分段函数的几种常见题型和解法.docx

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1、Word格式函数的概念和性质考点分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法那么的函数，它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，时常在高测试题中“闪亮”登场，本文就几种具体的题型做了一些思考，解析如下：1 .求分段函数的定义域和值域,2x+2xe-1,0;例1.求函数：XXe(0,2);的定义域、值域.32xe2,+8);2 .求分段函数的函数值Ix-11-2,(I%K1)例2.函数/=1(IiI)求务32)L、1+3.求分段

2、函数的最值,4x+3(%0)例3.求函数/YM=r+3(01)4.求分段函数的解析式例4.在同一平面直角坐标系中，函数y=和y=g(*)的图象关于直线J=X对称,现将y=g(x)的图象沿X轴向左平移2个单位,再沿)，轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线(如下图)，那么函数/(x)的表达式为O(-1x0)mV丫V71B12x-2(-1VxVO)WX)=卜2(OVXV2)(IVXV2)12%-6)./(%)=(ixO时x)=3X-1,的反函数为y=g&),求g&)的表达式.7.判断分段函数的奇偶性X2(X-1)(XO)例7.判断函数f(X)=(的奇偶性.1-X2(X+1)(X0)例

3、8.判断函数/(X)=的单调性.一X2(X0)例9.写出函数/(x)=ll+2x1+12Xl的单调减区间.9,解分段函数的方程12.xxe(8,1_1例10.设函数/(X尸xe(lg),那么满足方程/S)=4的X的值为10.解分段函数的不等式2-l(x1,那么X得取值范围是()Xi(X0)00A-l,l)B.(-l,+8)C(一8,-2)u(0,+8)D(8,-l)U(l,+8)I(X+l)2(X1的自变量X的取值范围为4-4X1(X1)A.(8,-2u0,10B.(-8,-2u0,lC.(-8,-2u1,10D,-2,0u1,10反应练习数那么山l-O.IX2+2X,x0,一如3新课标全国5

4、分)函值范围是()B.(8,UD. 2, 02x3, x0, n一tanx, 0x2,.(8,0C.2,12 .(2021福建,4分)函数依)=13 .(2021北京，5分)函数凶=,2的值域为那么f(f(10)=()2()、2x,xll2+1,xl,.Ig101B.C.1D.5 .(2021北京,5分)根据统计,一名工人组装第X件某产品所用的时间(单位：分钟)为C-f=xAA件产品用时15分钟,那么C和A的值分别是OA.75,25B.75,16C.60,25D.60,166 .(2021江苏,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间1,1上,f(x)=ax+l,l0,bx+2其中

5、a,bCR.假设f(2)=f),那么a+3b的值为0xl,I2x+a,x1,7- T江苏,5分)实数-0,函数2,-2/x?i.假设吁时之那么a的值为函数的概念和性质考点一分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法那么的函数，它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，时常在高测试题中“闪亮”登场，本文就几种具体的题型做了一些思考，解析如下：I-求分段函数的定义域和值域t2x+2xe-l,0;例L求函数/=-2(0,2);的定义

6、域、值域.32xe2,+3)；【解析】作图,利用“数形结合易知/(x)的定义域为11+8),值域为13.2-求分段函数的函数值,Ix-ll-2,(lxl1)例2.函数/)=1)1+x2【解析】由于/(+)=L-lI-2=-3,所以/(+)=/(-“=4-.222221+(-3)213(x0)(OVXVI)的最大值.3 .求分段函数的最值例3.求函数尸1时,-X+5-l+5=4,综上有亦IaXa)=4.4 .求分段函数的解析式例4.在同一平面直角坐标系中，函数y=f(x)y=g(x)的图象关于直线/=X对称,现将y=g(x)的图象沿X轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,所得的图象是由两

7、条线段组成的折线(如下图)，那么函数/4)的表达式为()2-+2(-1x0)+2mr21(-1VXVO)mVXV2)(1X2)(2XV4)(IVXV2)(2X4)【解析】当*e卜2,0时,产产+1,将其图象沿X轴向右平移2个单位,再沿旷轴向下平移1个单位,得解析式为卜=+。-2)+1-1=+1-/,所以/。)=2+2。-1,0),当Xe0,1时,y=Ix+1,将其图象沿X轴向右平移2个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得解析式y=2(X2)+11=2R4,所以/(X)=/+2(xe0,2),综上可12x+2(-lxO时Ja)=3x-l,设/仁)的反函数为y=g()求g的表达式.【解析】设y,那么

