新教材中的几何链.ppt
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1、普通高中课程标准实验教科书(人教A版),人教社教材培训讲师团浙江省杭州市长征中学 朱成万,教材中的几何链,高中几何内容编排,立体几何 空间点线面的位置关系(必修2)空间向量(选修2-1)理科解析几何 直线与圆(必修2)圆锥曲线(选修2-1)理科(选修1-1)文科,立体几何部分,一、立体几何教学解构,1基本结构2平行关系3垂直关系4几何直观5推理证明 6研究方式,解构逻辑线索,在几何学的研究中,不仅产生了许多有实用的度量结果,更成为人类建构科学体系的一种普遍方法从学科内容看,平行与垂直是整个立体几何的基础和核心从教育功效看,认识空间图形,培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力,以及几何直观能
2、力是立体几何的教育价值所在从研究方法看,采用“直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算”研究图形及其几何性质,符合几何学习的认知特点,1.基本结构,点、线、面是空间的基本结构,点的运动形成线(连结两点最短的线是直线),空间中其他的几何结构和性质可以用直线(线段)来刻画和表述面是既比空间简单而又具有空间基本结构的几何结构,几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科.三维空间是人类生存的现实空间,认识空间图形,培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力,时间简史:二维空间不允许像我们这样复杂生命的发展.二维动物吃东西时不能将之完全消化,则
3、它必须将其残渣从吞下食物的同样通道吐出来;因为如果有一个穿通全身的通道,它就将这生物分割成两个分开的部分,我们的二维动物就解体了。,平行性使得对几何对象从定性刻画到定量刻画成为可能,因为它是各种度量关系和计算公式的基础,2平行关系,线线、线面、面面平行三者之间可以进行相互转化,3垂直关系,垂直是众多空间位置关系的枢纽,各种垂直关系可以垂直于垂直的相互转化,图5,垂直是对称性的几何表现,定理1:平面中和给定两点 A,B 等距的点集是AB的垂直平分线(图5)定理2:设A,B是给定相异两点,S是空间中所有和A,B 等距的点 所构成的集合则S是一个过AB中点 M 的平面,而且S上任何过M 点的直线都和
4、AB垂直(或者说S是AB的垂直平分面),推论:设,而且和上两条相异的MP1,MP2 垂直,则l和上任给过 M点的直线都垂直(图6)证明:在直线l上任取一直线段AB,以M为其中点,令S为AB的垂直平分面 由所设M,P1,P2 是 S上不共线三点 所以S=,图6,定义:若 而且和上所有过 M的直线都垂直,则称垂直于,记作,总结:从对称入手,先给出直线的垂直平分面,再给出一个判定定理,最后定义线面垂直避开了用三角形全等证明线面垂直判定定理的繁难过程,且揭示了线线、线面垂直的联系,更揭示了垂直的本质所在对称性,4几何直观,几何直观是揭示现代数学本质的有力工具,是认识的基础借助于几何直观、几何解释,能启
5、迪思路,可以帮助我们理解和接受立体几何抽象的内容,图7,图8,揭示概念的实质是和它在平面上射影所成的锐角,在读”定义”的时候,自然会想到图7也就是说自动建立了图形表征,案例1斜线和平面所成角的概念,5推理证明,证明与推理是立体几何课程要帮助学生掌握的基本技能,欧几里得公理体系把几何与逻辑结合起来,几何就与演绎推理结下了不解之缘,几何学成为训练逻辑推理的良好素材如果仅仅强调几何对逻辑推理的作用,那就是小看了几何的教育功效。从几何推理的角度来看,既有合情推理,又有演绎推理“直观感知、操作确认”强调的是合情推理,“思辨论证、度量计算”则强调了演绎推理,证明存在不同的严格性,可以分为3个水平:过程性论
6、证,形式化证明,公理化方法在内容的安排上,使学生经历从特殊到一般,从具体到抽象的过程,逐步认识直线与平面、平面与平面的位置关系,在推理过程中渗透公理化思想,养成言必有据的理性思维精神,证明不应当只局限于几何,代数或其他领域也同样存在证明应该贯穿高中数学教学。在立体几何中证明主要讨论空间基本图形的位置关系,在解析几何和向量几何中会涉及代数的方法证明几何量的相等与不等问题在选修2-2和选修1-2中专门有一章“推理与证明”详细介绍了各种证明方法,如综合法、分析法、反证法和数学归纳法等,6研究方式,人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质这四种研究方式具体与抽
