第二章控制系统的数学模型.ppt

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1、第二章 控制系统的数学模型,通过前面的学习我们知道，自动控制理论是研究自动控制系统三方面性能的基本理论。,设控制系统,控制系统,输入,输出,加上输入信号,求出输出响应,根据输出响应即可分析系统的性能。,怎样根据输入信号求系统的输出响应？,如果知道控制系统的数学模型就可求出系统的输出响应。,分析系统性能的第一步就是建立系统的数学模型，这是第二章的主要内容。,数学模型：,描述系统动态特性的数学表达式。,数学模型反映了系统各变量之间的关系。,常用的数学模型：,(2)微分方程,(3)传递函数,(4)频率特性,(1)代数方程,(5)动态结构图,其中微分方程是最基本的，其它可以通过微分方程求得。,建立微分

2、方程的方法：,(1)解析法,(2)实验法,这一章介绍解析法。,补充：控制系统的微分方程,第二节 传递函数,第三节 传递函数的方框图表示及运算,第四节 信号流图及梅逊公式,第五节 系统数学模型的MATLAB表示,第一节 拉普拉斯变换,第二章：控制系统的数学模型,补充：控制系统的微分方程,一、建立微分方程的一般步骤,二、常见环节和系统的微分 方程的建立,三、线性微分方程式的求解,上一目录,第二章：控制系统的数学模型,（1）确定系统的输入变量和输出变量。,一、建立系统微分方程的一般步骤,一个系统通常是由一些环节连接而成的，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。,列写系统微分

3、方程的一般步骤：,根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程，并构成微分方程组。,(1)确定系统的输入变量和输出变量。,将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。,（3）消除中间变量，将式子标准化。,补充：控制系统的微分方程,（2）建立初始微分方程组。,uc,ur,二、常见环节和系统微分方程的建立,1 RC电路,输入量：,输出量：,（1）确定输入 量和输出量,（2）建立初始微 分方程组,（3）消除中间变量，使式子标准化,RC电路是一阶常系数线性微分方程。,ur=Ri+uc,补充：控制系统的微分方程,2机械位移系统,系统组成：,质量,弹簧,阻尼器,输入量

4、,弹簧系数k,m,阻尼系数f,F(t),输出量,y(t),初始微分方程组:,F=ma,F(t)FB(t)FK(t)=ma,根据牛顿第二定律,补充：控制系统的微分方程,中间变量关系式:,FK(t)=k y(t),消除中间变量得:,补充：控制系统的微分方程,3他激直流电动机,Ud,系统组成：,直流电机,负载,输入:电枢电压,励磁电流,If,电磁转矩,Te,负载转矩,TL,摩擦转矩,Tf,工作原理：,电枢电压作用下产生电枢电流，从而产生电磁转矩使电动机转动.,输出:电动机速度,n,补充：控制系统的微分方程,根据基尔霍夫定律有,电动机的电路等效图:,ed,Ld,id,Rd,ed=Cen,Ce 反电势系

5、数,反电势,根据机械运动方程式,Te=Cm id,Cm 转矩系数,GD2 飞轮惯量,为了简化方程，设,TL=Tf=0,定义,机电时间常数：,电磁时间常数：,电动机的微分方程式为：,补充：控制系统的微分方程,系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。,系统微分方程的一般表达式为：,补充：控制系统的微分方程,微分方程的解（时域t）代数方程的解（复数域s）,拉氏变换,拉氏反变换,用拉氏变换求解微分方程的基本思路和方法是：,线性微分方程（时域t）代数方程（复数域s）,三、线性微分方程式的求解,求解,补充：控制系统的微分方程,2.1 拉氏变换变换,如果有一函数满足下列条件：,（