8、,所以/-xA3-X-1,又由于/是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),且/(0)=0,所以f(X)=I-3/因此log(x+1) ( 0)Tog( I X)(XU) Jf(x)$T(x10),从而可得g(x=1-3-x(X0)例7.判断函数/(尤)=的奇偶性.I-X2(x+l)(xO时,一XVO,/(一X)二一(一x)2(-X+1)=X2(X-1)二f(x当X=O时，/(-0)=/(0)=0,当XV0,-XO,f(-x)=(-x)2(-)=-2(x+1)=刈因此对于任意XeR都有/(x)=/(外,所以/(%)为偶函数.8 .判断分段函数的单调性X3+x(x0)的单调性.-X2(X

9、吐l(x)=3x2+l1恒成立,所以/是单调递增函数,当“V。时,/1(X)=-2xO恒成立,F(X)也是单调递增函数,所以/(x)在R上是单调递增函数；或画图易知/(X)在R上是单调递增函数.例9.写出函数/(x)=ll+2x1+12-XI的单调减区间.-3x+1(xv-1)2【解析】f(x)=3+X(-+x2)减区间为-29 .解分段函数的方程2-xe(-8,l1例10.(01年上海)设函数fCr)=?,-J,那么满足方程/(X)=的X的IlogXe(1,+8)4181值为【解析】假设2=+,那么2T=22,得=2e(-8,1,所以=2(舍去)，假设IogX=1,481那么工二灯4,解得x

10、=3e(l,+8),所以X=3即为所求.10 .解分段函数的不等式例H设函数,2-I(XVo)/(X)=II,假设f(x)l,X2(X0)取值范围是()A(-14).(-l,+8)C(-8,-2)u(0,+s)D.(-8,-1)u(1,+8)首先画出y=AX)和)，=1的大致图像，【解析I】是(-8,-1)u(1,+8).【解析2】由于/(xo)1,当旭1时,所对应的Xo的取值范围1,解得R00时,X021,解得xo1,综上次的取值范围是(-8,-1)u(1,+8).应选D.,(x+1)2(XVl)1的自变量X的取值范围为例12.设函数/尸？一，那么使得I4-Vx-I(x1)0A.(-8,-2

11、u0,10B,(-8,-2u0,lC.(-8,-2u1,10d,-2,0u1,10【解析】当x10(x+l)21OXV-2或x0,所以xv-2或OVXV1,当x1时Ja)1o4-Jx-I1oVx-13ox10,所以1VxV10,综上所述,v2或0x10,应选A项.【点评:】以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径,假设能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解使问题得到大大简化,效果明显.反应练习IXz+2x,xax,即Xz)(a+2)x,由于x00,所以a+2)x恒成立,所以a)2

12、;当x0时，f(x)=ln(x+l)0,所以If(X)I)ax化简为ln(x+l)ax恒成立，由函数图象可知aW0,综上，当一2WaW0时,不等式f(x)Dax恒成立,选择D.答案:D2x3,x0,一2.(2021福建,4分)函数取)=n那么ff=.一tanx,0x-,IWV2一,曲解析：此题主要考查分段函数的求值；意在考查考生的应用水平和运算求解水平一冗=tan=f(1)=2(-1)=2答案：一2logx)l,3.(2021北京,5分)函数可与二12的值域为、2x,xl解析：此题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度.分段函数是

13、一个函数,其定义域是各段函数定义域的并集,值域是各段函数值域的并集.当x?lW,IogixWO,Sxl时,02*l,A.Ig101B.2C.1D.0解析：f(10)=IgIO=I,故f(f(10)=f(l)=12+1=2.答案：B5.(2021北京,5分)根据统计,一名工人组装第X件某产品所用的时间(单位：分钟)为C-Yf(X)=(A,C为常数).工人组装第4件产品用时30分钟,组装第(=,xAA件产品用时15分钟,那么C和A的值分别是(A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16CC解析：由于组装第A件产品用时15分钟,所以#=15,所以必有4A,且忑=2=30(2),联立解得C

14、=60,A=16.答案：D6.(2021江苏,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间1,1上,f(x)=ax+l,lx013bxtb + 21121夕二出一力从而“-一=2a+l, 3a+2b=-2. + ,其中a,bCR假设f(2)=f(2),那么a+3b的值Iho*,“31解析：由于f(x)是定义在R上且周期为2的函数,所以f(2)=f(2),且f(-l)=f(l),故由f(1)=ni),得-a+1=2，故b=-2a.由得a=2,b=4,从而a+3b=-10.答案：一10I2x+a,x1,7.(.江苏,5分)实数T函数2匚-2/假设0时之那么“的值为.解析：当1a0时,此时a+ll,由f(1a)=f(l+a),得2(1a)+a=3(l+a)2a,计算得a=-2(舍去)；当1al,即a0时,此时a+ll,由f(1a)=f(133+a),得2(l+a)+a=-(1-a)-2a,计算得a=4,符合题意,所以综上所述,a=-4.3答案：一4