普林斯顿16p151-160.docx

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1、未能用之于曲线.最先做到这一点的数学家是费马VL12和笛卡儿V.他们互相独立地发展的解析几何,对于今天学代数的中学生如此熟悉.费马和英国人哈里奥特(ThomaSHarriot,1560-1621英国数学家和天文学家)的工作受到维特的影响,而笛卡儿不仅引入了我们今天的记号规约,即用y,z表示变量，用Q,b,c表示常数,而且开始把代数算术化.他引进了一个单位,这就使他可以把所有几何量都解释为直线段，不管是,4,以至于的任意次塞，都是直线段，这样他就消除了对于齐次性的担心.费马在这个方向的主要工作是他用拉丁文写于1636年的一篇手稿,题为“论平面和立体的轨迹”,这篇手稿只在17世纪初在他的数学朋友们

2、中间流传;笛卡儿的主要著作几何学(LaG6om6trie)则是他的哲学著作方法论(DiscoursdelaMethode)的三个附录之一，出版于1637年.这两部著作都被认为是确定了几何曲线与二未知数的方程的同一性，或者换句话说就是建立了解析几何，从而把代数方法引用来解决以往认为是几何的问题.在费马的情况，这些曲线是直线和圆锥截线-总之是X和y的二次式；笛卡儿也这样做了，但是他还更为一般地考虑了方程式,抓住了多项式方程的根的问题,这与多项式的变换和化简有关.特别是,笛卡儿对于我们现在所说的代数的基本定理V.13已经有了一个初步的版本,虽然他没有给出证明,甚至没有给出一般的陈述.这个定理说,n次

3、多项式方程%n+n-1xn-1+1x+0在复数域中恰好有n个根.例如，他一方面坚持,一个给定的次多项式可以分解为n个线性因子，同时他也认识到，三次方程式/-6/+13X-Io=。有3个根：一个实根2,还有两个复根.当他进一步探讨这个问题时，还发展了包含适当的变换的代数技巧来分析5次和6次多项式方程.笛卡儿既然已经摆脱了对于齐次性的担心,就可以自由地用他的代数技巧来探讨倾向于几何的卡尔达诺很明显难以涉足的领域.牛顿V.14在7O7年他的万有算术(ArithmeiCaUniVerSalis)一书里，在把代数从几何的担心中解放出来的方向上又向前走了一步,论证代数的完全算术化，以实数和通常的算术运算作

4、为代数的模型.笛卡儿的几何学至少突出了两个问题供代数作进一步探讨，即代数的基本定理和四次以上的多项式方程式的解法.虽然18世纪的数学家如达朗贝尔VI.20和欧拉VI.19都企图证明代数的基本定理,但是给出严格证明的第一人是高斯VI.26,他在一生中共给出了四种不同的证明.第一个是一个代数几何证明，出现在他1799年的博士论文中，而第二个证明与此不同，发表在1816年，而用现代术语来说,本质地涉及构作多项式的分裂域.代数的基本定理确定了一个给定的多项式方程有多少个根,但是对于这些根确切地是什么,又如何精确地把它们找出来,这个定理没有提出任何见解.那个问题和它的种种数学变形,在18世纪晚期和19世

5、纪激发了许多数学家，而且最终成为在20世纪初形成现代代数学的几条数学线索之一,来自代数的基本定理的另一股数学潮流来自企图理解(一个或多个)个未知数的多项式组的一般性态,还有一个潮流则来自用代数方法研究数论问题的努力.1. 6.寻求代数方程的根求多项式方程的根的问题,提供了一个连接中学教学与做研究的数学家的一个直接联系.今天的中学生们都要按照规矩使用二次方程的公式来计算二次方程式的根.为了导出这个公式,我们需要把已给的方程变换成比较容易求解的形式.卡尔达诺和费拉里对于三次和四次方程也通过比较复杂的操作得到了根的公式.自然要问对于更高次的多项式方程能不能也这样做？更准确地说,有没有一个求根的公式,

6、其中只含有通常的算术运算-力口、减、乘、除以及开方？如果有这样的公式,就说这个方程可以用根式求解.虽然18世纪的许多数学家（包括欧拉、范德蒙德（AIeXandre-Th6oPhileVandermOnde,1735-1796,法国人，原来是音乐家和化学家，但是主要贡献在数学）、华林VI.21、贝祖（EtienneBezout,1730-1783,法国数学家）都对于能否用根式解更高次的多项式方程做过努力，但是直到大约1770-1830年间才有了显著的突破,特别是在拉格朗日V.22、阿贝尔VL33和高斯的工作中.拉格朗日在1771年发表的一组很长的论文对于方程的代数解法思考Reefe-Ctions

