图形与几何2-副本.ppt

《图形与几何2-副本.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《图形与几何2-副本.ppt（67页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、三、“图形与几何”的核心词,空间观念几何直观,几何直观 通常，人们学习几何的途径主要是四步：直观感知操作确认演绎推理度量计算。小学数学中的几何，主要诉诸儿童的直观感受。小学：直观几何 操作几何,三、“图形与几何”的核心词,推理能力 注意将合情推理与适当验证结合起来，全面发展学生的推理能力。鼓励学生经历通过合情推理等发现图形特征，并尝试验证自己的发现过程，使学生养成“说理有据”的态度和有条理思考与表达的能力。,三、“图形与几何”的核心词,空间观念,空间观念一词的由来,历次颁布的小学算术（数学）教学大纲中，最早出现“空间观念”一词是1956年印发的小学算术教学大纲（修订草案）。原文是“在小学里学习

2、几何教材，除了可以使儿童获得几何方面的一些初步知识和应用这些知识的技能之外，还可以发展他们的空间观念。”,空间观念一词的由来,该“草案”是根据苏联小学算术教学大纲编译的。据参加编译和修订工作的曹飞羽先生说，本应译成“表象”，考虑到当时这一心理学名词比较生僻，怕教师不理解，所以改译成“观念”。因为观念的词义，除了做思想意识或认识、看法解之外，还可以解释为“客观事物在人脑里留下的概括形象”，也就是表象。从此，“空间观念”就一直沿用至今。,空间观念一词的由来,1986年，笔者参加九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）研制工作时，鉴于当时还没有空间观念的明确界定，且“表象”一词已被多数小学数学教师

3、所熟知，曾提议是否改回“表象”。,空间观念一词的由来,经研究，发现小学数学的教学实践，已经突破了“表象”的局限。例如，教师给出长方体长、宽、高的厘米数，学校能够比划出长方体的大小，这实际上是空间想象的初步表现。本来，表象有记忆表象和想象表象之分，想象有再造想象与创造想象之别，表象与想象，很难截然划清边界。,空间观念一词的由来,但当时初中数学教学大纲继续采用“空间观念”的提法，小学数学教学大纲自然不宜出现“想象”。比较而言，空间观念的内涵比空间表象更为宽泛，留有余地。既然如此，还是不改为好。,与空间观念相关的概念的梳理,由于空间观念这一核心词的重要性（仅次于数感）和特殊性（由来的中国特色），适当

4、梳理是必要的。,从心理学的视角看，与空间观念有着紧密联系的概念有空间知觉、空间表象、空间想象和空间能力。,与空间观念相关的概念的梳理,（1）空间知觉、空间表象和空间想象 空间知觉是指关于物体、图形的形状、大小及距离、方位等位置关系的直觉。空间表象是在大量空间知觉的基础上，形成的关于物体、图形的形状、大小及相互位置关系的印象。在认知心理学中，表象既是信息加工的成果，有是信息加工的过程。,与空间观念相关的概念的梳理,（1）空间知觉、空间表象和空间想象 空间想象是指在事物或图形的影响下，在言语的调节下，头脑中已有空间表象经过加工、改造、结合，产生新表象的心理过程。,与空间观念相关的概念的梳理,（1）

5、空间知觉、空间表象和空间想象 显然，空间知觉是空间表象的基础，空间想象是空间表象的发展。一般来说，从知觉到表象、再到想象，这三种认知水平是递进发展的。,与空间观念相关的概念的梳理,（1）空间知觉、空间表象和空间想象 同一年龄阶段的小学生中，不同的个体有可能表现出不同的水平。如，让五年级学生指认圆柱体的高，个别学生能正确指认圆柱体实物的高，但在指认圆柱体图形的高时，出现了错误。表明这类学生只打到了“实物识别”即空间知觉的水平。,与空间观念相关的概念的梳理,（1）空间知觉、空间表象和空间想象 有的学生不仅能正确指认圆柱图形的高，表现出“图形识别”即空间表象的水平，还能根据提示语“长方形绕着它的一条