6、1）t 0 时 f(t)=0,（2）t0 时 f(t)是分段连续的,第一节拉普拉斯变换,2.1.1 拉氏变换及逆变换,定义：,（3）,f(t)的拉氏变换为：,记作 F(s)=Lf(t),拉氏反变换为：,f(t)=L-1F(s),2.1.2常用函数的拉氏变换,1)单位阶跃函数u(t),记作,第一节拉普拉斯变换,2)单位脉冲函数(t),3)单位斜坡函数t,对上式进行分部积分公式,2.1.2常用函数的拉氏变换,令,4)指数函数,5)正弦函数sint,2.1.2常用函数的拉氏变换,6)余弦函数cost,2.1.2常用函数的拉氏变换,小结与作业,小结：,1.控制系统微分方程的建立步骤,2.用拉氏变换求解

7、微分方程,3.拉氏变换及逆变换,4.常用函数的拉氏变换,作业：,1.求函数 的拉氏变换,2.求习题2-5的微分方程。,第一周作业讲评,作业主要问题：,1.没有按要求绘制系统框图,2.系统框图中没有综合点符号,3.系统框图中没有箭头,4.参考答案,复习提问,1.控制系统微分方程的建立步骤,2.拉氏变换及逆变换,3.分部积分公式,2.1.3 拉氏变换的定理,1)线性定理,2)微分定理,证明:根据拉氏变换定义,应用分部积分法,则有,例:已知分别如题图(a)、(b)所示,试求f1(t)与f2(t)的拉氏变换。,2.1.3 拉氏变换的定理,解（一）：因为,2.1.3 拉氏变换的定理,所以,解（二）：因为

8、,所以,3)积分定理,第一节拉普拉斯变换,证明:根据拉氏变换的定义,应用分部积分法可得,所以,4)延迟定理,证明:,令x=t-t0,则t=x+t0,dt=dx,于是上式可写为,2.1.3 拉氏变换的定理,5)初值定理,证明：根据微分定理有,2.1.3 拉氏变换的定理,等式两边对s趋向于无穷取极限,6）终值定理证：由微分定理，有等式两边对s趋向于0取极限,2.1.3 拉氏变换的定理,7)相似定理,8)位移定理,9)卷积定理,2.1.3 拉氏变换的定理,证明：,证明：,2.1.3 拉氏变换的定理,2.1.3 拉氏变换的定理,象函数的一般表达式：,分解为,零点,极点,转换为,则,部分分式法求拉氏反变

9、换,实际上是求待定系数A1,A2,An.极点的形式不同,待定系数的求解不同,下面举例说明.,待定系数,2.1.4拉普拉斯变换的应用,拉氏反变换,(1)不相等实数极点,解：,例 求拉氏变换,2.1.4拉普拉斯变换的应用,(2)复数极点,p1,p2 共轭复数极点,分解为,根据,求待定系数A1,A2.,例 求拉氏变换,解：,A2=1,2.1.4拉普拉斯变换的应用,(3)重极点,有r个重极点,分解为,下面举例说明,2.1.4拉普拉斯变换的应用,例 求拉氏变换,解：,分解为,按不相等实数极点确定A1,A3,A4 得：,将各待定系数代入上式得：,2.1.4拉普拉斯变换的应用,5用拉氏变换解微分方程,下面举

10、例说明求解线性微分方程的方法。,例 求拉氏反变换,r(t)=20I(t),c(0)=5,c(0)=15,解：,(1)将微分方程拉氏变换,(2)解代数方程,(3)求拉氏反变换,2.1.4拉普拉斯变换的应用,例 已知系统的微分方程式，求系统的 输出响应。,r(t)=(t),c(0)=c(0)=0,解：,将方程两边求拉氏变换得：,s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s),R(s)=1,求拉氏反变换得：,c(t)=e t sin t,输出响应曲线,c(t),r(t),2.1.4拉普拉斯变换的应用,课堂练习题：,(1)求下列函数的拉氏变换,(2)求下列函数的拉氏反变换,(3)解下列微分方程,f(