7、象、直观与论理、感性与理性、动手与动脑有机地结合在一起,空间几何体,点线面的位置关系,几何体结构,三视图和直观图,表面积与体积,线面垂直判定性质,点线面的位置关系,线面平行判定性质,二、必修2知识结构,第九章 直线、平面、简单几何体,91 平面92 空间直线93 直线、平面平行的判定和性质94 直线、平面垂直的判定和性质95 两个平面平行的判定和性质96 两个平面垂直的判定和性质,9.7 棱柱9.8 棱锥研究性学习:多面体欧拉公式的发现9.9 球小结与复习,大纲版,课标版,删掉(后移):异面直线所成的角的计算直线与平面所成角的计算三垂线定理及其逆定理二面角及其平面角的计算多面体及欧拉公式增加:
8、简单空间图形的三视图;台体的表面积和体积等内容。,纲标比较,1.从整体到局部、具体到抽象2.螺旋上升,分层递进,逐步到位3.强调几何直观,合情推理与逻辑推理并重,适当渗透公理化思想,三、教材编写特点,与大纲教材中立体几何内容体系比较,本模块立体几何内容体系结构有重大调整。,1.从整体到局部、具体到抽象,课标教材,从空间几何体整体认识到点、直线和平面位置及其度量的认识优点:关注学生思维过程,为合情推理逻辑推理创造条件;体现从具体到抽象的认识规律。缺点:逻辑性的减弱。,1.从整体到局部、具体到抽象,大纲教材,优点:从点、线、面到几何体,按公理化体系、知识的逻辑关系安排内容,结构严谨,“数学味”浓.
9、缺点:与学生的认知规律、思维方式有矛盾,是造成学立体几何困难的原因之一.,2.螺旋上升,分层递进,逐步到位,(1)必修课程 数学2 立体几何初步(2)选修课程 空间向量与立体几何,系列3-3 球面上的几何系列3-5 欧拉公式与闭曲面分类系列3-6 三等分角与数域扩充系列4-1 几何证明选讲,3.强调几何直观,合情推理与逻辑推理并重,适当渗透公理化思想,直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算,在立体几何学习中,经历合情推理演绎推理过程。通过对物体、模型、图片等的操作和感知,引导学生归纳、概括几何图形的结构特征,认识空间点、线、面的位置关系,用数学语言表达平行、垂直的性质与判定,并能进行证明。,既
10、要发展演绎推理能力,也要发展合情推理能力,案例:直线与平面垂直的判定定理,证明非常漂亮、经典,渗透了许多数学思想,重心是逻辑推理能力。,依据“标准”的要求,实验教材对这个定理不进行演绎证明,而让学生通过一个探究实验发现结论,进行合情推理。,直线与平面垂直判定定理中学数学核心概念思想方法结构体系及其教学设计课题组,直线与平面垂直的定义:,直线与平面垂直的定义:,定义中的“任意一条”四个字能否用“无数条”来替换?,思考:,如果 l,那么 吗?,课堂实录,师:“定义”通常可以作为判定的依据。如果用“定义”判定直线是否与平面垂直,你们说方便不方便?生众:不方便。师:不方便在哪里?生众:任意一条(难穷尽
11、)。师:要检验一条直线与平面内每一条直线都垂直很难做到,所以,我们有必要寻找更为简便可行的方法来判定直线是否与平面垂直。于是,就想到要减少直线的条数,最理想的是减少到一条。师:“一条直线与平面内的一条直线垂直,这条直线就与这个平面垂直”可以吗?生众:不可以。师:可以减少到几条呢?生众:两条。(仍然注意从思考方法上加以引导。)师:请大家拿出三角形纸片,我们来做实验。,折纸,一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直,线不在多 相交则行,直线与平面垂直的判定定理,8米,10米,10米,6米,6米,某公司要安装一根8米高的旗杆AB,两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子,然后
12、拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点(和旗杆脚不在同一直线上)C、D如果这两点都和旗杆脚距离6米,那么表明旗杆就和地面垂直了。你知道这是为什么吗?,A,B,C,D,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)请列举与平面ABCD垂直的直线;,(2)请列举与直线A1A垂直的平面;,(3)你还能找出一条与平面D1DBB1垂直的直线吗?,,,练习:,如图,在三棱锥V-ABC中,VAVC,ABBC,K是AC的中点。求证:AC平面VKB,思考:若E、F分别是AB、BC 的中点,试判断EF与平面VKB的位置关系,A,V,B,C,练习:,如图,在三棱锥V-ABC中,VAVC,ABBC,求证:VBAC;
