?3 DCF中,DE CFODE OCF ODE OCFf/ DOE CODf/ EOF=90 f OE=OFf/ OEF=45f/ AEO=45