7、surlaresolutionalgebriquedesequations中，试图通过详细分析三次和四次方程的特例，来决定代数方程解法下面是否有深层的一般原理.拉格朗日以卡尔达诺的工作为基础,证明了一个形如X3+ax2+bx+c=0的三次方程总可以通过一个变换来消除其中的平方项，成为X3+px+q=0,而且其根可以写成X=u+vfu3,v3是某个二次方程之根.然后拉格朗日就可以证明,如果与,小衣3是这个三次方程的三个根,则中介的函数R可以写成11U=-（x1+ax2+a2x3）,V=-（%1+aix2+ax3）t其中的是一个三次单位原根.这就是说,可以写成/,%2,%3的有理表达式，或称为预解

8、式.反过来，如果从X1,X2,X3的一个线性表达式y=x1+Bx2+Cx3开始，然后让与,孙广3作任意的排列得到6个表达式,其每一个都是一个6次方程的根,分析这个6次方程（利用多项式的对称性质），就会再次得到上面的表达式.拉格朗日指出，像这样的向两端分析-涉及中介的表达式，这些表达式又都是一个可解的方程之根，同时也涉及某个有理表达式在根的排列下的动态-这样做，在三次和四次两种情况下都会给出完全的解.即同样一种途径,给出了两类方程的解答.但是这个方法可否推广到五次和更高次多项式呢?拉格朗日未能把它推进到5次情况,但是以他的思想为基础,首先是他的学生鲁菲尼（PaoloRuffini,1765-18

9、22,意大利数学家）在18与19世纪之交怀疑5次方程其实不可能用根式来解,然后是年轻的挪威数学家阿贝尔,在19世纪20年代,确定地证明了5次方程确实不能用根式来解（见五次方程的不可解性V21）.这个反面的结果仍然留下一个未解决的问题：哪些代数方程可以用根式来解,为什么.拉格朗日的分析似乎是强调了一点:这个问题在3次和4次方程的情况下的解决,关键性地分别依赖于3次和4次单位根.由单位根的定义,也就是依赖于特别简单的多项式方程X3-1=0,x4-1=0.所以很自然地会去检验一般的所谓分圆方程式xn-1=0,并且考虑对于哪些小几次单位根是可以实际构作出来的.这个问题用等价的代数语言来表述就是：对于哪

10、些八,几次单位根可以对整数通过通常的算术运算和开平方（但不开更高次方）表示出来？这是高斯在他的涵盖广泛的奠基性的杰作，即1802年的算术研究（DiSqUiSitiOneSArithmeticae）里所讨论的许多问题之一.他最著名的结果之一就是正17边形可以用圆规和直尺作出来（也就是17次单位根可以构作出来）.在他的分析过程中，不但使用了类似于拉格朗日所发展出来的技巧,还发展了一些关键性的概念,例如模算术UIL58和P为素数时的“模世界”ZP、更一般的Zn,nZ+,以及后来称为循环群的本原元素（即生成元）的概念.大约183。年左右，伽罗瓦VI4i从拉格朗日关于预解式的分析和柯西VI.29关于排列

11、和代换的工作得到了多项式方程可用根式求解这个一般问题的答案，然而我们并不清楚伽罗瓦在多大程度上也熟悉高斯的工作.虽然伽罗瓦的工作借用了早前的思想,但是在一个重要的方面,它基本上是全新的.前人的努力是朝向计算次数一定的多项式方程的根的显式的算法，伽罗瓦则提出了一个理论程序，使得他能够评定出一个方程是否可解，而这种程序是从给定的方程导出的,但是更为一般.更详细一点来说,伽罗瓦用了两个新的概念重新改造了这个问题.这两个概念就是:域(伽罗瓦称之为“有理性的区域”)和群(准确一点说是置换群).如果一个n次多项式方程/(%)=0的n个根都在它的有理性区域-其系数就来自这个域,我们称之为基域-就说这个方程在

