杨辉三角探秘.ppt

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1、杨辉三角探秘,二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角,杨辉,详解九章算法中记载的表,杨辉三角,第5行 1 5 5 1,第0行1,杨辉三角与二项系数,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 1,第6行 1 6 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行 1,1,15,20,10,10,6,4,杨辉三角基本性质,第5行 1 5 5 1,第0行1,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 1,第6行 1 6 1

2、5 6 1,第n-1行 1,1,第n行 1,1,15,20,10,10,6,4,再探杨辉三角,横看杨辉三角中各行数字,第1行112第2行121422第3行1331823第4行146411624第5行151010513225第n行,(1)第n行数字的和为2 n(2)前n行(含第0行)所有数的和为2 n+1 1,性质1,横看杨辉三角中各行数字,一看：1，3，7，15各行数字,三看：2，3，5，7，11,二看：4，8，16，各行数字,1、第1，3，7，15，这些行即2k-1（k是正整数）行的各个数字均为奇数，2k行除两端的1之外都是偶数。2、当行数P是质数（素数），除去两端的数字1以外，行数P整除其

3、余所有的数。,性质2,斜看杨辉三角中各行数字的和,从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩”出发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数,斜看杨辉三角中各行数字的和,一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第 m+1 条斜线上的第 n 个数,性质3,1,2,5,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,第1行 1 1,第0行1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,第8行 1 8 28 56 70

4、56 28 8 1,斜看杨辉三角中各数的和,性质4,1，1，2，3，5，8，13，21，34，此数列an满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n3)这就是著名的斐波那契数列,世事洞明皆数学，留心处处是文章。,中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？,兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，,杨辉三角与“纵横路线图”,“纵横路

5、线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？,A,B,由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系,杨辉三角与弹子游戏,在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球(黑色)向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？,成果展示,1、杨辉三角的第n行数字的和为2n。前n行（含第0行）所有和为2n-1，它恰好比第n行的和2n小1；2、杨辉三角的第1，3，7，1

6、5，行，即第2K-1（k是正整数）行的各个数字均为奇数。3、当行数P是质数（素数），除去两端的数字1以外，行数P整除其余所有的数。4、一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第 m+1 条斜线上的第 n 个数5、数列an满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n3)这就是著名的斐波那契数列,方法总结,1、运用了联系、类比的观点看问题；2、运用了从特殊到一般的归纳猜想与证明的思想方法；3、学会从多角度看问题，横看成岭侧成峰，远近高低各不同；4、锤炼发现问题、提出问题、解决问题的能力。,研究性作业：除了以上性质（蕴含的）数字之外，还有哪些好的性质？,1、（04.上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_行中从左至右第14与第15个数的比为2：3,34,链接高考,