6、对称轴旋转”，在圆柱正视图上正确指认该圆柱的高，表明这类学生已经达到了“剖面识别”即空间想象的水平。,与空间观念相关的概念的梳理,（1）空间知觉、空间表象和空间想象 教学观察还发现，同一个学生，在某种场合表现出这种水平，换个情境又可能表现出另一种水平，说明三种空间认知水平在同一个体中还会交错共存。,与空间观念相关的概念的梳理,（2）空间能力 加德纳：空间能力是几种“相对自发的人类智能”中的一种。然而对空间能力的界定与结构分析，至今尚无定论。按照能力的通常定义推演，空间能力应该是指人们顺利完成空间问题解决活动所必备的个性心理特征。,与空间观念相关的概念的梳理,（2）空间能力 就认知活动来说，空间

7、能力是以空间形式为主要对象，以空间知觉、表象、想象为主要心理活动过程，在头脑中进行几何抽象、分析与综合（包括图形的分解与重组）、判断与推理（包括图形的运动及二维、三位间的转换）的思维能力。简言之，所谓空间能力主要是特定领域内的思维能力。,与空间观念相关的概念的梳理,上述概念的关系，整理如图所示。,与空间观念相关的概念的梳理,（3）空间观念 空间观念是一个具有中国特色的数学教育术语，它的内涵只能靠我们自己，基于实践研究，借鉴相关理论来给予界定或描述。,与空间观念相关的概念的梳理,（3）空间观念 全美数学教师理事会1988年前后制定的美国学校数学课程与评价标准，于2000年出版美国学校数学教育的原

8、则和标准。前一书多处出现空间观念一词。译者张卫国先生说是按照我国的用于习惯意译的。经查，原词是spatial sense，如果直译，应为空间知觉或空间感。,与空间观念相关的概念的梳理,（3）空间观念 后一书，原著中并不见spatial sense，取而代之的是spatial visualization（空间想象），spatial reasoning（空间推理），geometric thinking（几何思维）等。猜想可能是前后两本书不同作者或研究进展的缘故。,与空间观念相关的概念的梳理,（3）空间观念 从词语的实际使用情况看：一般教师大多空间观念它视为表象、也会不知不觉地进入想象；学者大多把它

9、看做空间能力即空间思维的代名词，尤其在课程标准中，将图形的抽象、分析等典型思维活动都纳入空间观念的范畴，其实就是在空间能力的意义下使用“空间观念”的术语。因此，空间观念、空间能力、空间思维，都可以概称为 空间观念。,与空间观念相关的概念的梳理,（3）空间观念 在小学，空间观念以空间表象为主要表征形态，也包括一定的命题表征，并涉及空间知觉与初步的空间想象。,与空间观念相关的概念的梳理,（3）空间观念 关于空间观念也包含一定的空间想象的问题，一段时间以来，国内数学教育界比较普遍的看法是，空间想象要求过高，所以包括初中在内的义务教育阶段只提培养空间观念。,与空间观念相关的概念的梳理,（3）空间观念

10、事实是，想象的难易，很大程度上取决于想象的具体内容：简单的形体，小学生都想象；复杂的形体，大学生也难以建立表象，更不要说想象了。如让学生想象，一个圆柱体的直径是20厘米，高是1厘米，谁能描绘一下这个圆柱体？很多学生都可以做到。,与空间观念相关的概念的梳理,（3）空间观念,与空间观念相关的概念的梳理,（3）空间观念 相反的例子，如“马鞍面”即双曲抛物面，很多大学生学过之后画不出草图，观察多媒体演示也无济于事，说明他们并没有形成该曲面标准图形的记忆表象。,与空间观念相关的概念的梳理,（3）空间观念 诸如此类的例子，不难得出启示：尽管我们将小学生的空间观念主要定位在空间表象水平上，因为它切合小学生空

11、间观念的现实水平；但不应排斥空间想象，因为它在小学生空间观念的邻近发展区内。,怎样把握空间观念,1963年颁布的全日制小学算术教学大纲（草案），首次在教学目的中提出了“具有初步的逻辑推理能力和空间观念”的要求，但未阐述什么是空间观念。,文件中,怎样把握空间观念,1978年的全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案），以及1986年的全日制小学数学教学大纲，都只是提出同样的要求，仍没有加以阐述。,文件中,怎样把握空间观念,1992年的九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用），第一次对培养初步空间观念的要求，作了比较具体的描述：“使学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相互位置关系的表象，能够