11、t)=t2+3t+2,c(0)=c(0)=0,1.控制系统的微分方程,2.拉氏变换及逆变换,3.拉氏变换的性质,作业：,习题：2-4,小结：,小结与作业,上周作业点评,1.本次作业较好，但个别同学存在计算错误，希望今后再认真些。,2.个别同学没有及时提交，或提交格式不对，打不开，所以没有成绩，提倡图片格式。,复习提问,简述传递函数的性质？,（4）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。,（1）传递函数只适用于线性定常系统。,（2）传递函数取决于系统的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关。,（3）传递函数一般为复变量S 的有理分式。,2.3 传递函数的方框图表示

12、及运算,2.3.1 方框图的定义及组成,2.3.2 闭环控制系统的方框图,方块图是系统数学模型的另一种形式，它表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程。,2.3.3 系统方框图的绘制,2.3.4 方框图的等效变换及运算法则,2.组成,1.概念,方框图是对系统中每个环节的功能和信号流向进行的图解表示。,描述系统及各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它表示系统中各变量之间的因果关系及各变量所进行的数学变换。,2.3.1 方框图的定义及组成,（1）方框 表示对信号进行的数学变换，方框中写入元件或系统的传递函数，并用信号线将其连接起来。,U(t)=r(t)-c(t)U(s)=R(s)-C(s

13、),（2）比较点（综合点或相加点）一般加号常省略，负号必须标出。,（3）分支点,2.3.1 方框图的定义及组成,闭环控制系统的典型 结构：,2.开环传递函数：,系统反馈量与误差信号的比值,E(s),B(s),=G1(s)G2(s)H(s),=G(s)H(s),2.3.2 闭环系统的方框图,1.前向通道传递函数,3.闭环传递函数,1)给定信号R(s)作用,系统的典型 结构：,设 D(s)=0,典型结构图 可变换为：,系统的闭环传递函数:,2.3.2 闭环系统的方框图,2)扰动信号D(s)作用,设 R(s)=0,系统的典型 结构：,动态结构图 转换成:,前向通道:,D(s),C(s),反馈通道:,

14、闭环传递函数为：,2.3.2 闭环系统的方框图,_,R(s),E(s),4.误差传递函数,1)给定信号R(s)作用,误差输出的动 态结构图:,前向通道:,反馈通道:,设 D(s)=0,E(s),C(s),误差传递函数为：,2.3.2 闭环系统的方框图,+,D(s),E(s),2)扰动信号D(s)作用,R(s)作用下误差输出的动态 结构图:,前向通道:,反馈通道:,R(s)=0,E(s),C(s),误差传递函数为：,2.3.2 闭环系统的方框图,系统方框图的绘制步骤一般为:,（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。,（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传 递函数、输入量和输出量。,（3）根据信号

15、在系统中的流向，依次将各 方框连接起来。,2.3.3 系统方框图的绘制,例 设一RC电路如图所示。画出系统 的动态结构图。,RC电路,解：,初始微分方程组：,ur=Ri+uc,变换：,Ur(s)=RI(s)+Uc(s),I(s)=CSUc(s),即,用方框表示各变量间关系,2.3.3 系统方框图的绘制,对于RLC电路，可以运用电流和电压平衡定律及复阻抗的概念，直接画出系统的动态结构图。,例 求图所示电路的动态结构图。,RC 电路,解：,I2(s),I1(s),+,Uc(s),Ur(s),_,CS,+,R2,Uc(s),RC电路动态结构图,2.3.3 系统方框图的绘制,例 画出图所示电路的动态结

16、构图。,RC串联电路,解：,I1(s),_,Ur(s),UC(s),I2(s),_,_,U1(s),U1(s),I2(s),UC(s),RC串联电路的动态结构图,2.3.3 系统方框图的绘制,例 建立他激直流电动机的动态结构图。,解：,电枢回路部分：,微分方程为,取拉氏变换:,Ud(s)=Rd Id(s)+Ld s Id(s)+Ed(s),整理得：,Ud(s)Ed(s)=Id(s)(Rd+Ld s),令：,则有,用框图表示为,2.3.3 系统方框图的绘制,电机转轴部分：,微分方程:,Te=Cm id,TL=Cm iL,拉氏变换得：,Te(s)=Cm Id(s),TL(s)=Cm IL(s),整

