积化和差与和差化积公式习习题精选精讲.doc

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1、三角函数式的化简 要求是:项数最少三角函数种类最少函数次数最低尽可能不带根号 能求值得要求出值. 一: 定义法例1. 化简 解: 设点 二: 弦切互化法 例2. 解: 原式三: 变用公式 例3. 解: 原式说明: 公式在解题中运用非常灵活.常常变形为 来使用.四: 连锁反应法 例5. 解: 原式=说明: 此题分子分母同乘以,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地.五: 升降次法 例6. 解: 原式 例7. 解: 原式 六: 基本技巧 例8 (1) 解: 原式 (2) 解: 角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成

2、一个角。例1、已知sin?=4sin(?+?),求证：tan(?+?)=。证明：将角?分解成?=(?+?)?由sin(?+?)?=4sin(?+?)得：sin(?+?)cos?cos(?+?)sin?=4sin(?+?)即sin(?+?)(cos?4)=cos(?+?)sin?从而tan(?+?)=。例2、若3tan?=2tan(?+?)，则sin(2?+?)=5sin?。证明：由条件有3sin?cos(?+?)=2sin(?+?)cos?，6sin?cos(?+?)=4sin(?+?)cos?，从而sin?cos(?+?)+cos?sin(?+?)=5sin(?+?)cos?sin?cos(

3、?+?)，即sin(2?+?)=5sin?。例3、已知cos(+x)=，求的值。解：而cos(+x)=0，于是，从而有sin(+x)= ?。注意到cos2(+x)=2cos2(+x)?1=2()2?1= ?sin2x=于是原式=。以上解题过程，紧紧抓住角的变捣，是灵活解题之关键，因此要注意分析思考角的关系，找出差异实现转化。例4、已知：?+?(，?)，?(0，)，且sin(?)=，cos(?+?)= ?，求?。解：先求2?，而2?=(?+?)?(?)，由题可得：cos(?)=，sin(?+?)=，?cos2?=cos(?+?)?(?)=cos(?+?)cos(?)+sin(?+?)sin(?)

4、 = ?+?=又?+?，0?0(?+?)?(?)=2?2?=即?=。例5、求(1+tan10)(1+tan20)(1+tan30)的值。解：由10+440=20+430=220+230及 (1+tan10)(1+tan440)=1+(tan10+tan440)+tan10tan440 =1+tan(10+440)(1?tan10tan440)+tan10tan440=1+1?tan10440+ tan10440=2，同理有：(1+tan20)(1+tan430)=(1+tan220)(1+tan230)=2因而原式=223。一般地，若A=n ?(n为奇数)，均可考虑用tan?化简。例6、求?t

5、an250的值。解：上式即为分子=sin450+sin50?cos450+cos50?sin250=sin50+(sin850?sin250)=sin50+2cos550sin300=cos850+cos550=2cos700cos150，同理：分母=2cos700sin150，?原式=cot150=2+。和（差）角范围问题在三角解题中经常遇到确定和（差）角范围的问题，学生常因确定和（差）角范围的偏差导致解题失误。本文举例说明这类问题的处理方法。一. 合理选用公式来确定例1 已知，均为锐角， sin=，求+的值。解析：由已知条件有cos=，且0+。又cos(+)=coscos-sinsin二.

6、 借用其他三角函数来确定合理选用公式，仅对两角和（差）的范围在相邻两个象限时起作用，而对于其它情形，可通过两角和（差）的两个三角公式，来确定两角和（差）的范围。例2 已知，且，都是第二象限角，试确定2+，2-所在象限。解析：由条件，都是第二象限角，则有 因为2+，2都可能落在三个象限，单独使用正（余）弦和差角公式，从值的符号都不能决定2+，2的象限，但同时使用正弦、余弦的和差角公式，即可解决。由cos(2+)=cos2cossin2sin知2+在一、四象限。又sin(2+)=sin2cos+cos2sin知2+在一、二象限。综上知2+在第一象限。同理可确定2-在第三象限。三. 挖掘隐含条件来确

7、定例3 已知cos()= 都是锐角，求cos(+)的值。解析：由已知条件有因为0sin2=，所以02，所以0。又因为0，所以-0。由、得-。又因为cos（-）=，所以。=。从而cos(+)=cos2-(-)=cos2cos(-)+sin2sin(-)评析：本例通过0sin2= ，发现了隐含条件：0，将-的范围缩小为，进而由cos(-)= ,将-的范围确定为，从而避免了增解。例4 已知，且tan,tna是一元二次方程的两个根，求+的值。解析：由已知条件得tan+tan= ，tantan=40，所以tna0，tan0。又因为，所以所以-+0。又因为tan(+)= =所以+= 。评析：本例根据韦达定