12、此基域上是可约的；反之则说它在此域上是不可约的.然而，它可能在一个较大的域上是可约的.例如，考虑多项式%2+1作为R上的多项式.我们从中学代数里就知道，它不能分解为两个实线性因子的乘积(即不存在实数r1和r2使得x2+l=(x-r1)(%-r2),但是它在复数域上则可以分解,具体说,有/+1=(%+)(x-i)所以如果考虑所有形如Q+的数,其中a,bR,就会得到一个较大的域C,使得多项式/+1在其上是可约的.如果F是一个域,而F在其中不能开n次方,则利用一个类似的过程,可以把一个元y添加到F中去，这个y要规定适合yn=X,称为一个根式.添加以后就得到一个新域,比原来的F更大.伽罗瓦证明了如果可

13、以通过添加根式，而逐次地把F扩大为一个域K,使得f(x)可以在K中分解为n个线性因子,则/(x)=0可以用根式解出.他发展了一个程序,其中有两个关键点：一是把一个元素-一特别是一个所谓的本原元素一附加到基域上去的概念；二是分析这个新的扩大了的域的内部结构，就是分析所有这样的代换,使得f(0=0的n个根的有理表达式不变，这些代换(即K的自同构)形成一个(有限)群,而伽罗瓦就是对这个群进行分析，伽罗瓦的分析的这个群论的侧面特别具有潜力.他引进了一些概念，虽然用的不是当今的名词.例如群的正规子群、因子群、可解群等等.这样，伽罗瓦就从群及其内部结构这个抽象的视野,解决了多项式方程何时可以用根式求解这个

14、具体的问题.伽罗瓦的思想,虽然是在19世纪3。年代早期就概括地提出了，但是迟迟没有引起更广大的数学界的注意，直到1846年才在刘维尔VI.39的纯粹与应用数学杂志(JoumaldeMathematiquesPuresetAppliqu6es)上发表,但没有得到充分的理解,直到20年后首先在塞雷特(JosephAlfredSerret)(1819-1895,法国数学家)的高等代数教程(CoursdAlgebreSuperieure,1849),更进一步在约当VI.52的论代换和代数方程(TraitedesSubtitutionesetdesEquationsAlgebriques,1870)这两

15、部教材中得到了进一步的阐述.特别是后一本书,不仅突出了伽罗瓦在求解代数方程上的工作,还把置换群的理论沿着它在拉格朗日、高斯、柯西、伽罗瓦等手上的发展道路，展开了其一般的结构理论.到了19世纪末，群论的发展线索，原来是来自用根式求解代数方程的努力，现在与来自其他三个方面的努力组合在一起了.这三个方面就是：第一，用乘法表来定义的群的抽象概念，这是由凯莱VI.46提出的;第二,例如西罗(PeterLudwigMejdellSylow,18321918,挪威数学家)、赫尔德(OttoLudwigHolder,1859-1937,德国数学家)所做的关于结构的工作；第三，李VI.53和克莱因VI57几何方

16、面的工作.到了1893年，韦伯(HeinrichMartinWeber,18421914,德国数学家)把这些早期的工作汇编起来给出了第一个关于群和域这两个概念真正的抽象定义,这样就把它们重新铸造成为现代数学家们熟悉得多的形式,这以后群和域已经在极为广泛的数学和物理领域中有了中心的重要性.2. 7探讨个未知数多项式的性态求解代数方程的根的问题,是求解含有1个未知数的多项式方程.然而,早在17世纪后期,像莱布尼兹V.15这样的数学家就开始关心求解含两个以上未知数的联立的线性方程组的技巧了.但是他的工作不为当时的人所知，莱布尼兹考虑了含有3个未知数的3个线性方程,并且以系数的一个特殊表达式的值来决定

17、其可解性.这个表达式就等价于柯西后来称的行列式IILi5,而且最终与系数的一个n正方形的阵列，即矩阵1.34.2联系起来.这些工作在18世纪中期也由克拉默(GabrielCramer,1704-1752,瑞士数学家)在求解含n个未知数的几个线性方程作者在这里给出了当年在推广群论上起了最大作用的两部教材，后一部影响更大一些.一中译本注这个一般背景下独立地完成.行列式理论，很快地就从这些起源独立于求解线性方程组的背景，自身变成了代数研究的主题，吸引了诸如范德蒙德、拉普拉斯VI23和柯西这样的人的注意.这样,行列式就成了新代数结构的一个例子,它的性质也被系统地研究了.虽然行列式是被从矩阵角度来研究的