17、理得：,即,令,得,用框图表示为,2.3.3 系统方框图的绘制,反电势部分：,拉氏变换,微分方程,用框图表示为,eb=Ce n,Eb(s)=Ce N(s),2.3.3 系统方框图的绘制,将三部分框图连接起来即得电动机的动态结构图。,(a),(b),(c),电动机的动态结构图,Ce,2.3.3 系统方框图的绘制,2.3.4 方块图的等效变换及运算法则,系统的方框图直观地反映了系统内部各变量之间的动态关系。将复杂的动态结构图进行化简可求出传递函数。,1动态结构图的等效变换,等效变换：,被变换部分的输入量和输出量,之间的数学关系，在变换前后 保持不变。,C1(s),（1）串联,两个环节串联的等效变换

18、：,等效,n个环节串联,C1(s)=R(s)G1(s),C(s)=C1(s)G2(s),=R(s)G(s)1G2(s),不是串联！,也不是串联！,2.3.4 方块图的等效变换及运算法则,(2)并联,两个环节的并联等效变换：,等效,C1(s)=R(s)G1(s),C1(s),C2(s)=R(s)G2(s),C2(s),C(s)=C1(s)+C2(s),=R(s)G1(s)+R(s)G2(s),n个环节的并联,2.3.4 方块图的等效变换及运算法则,（3）反馈连接,环节的反馈连接等效变换：,根据框图得：,等效,C(s)=E(s)G(s),第四节 动态结构图,2.3.4 方块图的等效变换及运算法则,

19、（4）综合点和引出点的移动,1)综合点之间或引出点之间的位置交换,引出点之间的交换：,综合点之间交换：,acb,不改变数学关系,不改变数学关系,综合点与引出点之间不能交换！,2.3.4 方块图的等效变换及运算法则,2）综合点相对方框的移动,R(s),前移：,C(s),后移：,2.3.4 方块图的等效变换及运算法则,3)引出点相对方框的移动,R(s),前移：,C(s),后移：,2.3.4 方块图的等效变换及运算法则,a,移动a,+,_,例 化简系统的结构图，求传递函数。,先移动引出点和综合点，消除交叉连 接，再进行等效变换，最后求得系统 的传递函数。,解：,交换比较点,a,求得系统的传递函数:,

20、等效变换后系统的结构图：,2.3.4 方块图的等效变换及运算法则,例 求RC串联网络的传递函数。,RC串联网络动态结构图,解：,错！,注意：综合点与引出点的位置不作交换！,_,_,系统传递函数：,2.3.4 方块图的等效变换及运算法则,例:,解:,D(s)=0,结构图变换为：,求,2.3.4 方块图的等效变换及运算法则,C(s),E(s),求,结构图变换为：,解:,D(s)=0,2.3.4 方块图的等效变换及运算法则,求,解:,R(s)=0,结构图变换为,-(1+H2/G1),系统传递函数为：,2.3.4 方块图的等效变换及运算法则,C(s),E(s),求,解:,结构图变换为,R(s)=0,(

21、1+H2/G1),系统传递函数为：,2.3.4 方块图的等效变换及运算法则,小结：,2.3 传递函数的方框图表示及运算,1 方框图的定义及组成,2 闭环控制系统的方框图,3 系统方框图的绘制,4 方框图的等效变换及运算法则,前向通道传递函数、,开环传递函数、,闭环传递函数、,误差传递函数,作业：,习题2-9，2-11(a)、(b),复习提问,简述方框图的等效变换及运算法则？,等效变换：,被变换部分的输入量和输出量,之间的数学关系，在变换前后 保持不变。,（1）串联,（2）并联,（3）反馈连接,（4）综合点和引出点的移动,1)综合点之间或引出点之间的位置交换,2）综合点相对方框的移动,3)引出点

