第三章一元一次方程导学案.doc
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1、课题 3. 1 .1一元一次方程【学习目标】1、能根据题意用字母表示未知数,然后分析出等量关系,再根据等量关系列出方程。2、理解什么是一元一次方程。3、理解什么是方程的解及解方程,学会检验一个数值是不是方程的解的方法。【重点难点】体会找等量关系,会用方程表示简单实际问题,能验证一个数是否是一个方程的解。【导学指导】 一、温故知新1:前面学过有关方程的一些知识,同学们能说出什么是方程吗? 答: 叫做方程。2: 判断下列是不是方程,是打“”,不是打“”:;( ) 3+4=7;( ) ;( );( ) ;( ) ;( )二、自主探究例1 根据下面实际问题中的数量关系,设未知数列出方程:(1)用一根长
2、为24cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长为多少?解:设正方形的边长为cm,列方程得: 。(2)一台计算机已使用1700小时,预计每月再使用150小时,经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时?解:设x月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时;列方程得: 。(3)某校女生人数占全体学生数的52%,比男生多80人,这个学校有多少学生?解:设这个学校学生数为,则女生数为 ,男生数为 ,依题意得方程: 。1. 一元一次方程的概念观察下面方程的特点(1)4=24;(2)1700+150=2450(3)0.52x-(1-0.52x)=80小结:象上面方程,它们都含有
3、个未知数(元),未知数的次数都是 ,这样的方程叫做一元一次方程。(即方程的一边或两边含有未知数)2.方程的解 如何求出使方程左右两边相等的未知数的值?如方程=4中,=?方程中的呢?请用小学所学过的逆运算尝试解决上面的问题。解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解。例 检验2和-3是否为方程的解。 解:当x=2时, 左边= = ,右边= = ,左边 右边(填或) x=2 方程的解(填是或不是) 当x=时,左边= = , 右边= = ,左边 右边(填或)x=3 方程的解(填是或不是)【当堂训练】 1.判断下列是不是一元一次方程,是打“”,不是打“”:=4;( ) ;(
4、 ); ( ) ; ( ); ( ) 3+4=7;( )2.检验3和-1是否为方程的解。3.x=1是下列方程( )的解:(A), ( B),(C), ( D)4、已知方程是关于x的一元一次方程,则a= 。【课堂练习】1.课本80页练习2.练习本每本0.8元,小明拿了10元钱买了若干本,还找回4.4元。问:小明买了几本练习本?3.长方形的周长为24cm,长比宽多2cm,求长和宽分别是多少。4检验2和是否为方程的解。【课堂小结】:上面的分析过程可以表示如下:实际问题设未知数 列方程一元一次方程分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法。【拓展训练】:1.根
5、据下面实际问题中的数量关系,设未知数列出方程:(1)某校女生人数占全体学生数的55%,比男生多50人,这个学校有多少学生?(2)A、B两地相距 200千米,一辆小车从A地开往B地,3小时后离B地还有20千米,求小卡车的平均速度。2.老师要求把一篇有2000字的文章输入电脑,小明输入了700字,剩下的让小华输入,小华平均每分钟能输入50个字,问:小华要多少分钟才能完成?(请设未知数列出方程,并尝试求出方程的解)3.1.2等式的性质【学习目标】:掌握等式的两条性质,并能运用这两条性质解方程;【重点难点】:运用等式两条性质解方程; 【导学指导】 一、知识链接 1什么是等式? 用等号来表示相等关系的式
6、子叫等式 例如:m+n=n+m,x+2x=3x,33+1=52,3x+1=5y这样的式子,都是等式; 2.方程是_的等式,为了讨论解方程,我们先来研究等式有什么性质? 二、自主学习 1探索等式性质 (1)观察课本82页图31-2,由它你能发现什么规律? 从左往右看,发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量,天平还_; 从右往左看,是在平衡的天平的两边都减去同样的量,结果天平还是_; 等式就像平衡的天平,它具有与上面的事实同样的性质 等的性质1:等式两边都加(或减)同一个数(或式子),结果_; 怎样用式子的形式表示这个性质?如果,那么 注: 运用性质1时,应注意等号两边都加上(或减去)同一个数或