18、,但矩阵本身及其名称却是由西尔维斯特VI.42提出的,其理论本身最初并不是始自求解线性联立方程,而是来自对含有两个、三个以至一般的几个变元的齐次多项式作变元的线性变换而来的.例如高斯在算术研究里面就考虑了具有整数系数的二元、三元的二次型一即由/+2a2xy+a3y2和a1x2+a2y2+a3z2+2a4xy+2a3xz+2a6yz这样的表达式一怎样受到变元的线性变换的影响.在三元形式情况下,高斯作了3个2变量的线性变换N=ax+y,+z,ty=a,x,+,y,+,z,j以及Z=/+,y,+,fztf并且把这个变换的系数排成一个正方形的阵列,Y相，夕，Yfq，/?，/而且在表明两个变换的复合是什

19、么的过程中，显式地给出了矩阵乘法法则的例子.到19世纪中叶，凯莱开始研究矩阵本身，研究矩阵的理论作为一个数学系统本身就具有的性质.这样的思路最终被用代数理论(见下文本文8末尾)来重新加以解秣，发展成为线性代数和向量空间1.32.3理论的独立的篇章.另一个从分析齐次多项式作线性变换而出现的理论是不变式理论，而这也是由高斯的算术研究开端的.和他研究三元二次型的情况一样，他也对二元的二次型作线性变换X=a,+y,y=,+y,f结果得到一个新的二元形式j(x,)2+2a!2,y,+(yz)2,而QI=a1a2+2a2cc+a32,a!2=a1a+a2(a+BY)+3M,fl=a12+2a2+a32.高

20、斯注意到，如果把第二个式子平方，再减去第一、第三两个式子的乘积就会得到关系式a一匕用=(境-a1a3a-)2.如果用西尔维斯特在19世纪5。年代早期发展起来的语言来说，高斯已经认识到原来的二元二次型的系数的表达式谖-。逆3是一个不变式.意即在上述线性变换下，它的值除了增加了变换行列式的帚以外，并未变化.当西尔维斯特造出这个名词的时候，不变这个现象也出现在英国数学家布尔VI.43的工作中，而引起了凯莱的注意.但是一直到凯莱和西尔维斯特在19世纪40年代晚期在伦敦相遇以后,他们才开始追随不变式理论本身，其目的是找出一个含有n个未知数的?n次齐次多项式的所有不变式,以及多个这种多项式的同时的不变式.

21、虽然凯莱（特别是西尔维斯特）是从纯代数观点来追随这条研究路线的，不变式理论在数论和几何学方面也有意义，前者有艾森斯坦（FerdinandGottholdMaXEisenstein,1823-1852,德国数学家）和厄尔米特VI.47;后者则有奥托哈塞（Lud-wigOttoHesse,1811-1874,德国数学家）、哥尔丹（PaUIAlbertGordan,1837-1912,德国数学家）和克莱布什（RudolphFriedrichIfredClebsch,1833-1872,德国数学家）等人.特别有趣的是去了解与一个特定的形式或一组特定的形式相关的到底有多少个真正不同的”不变式.1868年

22、,哥尔丹取得了重要突破，证明了任意二元形式的所有不变式都可以用其中有限多个表示出来.但是,当他开始考虑更多元形式时，终因计算太繁而失败.然而,到了19世纪80年代末90年代初,希尔伯特VL63引入了新的抽象的与代数理论相关的新概念（见下文本文$8末尾）,不仅重新证明了哥尔丹的结果，而且也证明了这个结果（时常称为“有限性定理”）对于任意多的n个未知数的任意高m次齐次多项式都是成立的.由于希尔伯特的这项工作,研究的重点就从他的英国和德国前人的重在具体计算转到指向结构的存在定理,这很快就与抽象的现代代数联系起来了.38.寻求对于“数”的性质的理解早至公元前6世纪,毕达哥拉斯学派就已经从形式角度去研究

23、过数的性质.例如，他们定义了完全数的概念，即等于自己的所有因子（除此数本身以外）之和的正整数，例如6=1+2+3,28=1+2+4+7+14.到了16世纪卡尔达诺和庞贝里都很乐意地去研究一种新的形如+G的表达式,其中Wb是实数,而且探讨了它们的计算性质.到17世纪，费马高调宣称他能黄证明当n为大于2的正整数时，方程xn+yn=Zn没有整数解,例外是z=x或y,而另一未知数为零.后一结果称为费马大定理V.10,产生过许多新思想,特别是在18和19世纪当人们试图证明费马所声称的结果确实为真时.他们的努力的核心思想是生成新的数系并从代数上去研究它们.这些数系之推广整数的概念和伽罗瓦对于域的推广非常相

