图形与几何.ppt

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1、图形与几何,修改课程标准的基本原则,修改组确定的标准修改的基本原则和思路是:修改的基础是课程改革几年来的实践和调查研究的结果;修改应稳步进行,使得标准更加准确、规范、明了、全面;增强可操作性,更适合于教材编写、教师教学、学习评价.明确修改过程中要进一步处理好以下几个关系:一是关注过程和结果的关系;二是学生自主学习和教师讲授的关系;三是合情推理和演绎推理的关系;四是生活情境和知识系统性的关系.,初中数学新课程解读（图形与几何）,在本学段中，学生将探索基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受，学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用

2、，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念。双基拓展到四基，两能力拓展到四能力，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。进一步明确提出了基本思想和基本活动经验的要求，基本活动经验包括学生的直接感受、体验和个人感悟。几何直观是标准中新增的核心概念，主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。推理与论证的学习从以下几个方面展开：在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了一定的活动经验与掌握了一定图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的

3、基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想。在教学中，应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程；应注重对证明本身的理解，而不追求证明的数量和技巧。证明的要求控制在标准所规定的范围内。,内容结构,由图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明四条主线变成图形的性质、图形的变化、图形与坐标三条主线。图形的性质这条主线基本上涵盖了原来图形的认识和图形与证明的内容，除了对一些基本图形的认识之外，还包含着对图形一些命题的证明，同时，还发展了学生的空间观念和推理能力。,第二条主线是图形的变化，包含了合同变换图形的轴

4、对称，图形的平移，图形的旋转以及图形的相似（包括位似）还有一类变换是仿射变换，在标准中呈现的标题是投影。这部分主要研究图形之间的关系，特别是从运动的观点和变化的角度来研究图形。由于在这里面不仅有数学上 变换的东西，还有一些投影与视图的内容，同时解三角形也在这里面，叫运动对于解直角三角形有些牵强，所以叫图形的变化。,第三条主线是图形与坐标，包含坐标与图形的位置，还有坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画在图形的变换中所熟知的轴对称，图形的变换，图形的位似等。这三条主线不仅是对具体的学习内容的要求，更是从不同的角度，更多的维度对我们初中阶段的几何图形进行了全方位的立体化的研究，它可以看做图形研究不同的

5、三个途径。内容修改了，但是仍然提出让学生动手操作，鼓励发现，鼓励合作探索，特别强调探索证明，更有利于学生的空间观念、推理能力的培养，几何直观能力的发展。,具体内容的修改,增加的主要内容有:1.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.2.会利用基本作图完成:作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和正六边形.这部分内容主要是一个初步的了解，目的是把直线形和曲线形结合起来认识，老师在教学时没有必要任意扩充。3.为适当加强推理,增加了下列定理的证明:相似三角形的判定定理和性质定理,垂径定理,圆周角定理、切线长定理等.,删除的主要内容有:,1.梯形、等腰梯形的相关内容.（为什么？）2.视点、视角、盲

6、区.3.计算圆锥的侧面积和全面积.,选取的内容：增加了打星号的内容，如关于相似三角形判定的演绎证明，圆中的垂径定理、切线长定理等。反映了课程标准理念，给学生提供了一个弹性的学习空间。,名称表述改变的有:,1.“图形与几何”(不叫“空间与图形”）2.“数学公理”改名叫“数学基本事实”,并明确了9条基本事实.（公理）3.对数学的“双基”要求,改为数学“四基”要求:基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.4.新增“模型思想”、“几何直观”的概念.指出“几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题”.,题目考察要求限度：,1.圆部分练习题以课本难度为标准2.不建议增加难度，不要受老教材的影响，不做老

7、而过时的练习题；3.因按课标要求，防止编造人为的、繁难的证明题，所以试卷的证明题仍会是一般难度的、考察三角形四边形或圆的知识方法的题目（证明全等或相似最多出现两次）。,（一）具体目标（一）图形的性质:考试中，只能用下文出现的基本事实和定理作为证明的依据。（从维度上，有一维图形，重点是二维图形，还有简单的三维图形。从图形的复杂程度上，有简单图形与组合图形。由七个小的标题组成：1点、线、面、角；2相交线与平行线；3三角形；4四边形；5圆；6尺规作图；7.定义、命题、定理）1点、线、面、角（1）通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等例 从一个侧面为正方形的长方体实物中抽象出

8、长方体、长方形、正方形、线段和顶点。说明 学生在日常生活中见到的物体都是立体的，而在纸上画出的图形都是平面的，这是一类很重要的抽象。特别是把物体表面分解，有利于培养学生的空间观念。（2）会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。（3）掌握基本事实：两点确定一条直线。（4）掌握基本事实：两点之间线段最短。（5）理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离。（6）理解角的概念，能比较角的大小。（7）认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差。,2相交线与平行线（1）理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性