12、识别所学的几何形体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的空间观念”。,文件中,怎样把握空间观念,这段话言简意赅，首先刻画空间观念是指建立什么样的表象，然后说明最主要的表现“识别”与“再现”，至于未尽内涵，则用“培养初步的空间观念”概括。,文件中,2001年的全日制义务教育数学课程标准（实验稿）进一步作出更详细的阐述：,文件中,怎样把握空间观念,怎样把握空间观念,这段文字的内容非常丰富，有五层意思。一是空间想象方面的表现，包括两种转换，即实物形状与几何图形，几何体与三视图或展开图之间的可逆转换。二是动手操作方面的表现，制作模型、画出图形。三是空间分析方面的表现，复杂图形的分解、分析。

13、,文件中,怎样把握空间观念,四是空间描述方面的表现，描述运动变化、位置关系。描述位置关系还特别强调“采用适当的方式”。因为即便是在小学阶段，也要先后学习多种方式，即“上下前后左右”“有序数对”“方向和距离”“相交或平行”。五是用图形描述问题和直观思考，相当于课标2011版的核心词“几何直观”。,文件中,怎样把握空间观念,空间观念的种种表现，已经列举得相当全面、详尽了。如果说有遗漏的话，那就是图形的抽象、图形的特征或者说性质。,文件中,怎样把握空间观念,课标2011版关于空间观念的语段是：,文件中,比实验稿更为精炼、概括。意在突出重点，削枝强干。,怎样把握空间观念,空间想象方面，增加了想象方位和

14、位置关系，补上了根据特征抽象出几何图形。这里的“特征”显然是指几何特征，这里的“几何图形”可以理解为包括平面图形、立体图形及其三视图、展开图。空间描述方面，只留描述运动变化，位置关系不在重复。,文件中,怎样把握空间观念,动手操作方面，强调画出图形，省略了制作模型。虽说“制作”是培养空间观念的有效手段，但毕竟不是数学教育的核心。用图形描述问题和直观思考，单列了一个核心词“几何直观”予以强调。删去了空间分析方面的要求，对小学数学来讲，关系不大。,文件中,怎样把握空间观念,不管把空间观念理解为“空间能力”，还是“表象初步的想象”，出于教学实践的需求，概括的说，小学空间观念的表现，主要就是在所学几何形

15、体的现实原型、几何图形与它们的名称、特征之间建立起可逆的“刺激反应”。,几何直观的含义,对于几何直观，标准中明确指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。”严格意义上讲这是针对几何直观的作用的解释性说明，而不是针对“几何直观”的明确定义。几何直观究竟是什么含义呢？认为：它首先是一种特殊的数学直观。,几何直观的含义,所谓直观，辞海（第六版）的解释是：“即感性认识。其特点是生动性、具体性和直接性；指旧唯物主义对认识的理解”。中国大百科全书的解释是：通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。拉丁文为interi，意为凝视。中国按其不同含义分别译为直观和直觉。直观的字面意义是直接的观察。,几何直

16、观的含义,当代著名数学家徐利治教授提出“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知”。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。,几何直观的含义,综上，几何直观是指，借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。,几何直观的表现形式,结合数学实际，在中小学数学中，几何直观具体表现为如下四种表现形式：一是实物直观，二是简约符号直观，三是图形直观，四是替代物直观。,几何直观的表现形式,实物直观 即实物层

17、面的几何直观，是指借助与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断。,几何直观的表现形式,实物直观 例如，在小学数学“数位”的学习中，十根小棒捆成一捆，十捆装成一箱，这里的一根小棒、一捆小棒、一箱小棒，就是针对个位1、十位10、百位100的实物直观形式，虽然量纲“捆”、“箱”有人为规定的成分，却与常理相符。,几何直观的表现形式,简约符号直观 即简约符号层面的几何直观，是在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象，所形成的、半符号化的直观。,几何直观的表现形式,简约符号直观 例如，在行程问题中，常用的线路图就是一种简约的

18、、符号化的直观图示，这种简约符号直观是经过一定的数学抽象而形成的，与现实生活原型相比，具有一定程度的抽象性。凭借这种图示分析解决问题，就是简约符号层面的直观（能力）正在发挥作用。,几何直观的表现形式,图形直观 是以明确的几何图形为载体的几何直观。下图就是代数法则（）的直观图形。凭借此图，学生可以轻松自如地理解（）。,几何直观的表现形式,替代物直观 是一种复合的几何直观，既可以依托简捷的直观图形，又可以依托用语言或学科表征物所代表的直观形式，还可以是实物直观、简约符号直观、图形直观的复合物。,几何直观的表现形式,替代物直观 例如，在287的计算中，有时借助计数器来表示，也可以借助“10个鸡蛋一盒