24、似.这种生成和分析新数系的灵活性，当代数学进入20世纪时,将要成为现代代数学的特点第一个冒险沿着这条道路前进的人是欧拉.当他证明n=3时的费马大定理时（这个证明见于欧拉177。年写的代数学原理一书）,引进了形如Q+b3的数所或的数系,其中,b是整数.然后他就高高兴兴地把它们分解为素因子，和分解普通的整数一样，而不作进一步的论证.到了19世纪二三十年代，高斯对于现在称为高斯整数的数系进行了比较系统的研究.高斯整数就是形如Q+b的数，其中a,b是整数.他证明了高斯整数和普通的整数一样，在加、减、乘下面都是封闭的；他定义了单位元、素数和范数等概念，以便对于它们证明算术的基本定理V.14仍成立.这样他

25、就证实了还有完整的新的代数世界等待人们去创造和探原书作“anybinaryforminnVariables,似乎有笔误，因为binaryform按定义就只有两个变元，所以这里的“variables应为,arbitarydegreen之误哥尔丹研究不变式理论的经过是数学史上有名的事例，所以我们龙此作了更正.一中译本注索（关于这个主题,在条目代数数V.1中有详细的介绍）.欧拉是受到了他在费马大定理方面的工作的推动，而高斯则是试图把二次互反律V.28推广为双二次互反律.在二次的情况下，问题是：若Q和租都是整数,而租2,我们说是一个平方剩余modm,如果方程X2=a有一个解modm存在,也就是说,存在

26、一个整数X使得X2amodm.现在设ptq是互异的奇素数.如果知道P是否平方剩余modq,是否有一个简单的方法来说出q是否也是一个平方剩余modp?勒让德在1785年提出并且回答了这个问题：如果P和q都是同余于lmod4,则Pmodq,qmodp的情况是一样的；如果P和q都是同余于3mod4,则它们的情况相反.但是勒让德的证明是有毛病的.到1796年左右，高斯得到了第一个严格的证明(而且他最终一共得到了8个不同的证明).在19世纪20年代,高斯就双二次等价性提出了类似问题，即P三PmOdq与y4三qmodp相互关系的问题.正是由于企图回答这个新问题，使得高斯提出了高斯整数，而且发出了一个信号：

27、更高次剩余理论需要其他类型的“整数”.虽然艾森斯坦、狄利克雷VI.36、厄尔米特、库果尔VL40、克罗内克V.48等人都按照高斯的精神把这些思想推向前进,直到戴德金VL5O在1871年为狄利克雷的数论讲义(VOrleSongenuberZahlentheorie)所写的第10个附录才基本上通过提出新概念，不是由数论的观点，而是由集合论的观点，公理化地重新处理这个问题.例如提出了一些一般概念但还不是精确的公理化的定义-如域、环、理想IIL8i2和模III.812,而用这些新的抽象结构来分析他的数论背景.从哲学角度看来,他的战略和伽罗瓦的并无大异:把手头的“具体”问题,翻译为新的更加抽象的语言，使

28、得能在“更高”的层次上更干净地加以解决.到了20世纪初,艾米诺特VI.76和她的学生们，其中就有范德瓦尔登(BartelLeendertvanderWaerden,1903-1996,荷兰数学家),把戴德金的思想推向前进，有助于创造一种从结构的角度看待代数的途径，这对于20世纪的数学是一个特征.与欧洲大陆上19世纪数”的概念的数论性质的演化相平行,产生了一组非常不同的发展方向,首先发生在英伦诸岛.从18世纪晚期,英国的数学家们就不仅就数的性质在辩论一例如辩论“负数和虚数有意义吗”这样一些问题-还就代数的意义也在辩论-例如“在OX+by这样的表达式中，,b,%和y取哪些值是合法的，而+又意味着什

29、么”这样的问题.在19世纪3。年代，爱尔兰数学家哈密顿VI37提出了对于复数的“统一的”解释，而原来的情况在他看来是回避了一个逻辑问题：实数加虚数,犹如桔子加苹果,是什么意思？给定了实数Q和b以后，哈密顿把复数+bT想作是一个有序对(哈密顿称之为一个“偶”)(,b).然后，他就来定义这些偶的加、减、乘、除.当他认识到这也提供了一个表示复平面上的点的方法以后,他自然地就会问,能否构造一种代数的有序三元组来表示3维空间的点.在对这个问题作了10年时断时续的沉思以后,哈密顿最终不是用三元组,而是用四元组回答了这个问题,这就是所谓四元数I76.四元数就是这样的“数”：(,b,c,d)=a+bi+cj+