7、同一个整式才能保持所得结果仍是等式,否则就会破坏相等关系; (2)观察课本图31-3,由它你能发现什么规律? 可以发现,如果把平衡的天平两边的量都乘以(或除以)同一个量,天平还_; 等式性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不等于0的数,结果仍_; 怎样用式子的形式表示这个性质?如果,那么 ;如果,那么 。 注:运用性质2时,应注意等式两边都乘以(或除以)同一个数,才能保持所得结果仍是等式,但不能除以0,因为0不能作除数。 2.等式的性质的应用 例2利用等式的性质解下列方程:(1)x+7=26; (2)-5x=20; (3)-x-5=4 解:(1)根据等式性质_,两边同_,得: (2)分析:
8、-5x=20中-5x表示-5乘x,其中-5是这个式子-5x的系数,式子x的系数为1,-x的系数为-1,如何把方程-5x=20转化为x=a形式呢?即把-5x的系数变为1,应把方程两边同除以_解:根据等式性质_,两边都除以_,得 于是x=_ (3)分析:方程-x-5=4的左边的-5要去掉,同时还要把-x的系数化为1,如何去掉-5呢?根据两个互为相反数的和为_,所以应把方程两边都加上_ 。 解:根据等式性质_,两边都加上_,得 -x-5+5=4+5 化简,得-x=9 再根据等式性质_,两边同除以-(即乘以-3),得 -x(-3)=9(-3) 于是 x=_ 请同学们自己代入原方程检验;【当堂训练】:
9、1课本第83页练习;【课堂小结】 : 1根据等式的两条性质,对等式进行变形必须等式两边同时进行,即:同时加或减,同时乘或除,不能漏掉一边; 2等式变形时,两边加、减、乘、除的数或式必须相同3利用性质2进行等式变形时,须注意除以的同一个数不能是0;【拓展训练】1.回答下列问题: (1)从a+b=b+c,能否得到a=c,为什么? (2)从a-b=c-b,能否得到a=c,为什么?(3)从ab=bc能否得到a=c,为什么?(4)从=,能否得到a=c,为什么?(5)从xy=1,能否得到x=,为什么?2. 利用等式的性质解下列方程并检验(1)-3x=15; (2)x-1=5;【总结反思】:3.2 解一元一
10、次方程(一)合并同类项 【学习目标】:会列一元一次方程解决实际问题,并会合并同类项解一元一次方程; 【重点难点】重点:会合并同类项解一元一次方程; 难点:会列一元一次方程解决实际问题; 【导学指导】 一、温故知新:1等式性质 1:等式性质2: 2解方程:(1)x-9=8; (2) 3x+1=4; 二、 自主探究: 1问题1:某校三年级共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去年的2倍,前年这个学校购买了多少台计算机? 分析:设前年这个学校购买了x台计算机,已知去年购买数量是前年的2倍,那么去年购买_台,又知今年购买数量是去年的2倍,则今年购买了_(即_)台;题目中的相等
11、关系为:三年共购买计算机140台,即前年购买量去年购买量今年购买量140 列方程:_ 如何解这个方程呢? 根据分配律,x+2x+4x=(_)x=7x; 这样就可以把含x的项合并为一项,合并时要注意x的系数是1,不是0; 下面的框图表示了解这个方程的具体过程: x+2x+4x=140 合并同类项 7x=140 系数化为1 x=20由上可知,前年这个学校购买了20台计算机上面解方程中“合并”起了化简作用,把含有未知数的项合并为一项,从而达到把方程转化为ax=b的形式,其中a、b是常数2.自己试着完成例1 解方程 (1) (2);例2:有一列数,按一定规律排列成1,3,9,27,81,243其中某三
12、个相邻数的和是1701,这三个数各是多少?引导学生观察这列数有什么规律?(从符号和绝对值两方面)学生讨论后发现:后面一个数是前一个数的3倍。师生共同分析,完成解答过程:解:设这三个相邻数中的第一个数为x,则第2个数为3x,第3个数为3(3x)=9x根据这三个数的和是1710,得x3x9x=1710合并同类项,得7x=1710系数化为1,得x=243所以3x=7299x=2187答:这三个数是243、729、2187引导学生讨论以上列方程解决实际问题的关键。学生讨论、分析:探索规律,找出相等关系 如有学生提出不同的设未知数的方法,同样给予鼓励。【当堂训练】1课本第88页练习;2某班学生共60人,
