【2.2.2反证法】数学课件.ppt

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1、2.2 直接证明与间接证明,2.2.2 反 证 法,复习,1.直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3、在实际解题时，两种方法如何运用？,通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只 鸽子在同一只鸽笼，对吗？,（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C 说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？,分析:假设C没有撒谎,则A、B都撒谎.,由A撒谎,知B没有撒谎.,那么假设C没有撒谎不成立,则C必定是在撒谎.,这与B撒谎矛盾.,思考？,把这种不

2、是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明,注：反证法是最常见的间接证法，同一法也是一种间接证法.,一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），,经过正确的推理，,最后得出矛盾。,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，,这样的证明方法叫做反证法。,理论,反证法的证明过程：,否定结论推出矛盾肯定结论，即分三个步骤：反设归谬存真,反设假设命题的结论不成立；,存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。,归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；,用反证法证明命题的过程用框图表示为：,肯定条件否定结论,导 致逻辑矛盾,反设 不成立,结论成立,例1：已

3、知：一个整数的平方能被2整除，求证：这个数是偶数。,证明：假设a不是偶数，则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数)a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 a2是奇数，与已知矛盾。假设不成立，所以a是偶数。,注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。,例题,例2：不可能成等差数列,注：否定型命题(命题的结论是“不可能”，“不能表示为”，“不是”，“不存在”，“不等于”，“不具有某种性质”等)常用反证法,解题反思：证明本题时，你是怎么想到反证法的？,反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾是什么？,练习：,例3 已知a0，证明x的

4、方程ax=b有且只有一个根。,证：由于a 0，因此方程至少有一个根x=b/a，,注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一性问题,常用反证法,如果方程不只一个根，不妨设x1,x2（x1 x2)是方程的两个根.,例4：已知x0,y0，x+y2，求证：中至少有一个小于2。,分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至少有一个”只要证明它的反面“两个都”不成立即可.,注:“至少”、“至多”型命题常用反证法,归纳总结：,三个步骤：反设归谬存真,归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。,（1）直接证明有困难,正难则反!,归纳总结：,哪些命题适宜用反证法加

5、以证明？,牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”,（3）唯一性命题,（2）否定性命题,（4）至多，至少型命题,唐吉诃德悖论,小说唐吉诃德里描写过一个国家它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。一天，有个旅游者回答旅游者：我来这里是要被绞死。这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。,趣味数学,推理与证明,推理,证明,合情推理,演绎推理,直接证明,间接证明,类比推理,归纳推理,分析法,综合法,反证法,知识结构,例1用反证法证明：如果ab0，那么,注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。,补充例题,练习 求证：是无理数。,