解析几何知识点总结复习题.doc

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1、一、直线与方程基础：1、直线的倾斜角： 2、直线的斜率：；注意：倾斜角为90的直线的斜率不存在。3、直线方程的五种形式：点斜式：；斜截式：；一般式：；截距式：；两点式：注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。4、两直线平行与垂直的充要条件：，； .5、相关公式：两点距离公式：，；中点坐标公式：，则线段的中点；点到直线距离公式： ，则点到直线的距离；两平行直线间的距离公式：，则平行直线与之间的距离；到角公式：（补充）直线到直线的角为，则 .（两倾斜角差的正切）二、直线与圆，圆与圆基础：1、圆的标准方程：；确定圆的两个要素：圆心，半径；2、圆的一般方程：，（）；3、点与圆的位置关系：点在

2、圆内 ；点在圆上 ；点在圆外 ；4、直线与圆的位置关系：从几何角度看：令圆心到直线的距离为，相离；相切；相交；若直线与圆相交于两点，则弦长；从代数角度看：联立与圆，消去（或）得一元二次方程，相离；相切；相交；相交时的弦长 .5、圆与圆的位置关系： 相离，外切，相交，内切，内含 .圆；圆，根据这三个量之间的大小关系来确定：，；相离；外切；相交；内切；内含；6、两圆；圆若相交，则相交弦所在的直线方程的求法：交轨法： 式式，整理化简即可得到相交弦所在直线方程 .三、椭圆：1、（第一）定义：；2、椭圆标准方程及离心率：焦点在轴上的椭圆标准方程为：；长半轴；：短半轴；半焦距 .椭圆中，的关系：；椭圆的离

3、心率 .3、弦长公式：直线与椭圆交于两点，则相交时的弦长 .弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。4、中点弦结论（点差法）：椭圆上的两点，弦的中点，则 .5、焦点三角形面积：椭圆的两个焦点分别为、，点是椭圆上除左、右端点外的一点，令，则： .该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换推导出来。6、直线与椭圆位置关系：联立与椭圆，消去（或）得一元二次方程，相离；相切；相交；7、与点坐标相关的面积公式：，点，不在一条直线上，则：.该公式是由三角形面积公式、余弦定理结合三角恒等式推导出。四、双曲线：（类比椭圆来学习双曲线）1、定义：；2、双曲线标准方程

4、及离心率、渐近线方程：焦点在轴上的双曲线标准方程为：；实半轴；：虚半轴；半焦距 .双曲线中，的关系：；双曲线的离心率 ；焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为；焦点到渐近线的距离 .焦点在轴上的双曲线相关性质可以类比。3、弦长公式：直线与双曲线交于两点，则相交时的弦长 .4、中点弦结论（点差法）：双曲线上的两点，弦的中点，则 .5、焦点三角形面积：双曲线的两个焦点分别为、，点是双曲线上除左、右端点外的一点，令，则： .6、直线与双曲线位置关系：当直线与双曲线的其中一条渐近线重合时，显然直线与双曲线无交点；当直线与双曲线的其中一条渐近线平行时，有且仅有一个交点，此时联立直线方程与双曲线方程，会得到一个

5、一次方程（二次项系数为0）；当直线与双曲线的渐近线既不平行也不重合时，此时联立直线方程与双曲线方程，消去（或）得一元二次方程，相离；相切；相交；五、抛物线：1、定义： （到定点的距离等于到定直线的距离的这样的点的轨迹即为抛物线）.抛物线图12、标准方程：（开口朝右的抛物线，开口朝其它方向的抛物线方程及其它性质可以类比。）焦点，准线，离心率.3、常见性质： 普通的弦长公式：直线与抛物线相交于两点，则相交时的弦长 .抛物线图2过焦点的特殊弦长公式及与：（i）若弦过焦点，则弦长 （为倾斜角）；（ii）， .过抛物线的顶点作两条互相垂直的射线、分别与抛物线交于两点，弦与轴交于点，则，即：. 反之亦然，

6、即：若，则.4、抛物线中过焦点弦的其它性质（补充，作为了解,切记不能死记硬背。如死记硬背，如下知识点不如不用掌握。可以尝试证明。）设是过抛物线焦点的弦，如图（抛物线图2），则：；以为直径的圆与准线相切；以或为直径的圆与轴相切 .5、直线与抛物线的位置关系：若直线与抛物线的对称轴平行或重合，则有一个交点；若直线与抛物线的对称轴不平行，也不垂直，则根据判别式的符号来确定交点个数；若直线与抛物线的对称轴垂直，画图数形结合很容易判断交点个数。圆锥曲线大题常见题型（归纳总结）：题型一、求点的轨迹问题：常见方法：直接法：（设出所求点，根据题意列出等式，建立起与的关系。） 如椭圆的标准方程的求出，本身就是利

7、用这种方法。几何定义法：根据题意画出图形，通过已知条件及所学知识（如三角形中位线、圆与圆内切与外切，直线与圆相切的等价条件）得出所求点满足圆的几何定义或椭圆、双曲线、抛物线的定义，从而求出点的轨迹方程；伴随动点转化法： 该类题型的特征往往是： 其中一个动点如点的轨迹方程是已知的，另有一个定点或多个定点，所求动点与定点和动点有着一定关系。这时只需这么做：根据已知条件得出：，代入到点的轨迹方程中，从而建立起与的关系，求出点的轨迹方程 . 交轨法： 如求两圆相交时的相交弦所在的直线方程，采用的就是这种方法。相交弦的两个端点同时在两个圆上，将这两个圆的方程相减，进行整理即得到所求直线方程 .交轨法常用

8、于解决两动曲线交点的轨迹方程问题。通过消参来求点的轨迹方程。 参数方程法：求动点的轨迹方程，有时直接不能看出与的关系，但是设其中一个中间变量为，发现根据题目已知，能很好的建立起与和与的关系，即：，然后通过消去参数建立起与的关系从而求出点的轨迹方程 .题型二：直线与圆锥曲线的位置关系，相交弦长及最值问题通常的方法就是联立+韦达，结合弦长公式，将弦长表示为斜率的函数，结合均值不等式来求最值。在运用韦达定理时，如何表示，以及呢？因为交点也在直线上，故：，代入表示成与和相关.要注意：直线的斜率不存在的情况需单独讨论；验证判别式；题型三： 圆锥曲线中的恒过定点、定值问题直线或圆、椭圆恒过定点问题通常是先求出所求的曲线，一般都带有参数。如直线方程中带一个参数，就很容易找出定点。 但一般情况下，可能刚开始需设两个参数，然后求出曲线方程，灵活利用已知条件，最终的曲线方程是只含一个参数的情况。定值问题的求解思路，往往是：分析出一个点是哪两条曲线的交点，就联立哪两条曲线方程，用所设参数表示出动点或动直线，动中自有定数。无论怎样，“联立+韦达”的方法在解题时大量被应用到。