30、dk,其中a,b,c和d是实数，而i,j,k满足以下的关系式：ij=-ji=k,jk=一kj=i,ki=-ik=j；i2=j2=k2=-1.和在2维情况一样，加法可以按分量来定义，而乘法则是这样定义的：虽然每一个非零元都有乘法逆,但是却是不可交换的.这样,新的数系不服从算术的“通常的”法则.虽然，英国的哈密顿的同时代人中，有一些人质问：数学家有多大的自由来创造新的数学世界，另一些人如凯莱立刻把这个思想向前发展,提出一种八元数,其乘法不仅是不可交换的，后来还发现甚至不适合结合律.对于这种系统自然发生了一些问题,但是哈密顿本人就提出了以下的问题，即如果系数域，或称基域，不是实数而是复数，又会发生什

31、么情况？这时，容易看到两个复四元数(-I,0,1,0)=-+j,(T,0,1,0)=+j的乘积是l+j2=1+（-1）=0.换句话说，复四元数中有零因子，即相乘以后得零的非零元素-这是另一个把它们与整数的性质基本区别开来的性质.在下面这些数学家们的努力下,这一条思路导致了一种能薰自立的数学结构的出现，这种结构叫做“代数”（7）,这些数学家中有皮尔斯（BenjaminPeirce,1809-1880,美国数学家）、弗罗贝尼乌斯VI.58、GeorgeScheffers（1866-1945）TheOdOrMOlien（1866-1945,德国数学家）、嘉当VL69、JosephH.M.Wedder

32、burn（1882-1948,美国数学家）等.这个发展自然地和矩阵理论SX九矩阵在其基域上构成一个M维的代数）通过高斯、凯莱和西尔维斯特的工作结合起来.它也和并非无关的向量空间融合起来（n维代数就是除加法和内积以外还有一个向量乘法的n维向量空间）,这是来自类似于格拉斯曼（HermannGuntherGrassmann,1809-1877,德国数学家）的某些思想的.4. 9.现代代数到了190。年,许多代数结构已经被确认了，其性质也被探讨了.原来各在自己的背景下的孤立的结构现在也在其他背景下被发现了，有时还全是意料之外的事.这样，这些结构比起原来发现它们时人们所了解的在数学上还要更加一般.在20

33、世纪的前几十年里面，代数学家（这个名词当时还不算是非历史的）越来越认识到这些共同点-即它们都具有群、环、域这些结构-而在更抽象的水平上考虑问题.例如有哪些有限单群？它们能否分类（见有限单群的分类V.7）?此外受到康托VI.54、希尔伯特和其他人的集合论和公理化的工作的启示,他们也欣赏起分析的公共标准,并且把公理化给分析带来的结果与自己领域的情况加以比较.例（1“代数n-词现在有了两种意义：一是作为一个数学分支，即本文的主题；二是作为一种代数结构，其地位如同前面讲过的群,环,域一样,是由一组公理来定义的.这里没有详细讲这些公理是什么-当然也没有详细讲群,环,域的公理定义.在本文前面两次提到“代数

34、理论”（见下文）,那里的“代数都是第二种意义下的.一中译本注如斯坦尼兹（ErnstSteinitz,1871-1928,德国数学家）在1910年给出了域的抽丧理论的基础工作，而四年以后，弗朗克尔（AdolfAbrahamHaleviFraenkel,1891-1965,德国数学家）也对环的理论做了这件事.当范德瓦尔登在19世纪20年代末认识到这些可以解秣为：在基本原则上与希尔伯特在不变式理论中的工作、与戴德金和艾米.诺特在代数数论中的工作都互相吻合.这样一种解秣在1930年就成了范德瓦尔登的经典的教科书近世代数（MOderneHlgebra成了以结构为指向的“现代的代数学”的典范,而包含了中学

35、教的多项式代数，而且仍然刻画了今天的代数思想.进一步卓误的文献BashmakovaL,andSmimovaG.2000.TheBeginningsandEvolutionofAlgebra,translatedbyShenitzerA.Washington,DC:TheMathemativalAssociationofAmerica.CorryL.1996.ModernAlgebraandtheRiseOfMathematicalStructures.ScienceNetwork,volume17.Basel:Birkhauser.EdwardsHM.1984.GaloisTheory.New