13、,在的条件下,有人说“VBAC,VBEF,VB平面ABC”,对吗?,关键:线不在多 相交则行,作业:,课本第73页的一道探究题;,如图,PA平面ABC,BCAC,写出图中所有的直角三角形;,课本第74页练习中的第2题,评课,1、遵循立体几何认知规律:直观感知操作确认 思辨认证度量计算2、问题引导学习 课堂实录,问题有思维量3、“推迟判断”教学中心前移,让学生体会、感受4、适度提炼“线不在多,相交则行”归纳得很好,四、空间向量(选修2-1),空间向量为处理许多问题提供了新工具和新方法。通过学习本章,可以使学生在对平面向量已有认识的基础上,进一步学习空间向量,并运用空间向量研究立体几何中的问题,进
14、一步体会向量方法在解决几何问题中的作用,空间向量目标定位,(1)经历向量及其运算由二维向三维推广的过程。(2)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。(3)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。(4)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线(平行)与垂直。,(5)理解直线的方向向量与平面的法向量。(6)能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。(7)能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理。(8)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角及距离等的计算问题,体会向量方法在研究几何问题
15、中的作用。,纲标比较,强调:由平面向空间推广的过程 增加:掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,空间两点间的距离公式现在在必修2.,法向量,教材有概念,但没有用来解题,删除:平面和平面距离的概念,五、两个重要问题,1、三垂线定理 2、法向量,1、三垂线定理要不要补充?,三垂线定理 过去“一统天下”处于核心地位 如今“退至幕后”作用已经淡化,课时 高考 向量,在数学2“点、直线、平面之间的位置关系”中虽然没有明确提到“三垂线定理”,但在选修2-1“空间向量与立体几何”中提到“能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)”。,向量既是代数的对象,又是几何的对象。,向量是集数与形于一
16、身的数学概念,是数学中数形结合思想的典型体现。,2、法向量到底用不用?,教材明确提出直线方向向量、平面法向量的概念。,同时指出:“因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置,所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系”(P103);,然后,又归纳出了线线、线面、面面平行、垂直的一些结论(P104)。,教材中的法向量:,值得注意的是:在教材中的四个例题解答中没有一个用法向量来解决。,例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系?,解
17、:如图1,不妨设,化为向量问题,依据向量的加法法则,,进行向量运算,所以,回到图形问题,这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。,例4 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于点F.(1)求证:PA/平面EDB(2)求证:PB平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,1.适当拓宽法向量的知识,会用法向量。2.空间向量解决立体几何问题并不局限于找到正交基底的空间直角坐标系条件3.根据条件特点选择合适的方法,结论:,立体几何结束语,对于中小学几何课程应当教授哪些内容我们至今仍未能达成共识我们
18、既不会重新使用以往教授欧氏几何的老办法,却也未能找出令各方面均能满意的新方法我们不应再把几何仅看作是综合性几何,也不能再将证明仅仅只与几何挂钩这些年来,数学已经变得越来越代数化,且远离几何而去,这正是由于引入越来越多的计算方法而导致的结果再加上动态几何软件的出现,我们更要发问:中小学几何课程究竟要教些什么?也许这种提法本身就是一种错误事实上,几何本身是无所不在的我们在执教数学课时,只要有可能就应当随时随地地引入几何所以真正的关键之处并不在于教的内容,即教些什么,而在于教的方法,即如何施教(新加坡,南洋理工大学 国立教育学院;李秉彝),普通高中课程标准实验教科书,解析几何部分,一、必修2中解析几
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- 新教材 中的 几何
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