13、外出参加种树活动,根据任务的不同,要分成三个小组且使甲、乙、丙三个小组人数之比是2:3:5,求各小组人数 思路:这里甲、乙、丙三个小组人数之比是2:3:5,就是说把总数60人分成_份,甲组人数占_份,乙组人数占_份,丙组人数占_份,如果知道每一份是多少,那么甲、乙、丙各组人数都可以求得,所以本题应设每一份为x人 关键:本题中相等关系是什么? _ 解:设每一份为x人,则甲组人数为_人,乙组人数为_人,丙组为_人,列方程: _ 合并,得_ 系数化为1,得x=_ 所以2x=_,3x=_,5x=_ 答:甲组_人,乙组_人,丙组_人请同学们检验一下,答案是否合理,即这三组人数的比是否是2:3:5,且这三
14、组人数之和是否等于60; 3.三个连续偶数的和是30,求这三个偶数。【课堂小结】: 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤中,找等量关系是关键也是难点,本节课的两个问题的相等关系都是:“各部分量的和总量”;这是一个基本的相等关系; 合并就是把类型相同的项系数相加合并为一项,也就是反用乘法分配律,合并时,注意x或-x的系数分别是1,-1,而不是0;【拓展训练】 1.足球的表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的,黑白皮块的数目比为3:5,一个足球的表面一共有32个皮块,黑色皮块和白色皮块各有多少? 解:设每份为_个,则黑色皮块有_个,白色皮块有_个 列方程 _ 合并,得_ 系数化为1,得 x
15、=_ 黑色皮块为_=_(个),白色皮块有_=_(个)2.某学生读一本书,第一天读了全书的多2页,第二天读了全书的少1页,还剩23页没读,问全书共有多少页?(设未知数,列方程,不求解) 解:设全书共有_页,那么第一天读了( )页,第二天读了( )页 本问题的相等关系是:_+_+_=全书页数; 列方程:_。3.在某月内,李老师要参加三天的学习培训,现在知道这三天的日期的数字之和是39;(1)培训时间是连续的三天,你知道这几天分别是当月的哪几号吗?(2)若培训时间是连续三周的周六,那这几天又分是当月的哪几号?学生练习,教师点评。【总结反思】:3.2 解一元一次方程(一)移项 【学习目标】:运用方程解
16、决实际问题,会用移项法则解方程; 【重点难点】重点:运用方程解决实际问题,会用移项法则解方程; 难点:理解“移项法则”的依据,以及寻找问题中的等量关系; 【导学指导】 一、知识链接 解方程:(1)3x-2x=7; (2)x+x=3; 二、自主探究 1. 问题2:把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本,这个班有多少学生? 分析:设这个班有x名学生,根据第一种分法,分析已知量和未知量间的关系; (1)每人分3本,那么共分出_本;共分出3x本和剩余的20本,可知道这批书共有_本; 根据第二种分法,分析已知量与未知量之间的关系 (2)每人分4本,那么需要
17、分出_本;需要分出4x本和还缺少25本那么这批书共有_本; 这批书的总数是一个定值(不变量),表示它的两个式子应相等; 根据这一相等关系,列方程: _;本题还可以画示意图,帮助我们分析: 注意变化中的不变量,寻找隐含的相等关系,从本题列方程的过程,可以发现:“表示同一个量的两个不同式子相等” 分析:方程3x+20=4x-25的两边都含有x的项(3x与4x),也都含有不含字母的常数项(20与-25)怎样才能使它转化为x=a(常数)的形式呢? 要使方程右边不含x的项,根据等式性质1,两边都减去4x,同样,把方程两边都减去20,方程左边就不含常数项20,即 3x+20 -4x-20 =4x-25 -
18、4x-20 即 3x-4x=-25-20 将它与原来方程比较,相当于把原方程左边的+20变为-20 后移到方程右边,把原方程右边的4x变为-4x后移到左边 像上面那样,把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项 方程中的任何一项都可以在改变符号后,从方程的一边移到另一边,即可以把方程等号右边的项改变符号后移到等号的左边,也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边,注意要先变号后移项,别忘了变号下面的框图表示了解这个方程的具体过程3x+20=4x-25移项3x-4x=-25-20合并同类项-x=-45系数化为1x=45 由此可知这个班共有45个学生 2. 例3 解方程 (1) 3x+7=32-
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