8、理tan+tan= ，tantan=4，挖掘出了隐含条件tan0,tan0，知，得出了+的确切范围，从而顺利求解。条件三角函数式的求值例1、已知，求；解：=；例2、已知，的值解：，又因为（）及，所以，即，所以注：“已知”与 “未知”的联系是“ =”，从而目标是求出的值例3、且是第二象限的角，求解：是第二象限的角，即，=注：“未知”与“已知”和“已知”的联系显然是“”例4、解：又所以可知是第一象限的角，是第三象限的角，注：“未知”与“已知”和“已知”的联系显然是“”例5、已知求（）（）解：解法一：得：；得：，即，所以解法二：把已知和差化积得：得：即得：注：求利用方法一简单，求利用方法二简单一般地

9、，已知两角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦，往往采用和差化积或者平方后求和与差积化和差与和差化积 1、积化和差公式： sinsin=-cos(+)-cos(-) coscos=cos(+)+cos(-) sincos=sin(+)+sin(-) cossin=sin(+)-sin(-) 积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。其中后两个公式可合并为一个：sincos=sin(+)+sin(-) 2、和差化积公式 sin+sin=2sincos sin-sin=2cossin cos+cos=2coscos cos-cos=-2sinsin 和差化积公式是积化和

10、差公式的逆用形式，要注意的是： 其中前两个公式可合并为一个：sin+sin=2sincos 积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。 合一变形也是一种和差化积。 三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。 3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考

11、虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。例题选讲 1、求下列各式的值 cos40+cos60+cos80+cos160 cos23-cos67+2sin4+cos26 csc40+ctg80 cos271+cos71cos49+cos249 解：cos40+cos60+cos80+cos160 =+cos80+2cos100cos60 =+cos80-cos80= cos2

12、3-cos67+2sin4cos26 =2sin45sin22+(sin30-sin22)=sin22+-sin22= csc40+ctg80=+ = =2cos30= 解法一：cos271+cos71cos49+cos249 =(cos71+cos49)2-cos71cos49 =(2cos60cos11)2-(cos120+cos22)=cos211+-cos22=cos211+-(2cos211-1) =cos211+-cos211+= 解法二：cos271+cos71cos49+cos249 =+(cos120+cos22)+=+cos142-+cos22+ =+(cos142+cos

13、98)+cos22 =+cos120cos22+cos22= 解法三设x=cos271+cos71cos49+cos249 y=sin271+sin71sin49+sin249 则x+y=2(cos71cos49+sin71sin49)=2+cos22 x-y=(cos271-sin271)+(cos71cos49-sin71sin49)+(cos249-sin249)=cos142+cos120+cos98=-+(cos142+cos98) =-+2cos120cos22=-cos22 联立二式得x= 2、已知sin+sin= cos+cos=求tgtg的值 解： 2+2得 2+2(sins

14、in+coscos)= cos(-)= 2-2得 cos2+cos2+2(coscos-sinsin)=- 2cos(+)cos(-)+2cos(+)=-2cos(+)+2cos(+)=-cos(+)=- 又sinsin=-cos(+)-cos(-)=-(-)= coscos=cos+)+cos(-)=-+=- tgtg=-=- 3、设函数f(x)=asinx+bcosx+1 (a、b0 0 )的周期是，f(x)有最大值7且f()=+4 (1)求a、b的值 (2)若k+ (kz) 且、是f(x)=0的两根求tg(+)的值。 解：(1)f(x)=sin(x+)+1 = 1+=7 由条件asin+

15、bcos+1=+4 a= b=6 (2)由 两式相减得 a(sin2-sin2)+b(cos2-cos2)=0 2asin(-)cos(+)+2b-sin(+)sin(-)=0 k+ (kz) -k (kz) acos(+)-bsin(+)=0 tg(+)= 4、求函数y=cos2xcos(2x+) (0x)的最值 解：y=cos2xcos(2x+) =cos(4x+)+cos(-)=cos(4x+)+ 0x 4x+ -1cos(4x+) -+y ymax= ,ymin=两角和与差的三角函数积化和差与和差化积1? 把下列各式化为和或差的形式：? 求值：sec50+tg10。2? 求值：sin6sin42sin66sin78。解法一? sin6sin42sin66sin78法二? sin6sin42sin66sin78注? 积化和差、和差化积两套公式的运用灵活性较大。既要注意公式的正确选择，又要认真考虑项与项之间的适当组合。3? 在ABC中，求证：sin2A+sin2B+sin2C=2cosAcosBcosC+2解? 因为A+B+C=180，所以C=180-(A+B)。于是，sin2A+sin2B+sin2C4 求函数下面讨论函数y的最小值：