矩阵的概念与基本运算.ppt

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1、矩阵的概念与基本运算,称为方程组的增广矩阵,称为方程组的系数矩阵,设有线性方程组,线性方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系,定义 1 由 mn 个数 aij(i=1,2,m;j=1,2,n),称为mn 矩阵.,排成的 m 行n 列数表,记成,某学校印刷厂印制甲、乙、丙三种类型的作业本，一、二月份的生产与销售情况如下表：,矩阵的概念,行矩阵（行向量）只有一行的矩阵。,等,列矩阵（列向量）只有一列的矩阵。,等,几种特殊形式的矩阵,等,零矩阵 所有元素都为零的矩阵，简记作。,方阵行数和列数相等的矩阵。如：,等,二阶方阵,三阶方阵,n阶方阵,如,等,对角形矩阵主对角线上的元素不全为零，其它的 元素都为

2、0的方阵，简记作。,单位矩阵主对角线上的元素都是1的对角形矩阵，简记作。如：,等,上三角形矩阵主对角线下方元素全为零、上方的 元素不全为0的方阵。如：,等,下三角形矩阵主对角线上方的元素全为零，下方 的元素不全为0的方阵。,同型矩阵：有相同的行数与相同的列数的 两个矩阵，称为同型矩阵。,如：,只有矩阵 与矩阵 同型,注意：同型是相等的必要条件。,相等矩阵：若 两矩阵同型且对应位置上 的元素相等，则称 相等，记 作。,如：,关系式,矩阵的基本运算及性质,，（有两种），/,一 矩阵的加法,定义2 设A=(aij),B=(bij)都是 mn 矩阵,矩阵 A 与B 的和,例 1,记成 A+B,规定为,

3、两个印刷厂：,矩阵的加法运算满足规律,2.(A+B)+C=A+(B+C)(结合律),3.A+0=A,4.设A=(aij),记 A=(aij),规定 A B=A+(B),二 数与矩阵的乘法,定义 3,规定为,称 A 为 A 的负矩阵,1.A+B=B+A(交换律),易知,A+(A)=0,例 2 若,那么,3A=A3,数乘矩阵的运算满足规律：,A,B为矩阵.,三 矩阵与矩阵的乘法,定义4 设 A=(aij)是一个 ms 矩阵,B=(bij)是一个 sn,A 与 B 的乘积记成 AB，即 C=AB.,规定 A 与 B 的积为一个 mn 矩阵 C=(cij)，,其中,A B=ABms sn mn,矩阵,

4、例 3,例 4,例 5,例 6,一般来说，AB BA,若矩阵 A、B 满足 AB=0,n 阶矩阵,称为单位矩阵.,如果 A 为 mn 矩阵，那么,即矩阵的乘法不满足交换律.,未必有 A=0 或 B=0 的结论.,n 阶矩阵,称为对角矩阵.,两个对角矩阵的和是对角矩阵，,两个对角矩阵的积也是对角矩阵.,矩阵的乘法满足下述运算规律,矩阵的减法,数乘矩阵,如：,注意：数乘矩阵时，矩阵的每一元素都要乘以常数K。,等,数量矩阵,数乘矩阵的运算规律：,矩阵的乘法,设,则,其中,左矩阵 右矩阵A的列数 B的行数,例如：,无意义！,AB存在，BA无意义，,例题：计算下列各题,（1）,（2）,AB与BA不同型,（3）,（4）,（5）,（6）,（2）当AB=BA时，称A、B为可交换矩阵，或称A、B可交换。此时，A、B必为同阶方阵。,小结,（8）,（7）,矩阵的乘法运算不满足消去律,矩阵相乘的运算规律：,一般地：,或,若 A 是方阵，则乘积,有意义，记作,称为 A 的 k 次幂。,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,性质,线性方程组的矩阵表示法（2）,若记：,则方程组（1）可记为：,