9、质。（2）理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。（3）理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。（4）掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（5）识别同位角、内错角、同旁内角。（6）理解平行线概念；掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。（7）掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。,（8）掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。*了解平行线性质定理的证明例 证明：两直线平行，则同位角相等。说明 考虑到学生的实际情况，在教学过程中，给出下面证明方法的时间可以酌情处理。这个证

10、明可以利用反证法完成，一方面使学生了解结论的证明，另一方面可以帮助学生了解反证法。如图所示，我们希望证明：如果ABCD，那么12。假设12，过点O作直线AB，使EOB2。根据“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行”这个基本事实，可得ABCD。这样，过点O就有两条直线AB，AB平行于CD，这与基本事实“过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行”矛盾，说明12的假设是不对的，于是有12。（9）能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。,（10）探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行；平行线的性质定理：两

11、条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）。（11）了解平行于同一条直线的两条直线平行。3三角形（1）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。（2）探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。（3）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。,（4）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。例 直观阐述基本事实：两组对应边及其夹角分别相等的两个三角形全等。说明 虽然基本事实是不需要证明的，但是启发学生进行直观分析、探索结论的合理性。如图所示，一个

12、三角形由六个元素构成，即三条边和三个角，因此，两个三角形如果三条边和三个角分别相等，则这两个三角形全等。问题是，最少几个元素就可以确定三角形从而构成全等条件呢？观察图中的ABC，如果对图中的边BC“视而不见”，这样，对B和C也就“视而不见”了，此时ABC的形状和大小并不改变。这就是说，AB，AC两条边及它们的夹角确定了ABC的形状和大小，于是可以推断，两边以及这两边的夹角可以确定一个三角形。因此，可以认同“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这个基本事实。另外，也可以用图形运动（叠合）的方法确认“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这个结论。对于基本事实“两角及其夹边分别相等的两个三角形全

13、等”的直观分析可以借助下面的图.可以进一步引导学生思考，为什么“三个角分别相等的两个三角形全等”不能成为基本事实。对于以上事实的认可，也可以从六个元素中的一个出发，即由少到多进行考虑，通过画图探索出需要几个元素即可确定一个三角形。,（5）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。（6）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。（7）证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。（8）探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。（9）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂

14、直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。,（10）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60的等腰三角形）是等边三角形。（11）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。（12）探索勾股

15、定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。（13）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。（14）了解三角形重心的概念。,4四边形（1）了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式。（2）理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。（3）探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。（4）了解两条平行线之

16、间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离。,（5）探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性质。例 根据性质对平行四边形、矩形、菱形、正方形分类说明 在第一和第二学段都讨论过分类的问题，通过分类有助于学生把握问题本质，了解研究对象的共性与差异。特别是对于几何图形分类，有利于培养几何直观性和思维的层次性。分类的关键在于确定分类的标准，在不同的标准下可能会有不同的分类结果

17、。一般来说，分类标准可以由粗到细，即由一个特征发展到多个特征。针对本问题把图形分为两类（其中一类可以是空的，在具体教学过程中不出现空集的概念）的标准可以考虑为：对边平行；对边平行且有一个角为直角；对边平行且四条边相等；对边平行、有一个角为直角、四条边相等。还可以通过对角线建立分类标准，等等。在具体教学过程中，可以启发学生想象，也可以做出实物让学生操作。（6）探索并证明三角形的中位线定理。,5圆:考试中，不要求用（2）（3）（6）证明其他命题。（1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系。（2）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两

18、条弧。（3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。（4）知道三角形的内心和外心。（5）了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。,（6）探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等例 探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。说明 通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。教学中可以参考安排如下的过程：（1）发现结论。在透明纸上画出如下的图：设

19、 PA,PB 是O 的两条切线，A，B是切点。让学生操作：沿直线OP将图形对折，启发学生思考，或者组织学生交流。学生可以发现：PA=PB，APO=BPO。这是通过实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出切线长定理的结论。（2）证明结论的正确性。如上图2，连接OA和OB。因为PA和PB是O的切线，所以PAO=PBO=90度，即 POA和POB均为直角三角形。又因为OA=OB和OP=OP，所以POA和POB全等。于是有PA=PB，APO=BPO。这是通过演绎推理证明图形性质的过程。由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具。上述证明过程

20、没有采用形式化的三段论，但有利于初学者把握证明的条理和说理的逻辑。,（7）会计算圆的弧长、扇形的面积。（8）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。6尺规作图（1）能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。（2）会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。（3）会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。（4）在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕

21、迹，不要求写出作法。7.定义、命题、定理（1）通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。（2）结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。,（3）知道证明的意义和证明的必要性，例 直觉的误导。有一张8 cm8 cm的正方形的纸片，面积是64 c。把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，面积是65 c。这是可能的吗？说明这是一个直觉与逻辑不符的例子，希望学生通过学习体会到：对于数学的结论，完全凭借直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证。一