22、相对方框的移动,2.4 信号流图及梅逊公式,2.4.1.信号流图的概念及术语,1.节点：用以表示系统中变量或信号的点称为节点，用“o”表示。2.支路：连接两节点的定向线段。3.输入支路：指向某节点的支路，称为该节点的输入支路。4.输出支路：背离某节点的支路，称为该节点的输出支路。5.传输：两节点间（支路）的增益或传递函数6.源点：只有输出支路而无输入支路的节点。7.阱点：只有输入支路而无输出支路的节点。8.混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。,9.通路：沿支路箭头所指的方向穿过各相连支路的途径。10.开通路：如果通路与任意节点相交次数不多于一次，称为开通路。11.闭通路：如果通路的终点就

23、是通路的起点，而与任何其它节点相交次数不多于一次，则称为闭通路或回路。12.回路增益：回路中各支路传输的乘积。13.不接触回路：回路间没有任何共有节点，称其为不接触回路。14.前向通路：从源点到阱点的通路上，通过任何节点不多于一次的通路。15.前向通路增益：前向通路中各支路传输的乘积，称为前向通路增益。,2.4 信号流图及梅公式逊,2.4.2.信号流图的性质及化简,1以节点代表变量，源点代表输入量，阱点代表输出量，用混合节点代表变量或信号的汇合。在混合节点处，输出支路的信号等于各输入支路信号的叠加。,2以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条

24、支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。,3增加一个具有单位传输的支路，可以把混合节点化为阱点。,4对于同一系统，信号流图的形式不是唯一的。信号流图和方框图是一一对应的，且可以互相转化。,运算法则：,2.4.2.信号流图的性质及化简,加法规则：并联支路的总传输等于各支路的传输之和。,乘法规则：串联支路的总传输等于所有支路的传输之积。,运算法则：,2.4.2.信号流图的性质及化简,分配规则：混合结点可以通过移动支路的方法消掉。,反馈回路简化规则：先化成自回路,方框图与信号流图的转换,例1 将下面所示的方框图转化为流程图,2.4.2.信号流图的性质及化简,回路内前向通道和反馈 通道传递函数

25、的乘积。,梅逊公式：,回路传递函数：,特征式,各回路传递函数之和。,两两互不相接触回路的传 递函数乘积之和。,所有三个互不相接触回路 的传递函数乘积之和。,k,将中与第 k 条前向通道相接触 的回路所在项去掉之后的剩余部 分，称为余子式。,Pk,第k 条前向通道的传递函数。,2.4.3梅逊公式,例 系统的动态结构图如图所示，求 闭环传递函数。,解：,系统有5个回路，各回路的传递函数为,L1,L1=G1G2H1,L2,L2=G2G3H2,L3,L3=G1G2G3,L4,L4=G1G4,L5,L5=G4H2,=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2,P1=G1G2G3,1

26、=1,P2=G1G4,2=1,将、Pk、k代入梅逊公式得传递函数：,2.4.3梅逊公式,L1,L2,L3,例 求系统的闭环传递函数。,解:,L1=G3H1,L2=G1H1,L3=G1G2,P1=G1G2,1=1 G3H1,=1+G1G2+G1H1 G3H1,2.4.3梅逊公式,L5=G1(s)G2(s),L4=G1(s)G2(s),L3=G1(s)G2(s),L2=G2(s),L1=G1(s),例 求系统传递函数。,解:,(1)用梅逊公式,L1,L2,L3,L4,L5,3=1,4=1,P4=G1(s)G2(s),P3=G1(s)G2(s),P2=G2(s),P1=G1(s),1=1,2=1,系统的传递函数,2.4.3梅逊公式,（2）用等效变换法,系统动态结构图变换为：,2.4.3梅逊公式,例2 试应用梅森公式求例1所示的系统的传递函数,2.4.3梅逊公式,例 试应用梅森公式求系统的传递函数,2.4.3梅逊公式,=,1,af,bg,ch,ehgf,+,+,afch,abcd,ed,(1bg),例,2.4.3梅逊公式,例,P1=G1G2G3K;P2=G2G3K;P3=G1G3K,2.4.3梅逊公式,小结与作业,小结：,2.信号流图的性质及化简,3.梅逊公式,1.信号流图的概念及术语,作业：,2-12,2-13,