19、”或“10根小棒一捆”来分析。对于287来说，这里的计数器、一捆小棒、一盒鸡蛋，就是相应的直观图形的替代物。而在统计问题中，可以借助一个圆片代表样本数据，由此可以很好地理解“移多补少”，进而掌握平均数的概念。这里的“圆片”就是样本数据的替代物，直观而形象。,几何直观的表现形式,一般地，实物直观通常是现实世界中存在的实物模型，又能比较直观地体现某些数学对象的特殊属性，属于最低级的抽象。而“替代物直观”则是在现实模型基础上的进一步抽象，已经具备一定的抽象高度。,几何直观的表现形式,与“替代物直观”相比，图形直观的抽象程度更高一些，其综合程度更强一些，例如，图就将代数关系（）很巧妙地融合在三个矩形之

20、间的面积关系之中，既有代数的抽象，又有几何图形的抽象。,几何直观 的培养,现代生物学的有关结论（如表观遗传学的核心结论）表明，人与生俱来的、与子代经验无关的“直观”的物质基础确实是存在的。但是，如果没有后天的经验（特别是后天的适度刺激），这种直观不可能得到充分的表达；不仅如此，直观并不是一成不变的，随着经验的积累其功能可能逐渐加强，只有把先天的存在与后天的经验有机结合起来，才能形成人的直观能力。,虽然学生的几何直观有先天的成分，但是，高水平的几何直观的养成，却是主要依赖于后天，依赖于个体参与其中的几何活动，包括观察、操作（特别是，诸如折纸、展开、折叠、切截、拼摆等）、判断、推理等等。小学数学、

21、初中数学中的几何学，主要诉诸学生的直观感受，借以识别各种不同的几何图形及其关系。,几何直观 的培养,让中小学中的几何学习“动”起来、数形结合等等，都是为了有效发挥几何直观的作用，更好地培养学生的几何直观。在活动中，学生通过对现实空间中物体的形状、大小及其所处方位的感知，对物体的视图的初步认识、对常见平面图形的了解，积累丰富的几何事实，获得对简单几何体和平面图形的直观经验，进而理解现实的三维世界，形成初步的空间观念和一定的几何直观。,几何直观 的培养,因而，积累几何活动经验就成为几何教育的一个更加直接的目标和追求。拥有丰富的几何活动经验并且善于反思的人，他的几何直观更有可能达到更高的水平。,几何

22、直观 的培养,在大多数情况下，数学的结果是“看”出来的。而不是“证”出来的，所谓的“看”是一种直接判断，这种直接判断是建立在长期有效的观察和思考的基础之上。正如美国数学家阿蒂亚所言：“在几何中，视觉思维占主导地位，而代数中有序思维占主导地位。所以，几何中首先用到的是最直接的形象思维，用形象思维洞察”。这里的“用形象思维洞察”的意识、能力，就是几何直观。,几何直观 的培养,直观本身不是目的，而是手段。对于学生的数学学习而言，直观是为了形成学生的生动表象并借以形成概念、发展规律，促进抽象思维的发展。几何直观是影响中小学生数学发展的重要因素之一，培养和发展学生的几何直观，需要依托数学课程的每个领域，

23、不仅仅是“图形与几何”领域的任务。,几何直观 的培养,空间观念与几何直观 空间观念（空间想象能力）倾向于即使脱离了背景也能想象出图形的形状、关系的能力，而几何直观更强调借助一定的直观背景条件而进行整体把握的能力。从对象上来看，空间观念不仅涉及“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体”，而且涉及“想象出物体的方位和相互之间的位置关系，描述图形的运动和变化，依据语言的描述画出图形等”。,空间观念与几何直观 而几何直观是凭借图形对几乎所有的数学研究对象进行思考的能力。可见，几何直观与空间观念有重叠的成分，诸如“根据几何图形想象出所描述的实际物体”等，但是，二者各有侧重。此外，几何直观具有思维的跳跃性，而空间观念具有思维的连贯性。几何直观与空间观念在几何活动中共同发挥作用。,