22、般来说，学生应当是不会相信图2中纸片的面积是65 c，但又无法说明为什么观察的结果是错误的。进一步引导学生思考，如果观察是错误的，那么错误可能出在哪里呢？学生通过逻辑思考，可以推断只有一个可能：图2中纸片所示图形不是长方形，因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积。然后，可以引导学生实际测量图形左上角或者右下角，发现确实不像是直角。可以告诉学生，这个想法是正确的，但最好能够给出证明，引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。,在实际教学中可以引导学生先看图、再让学生分组将图剪开，动手操作发现矛盾（64=65？）。然后，尝试找出理由并尝试证明，最后表达收获。可以采用如下反证法证明，在证明过程中

23、加深对相似图形的理解。如图，过D做AC的垂线交AC于F。假定图2中的图形是长方形，那么图形的右下角就应当是直角，则在图中有1+3=90。因为2+3=90，则1=2。由相似三角形的判定定理，两个直角三角形ABC与DEF相似。由相似三角形对应边成比例，应当有：，这是不可能的，因此上图2中的图形不可能是长方形。由于，这个差是很小的，因此会造成我们视觉的误差，把上图2中的图形判断为长方形。教学中可以鼓励学生运用不同的方法对此问题进行解释。,知道证明要合乎逻辑，例 如果四边形ABCD 和BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD也是平行四边形。某同学根据下述图形对这个命题给出了证明。证明：因为ABCD是平

24、行四边形所以 AD=BC AB=CD 又因为BEFC也是平行四边形 所以 BC=EF BE=CF 由得 AD=EF 由得 AB+BE=DC+CF 因为成立，所以四边形AEFD是平行四边形。他的考虑全面吗？说明 引导学生判断上述证明过程是否正确，希望学生通过错误的实例，感悟特殊和一般的关系。知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式.（4）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。（5）通过实例体会反证法的含义。我们教学中，不能只关注图形的概念和性质，还应该关注图形之间的关系，利用认识图形发展空间观念与几何直观，一方面我要研究图形的各个组成元素的性质，另一方面，我们还要研

25、究两个图形或多个图形之间的关系。，也就是教学中我们要注意三个问题，一是认识的对象，二是认识这些对象的什么，三是我们用什么样的手段和方式来认识这些对象。这是我们应该考虑的。,（二）图形的变化1图形的轴对称（1）通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。例 下面图2中的三个三角形是由图1中的三角形经过平移、旋转和轴对称得到的，分别指出图形运动的形式，并标出对应的角。图1 图2说明 把运动后的结果归纳在一起让学生辨认，有利于学生理解三种图形运动形式的不同之处，从而把握平移、旋转和轴对称的基本特征，体验图形运动是研究图形的有力工具。（2）能画出

26、简单平面图形（点，线段，直线，三角形等）关于给定对称轴的对称图形。（3）了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。（4）认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。,2图形的旋转（1）通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等（如上例）（2）了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。（3）探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。（4）认识并欣赏自然界和现实

27、生活中的中心对称图形。3图形的平移（1）通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等（如上例）（2）认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。（3）运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。,4图形的相似：考试中，不要求用（4）（5）证明其他命题。（1）了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。（2）通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。（3）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。（4）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两

28、边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明。,（5）了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。（6）了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。（7）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。（如例 直觉的误导。）（8）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sina，cosa，tana），知道30，45，60角的三角函数值。（9）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。（10）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。,5图形的投

29、影（1）通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。（2）会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体。（3）了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型。（4）通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用。,（三）图形与坐标1坐标与图形位置（1）结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。（2）理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。（3）在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。例 在直角坐标系中描出下列各点，将各组的

30、点顺次连接起来。观察这个图形，你觉得像什么？（1）（2，0），（4，0），（6，2），（6，6），（5，8），（4，6），（2，6），（1，8），（0，6），（0，2），（2，0）；（2）（1，3），（2，2），（4，2），（5，3）；（3）（1，4），（2，4），（2，5），（1，5），（1，4）；（4）（4，4），（5，4），（5，5），（4，5），（4，4）；（5）（3，3）。说明 在第二学段已经学习了利用方格纸画直角坐标系，理解整数坐标与格子点的对应关系。在本学段将学习一般的直角坐标系。利用直角坐标系可以把数与图形有机地结合起来，有利于用代数方法研究几何问题，也有利于借助图形直观地探索

31、数量关系的规律性。这个问题可以进一步扩展：把家乡的地图放在直角坐标系的第一象限内，然后等间隔地画出与坐标轴平行的两组平行线，一边用数字表示，一边用字母表示，然后让学生寻找自己熟悉的地点，并用数字和字母表示出该点。让学生理解，坐标的表示可以是多样的，坐标的核心是对应关系而不是具体表示形式。,（4）会写出矩形的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形。（5）在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。例 如何用方向和距离描述下图中小红家相对于学校的位置？反过来，学校相对于小红家的位置怎样描述呢？,2坐标与图形运动（1）在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。（2）在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。（3）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。（4）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。,