36、York:Springer.HeathTL.1956.TheThirteenBooksofEuclid1SElements,2ndedn.（3vols.）.NewYork:Dover.HoyrupJ.2002.Lengths,Widths,Surfaces:APortraitofOldBabylonianAlgebraanditsKin.NewYork:Springer.KleinJ.1968.GreekMathematicalThoughtandtheOriginofAlgebra.TranslatedbyBraunE.Cambridge,MA:TheMITPress.NetzR.2004.

37、TheTransformationofMathematicsintheEarlyMediterraneanWorld:FromProblemstoEquations.Cambridge:CambridgeUniversityPress.ParshaIlKH.1988.Theartofalgebrafromal-KhwarizmitoViete.Astudyinthenaturalselectionofideas.HistoryofScience,26：129-64.-.1989.Towardsahistoryofnineteenth-centuryinvarianttheory/TheHist

38、oryofModernMathematics.EditedbyRoweDEandMCClearyJ,volumeI,157-206.Amsterdam:AcademicPress.SesianoJ.1999.UneIntroductiona!Histoiredealgebre:ResolutiondesequationsdesMesopotamiensalaRenaisance.Lausane:PressesPolytechniqueetUniversitairesRomandes.VanderWaerdenB.1985.AHietoryofAlgebrafromal-KhuarizmitoE

39、mmyNoether.NewYork:Springer.WussingH.1984.TheGenisisoftheAbstractGroupConcept:AContributiontothe此书在196。年第二版就改名为（代数学，中译本和英译本都是如此.对此,范德瓦尔登解秤说，在193。年还可以称为是现代的代数学（我国文献有时用近世代数学的说法），在今天，这就是代数学了.一中译本注HistoryoftheOriginofAbstractGroupTheory.TanslatedbyShenitzerA.CambridgeMA:TheMITPress.5.11.4算法Jean-LucChabe

40、rt6.1.什么是算法对于“算法”一词给以精确的定义不是一件容易事，有一些意义相近的同义语，就是一些其他的名词，它们（有时）会给出差不多同样的东西,例如“法则”“技巧”“程序”还有“方法”等等都是这种同义语.也可以给出一些例子，如长乘法,就是小学生学的把两个正整数相乘的坚式乘法.然而,虽然非形式的解释和选得很恰当的例子对于什么是算法给出了很好的感觉，但算法一词中所深藏的思想却经历了一个很长的演化历程,直得到20世纪才得到了令人满意的形式定义,而关于算法的观念,直到如今还在演进.本文中，我们试图对这个发展作一些解释,来弄清在当代这个名词的意义.1.1算盘家和算法家回到关于乘法的例子，有一点是显然

41、的：怎样把两个数相乘？表示这些数的方法极大地影响了乘法的具体作法.为了弄明白这点,请试着把两个罗马数字CXLVII和XXIX相乘,但不要先把它们译成等价的十进数字147和29.这件事既难弄明白，明白了以后进行计算也极其花时间,而这就可以解释何以留存至今的罗马帝国关于乘法的材料极为零散.记数制度可以是“累加的”,如罗马记数法：C表示100,X表示10,L表示5。，但是X放在L左方表示要从L中减去X,所以就是40,V表示5,1表示1,两个I放在V的右方,表示要把它们加到V上,所以是7.把所有以上的解释“累加”起来,就是罗马数学的1471.记数制度也可以是进位的，如我们今天所用的那样.如果是进位的，可以使用一个或多个基底T-例如苏末人就既使用10,又使用60为基底.在很长的时期中,进行计算可以使用一种计算工具“abacus”.这个字通常译为算盘,因为中国使用的算盘也属于这一类,其实它的历史源流很长,包括了许多不同民族使用的计算工具,最初它就是在沙地上画出的线条，然后把小石子放在这些线条上进行计算.实际上，abacus字源是拉丁文,意为沙盘.（同样,计算这个词,来自拉丁文的calculus,原意就是小石子）.后来就有了计算版,它是一些民族使用的计算工具,是在木板上刻了横的或竖的沟槽,把标记物（例如小石子）放在槽里就是从数利徽系II.1里讲到的美索不达米亚的古老民族.-中译本注