几何中的计数问题(一)(带答案完美排版).docx

《几何中的计数问题(一)(带答案完美排版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何中的计数问题(一)(带答案完美排版).docx（10页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、几何中的计数问题（一）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图 形等. 通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯， 逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力 .一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点 . 线段是组成三角形、 正方形、长方形、多边形等最基本的元素 .因此，观察图形中的线段， 探寻线段与线段之间、 线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的 .例 1 、数一数下列图形中各有多少条线段 .分析：要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺 序、按照

2、一定的规律去观察、去数 . 这样才不至于杂乱无章、毫无头绪 .我们可以按照两种 顺序或两种规律去数 .第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（ 1）中，线段最左边的端点是 A，即以 A 为左端点的线段有 AB、AC 两条以 B为左端点的线段有 BC一条，所以上图（ 1）中共有 线段 213条. 同样按照从左至右的顺序观察图（ 2）中，以 A为左端点的线段有 AB、 AC、AD 三 条，以 B 为左端点的线段有 BC、BD 两条，以 C 为左端点的线段有 CD 一条. 所以上页图（ 2）中共有线段为 3216 条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数 . 所谓基本线段是指一条大线段中若有 n个分

3、点，则这条大线段就被这 n个分点分成 n1条小线段，这每条小线段称为基本线段 . 如上 页图（ 2）中，线段 AD 上有两个分点 B、C，这时分点 B、C把AD 分成 AB、BC、CD三 条基本线段，那么线段 AD 总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条 基本线段的是： AC、BD 二条，然后是包含有三条基本线段的是 AD 这样一条 .所以线段 AD 上总共有线段 3216条，又如上页图（ 3）中线段 AE 上有三个分点 B、C、D， 这样分点 B、C、D把线段 AE 分为 AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段 AE 上总 共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先

4、有 4 条基本线段，其次是包含有二条 基本线段的有 3 条，然后是包含有三条基本线段的有 2 条，最后是包含有 4 条基本线段的 有一条，所以线段 AE上总 共有线段是 432 1 10 条. 解： 213（条） .3216（条）.432110（条）. 小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的 去数，这个规律就是：线段的总条数等于从 1 开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加 1 或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减 1. 也就是基本线段的条数 .例如右图中线段 AF上所有点数（包括两个端点 A、F）共有 6个， 所以

5、从 1 开始的连续自然数的和中最大的加数是 615，或者线段 AF上的分点有 4 个（B、 C、D、E）.所以从 1开始的连续自然数的和中最大的加数是 415.也就是线段 AF 上基 本线段（ AB、BC、CD、DE、EF）的条数是 5. 所以线段 AF上总共有线段的条数是 54 32115（条）.二、数角 例 2 、数出右图中总共有多少个角 .分析：在 AOB 内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，AOB被这三条角分线分成 4个基本 角，那么 AOB 内总共有多少个角呢？首先有这 4个基本角，其次是包含有 2 个基本角组 成的角有 3个（即AOC2、C1OC3、C2OB），然后是包含有 3

6、 个基本角组成的角有 2 个（即 AOC3、 C1OB），最后是包含有 4 个基本角组成的角有 1 个（即 AOB ），所以 AOB 内总共有角：432110（个）.解：432110（个）. 小结：数角的方法可以采用例 1 数线段的方法来数，就是角的总数等于从 1 开始的几个连 续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数 .例 3 、数一数右图中总共有多少个角？解：因为 AOB 内角分线 OC1、OC2? OC9 共有 9 条，即 9+1=10个基本角 . 所以总共有角： 10+9+8+? +4+3+2+1=55（个） .三、数三角形例 4 、如右图中，各个图形

7、内各有多少个三角形？分析：可以采用类似例 1 数线段的两种方法来数，如图（ 2）： 第一种方法：先数以 AB 为一条边的三角形共有： ABD、ABE、ABF、ABC 四个三角形； 再数以 AD 为一条边的三角形共有： ADE 、ADF、ADC 三个三角形； 以 AE 为一条边的三角形共有： AEF 、AEC 二个三角形； 最后以 AF 为一条边的三角形共有 AFC 一个三角形 . 所以三角形的个数总共有 4+3+2+1=10. 第二种方法：先数图中小三角形共有： ABD、ADE、AEF、AFC 四个三角形 . 再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有： ABE 、ADF 、AEC 三个三角形，

8、 以三个小三角形组合在一起的三角形共有： ABF 、ADC 二个三角形， 最后数以四个小三角形组合在一起的只有 ABC 一个 . 所以图中三角形的个数总共有： 4+3+2+1=10（个） .解： 3+2+1=6（个） 4+3+2+1=10（个） . 答：图（ 1）及图（ 2）中各有三角形分别是 6个和 10 个. 小结：计算三角形的总数也等于从 1 开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三 角形一边上的分点数加 1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数 .例 5 、如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：在数的过程中应充分利用上几例总结的规律， 明确数什么？怎么数？这

9、样两个问题 . 数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数；算：就是以基本线段（基本三角形） 条数为最大加数的从 1 开始的连续几个自然数的和 . 要数多少条线段：先看线段 AB、AD、AE、AF、AC、上各有 2 个分点，各分成 3 条基本线段，再看 BC、MN 、GH 这3条线段上各有 3个分点，各分成 4条基本线段 .所以 图中总共有线段是：（3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（条）. 要数有多少个三角形，先看在 AGH 中，在 GH 上有 3 个分点，分成基本小三角形 有 4个. 所以在AGH 中共有三角形 4+3+2+1=10（个） . 在AMN 与ABC 中

10、，三角形 有同样的个数，所以在 ABC 中三角形个数总共：（4+3+2+1）3=103=30（个） .解：在 ABC 中共有线段是：（3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（条）在 ABC 中共有三角形是：（4+3+2+1） 3=103=30（个） .例 6 、如右图中，共有多少个角？分析：本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决 .1、2、3、4我们可视为 4个基本角，由 2个基本角组成的有： 1与2、2 与 3、 3与 4、 4与 1，共 4个角.由3个基本角组成的角有： 1、2与 3； 2、3 与 4； 3、4 与 1；4、1与 2，共4 个角，由 4

11、个基本角组成的角只 有一个.所以图中总共有角是： 43+1=13（个） . 解：所以图中共有角是： 43+1=13（个） . 小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有 n 个基本角，那么它上面角的总数是n（ n 1）+1.课后练习题1、数一数下图中，各有多少条线段？2、数一数下图中各有多少角？3、数一数下图中，各有多少条线段？4、数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？课后练习题参考答案1、在 AB 线段上有 4 个分点，所以它上面线段的总条数为： 5+4+3+2+1=15（条） 在线段 AB 上有 3 个分点，所以它上面线段的总条数为：4+3+2+1=10（条） .在线段 CD上有

12、 4个分点：所以它上面线段的总条数为： 5+4+3+2+1=15（条） .整个图（ 2）共有线段 10+15=25（条） .在线段 AB 上有 3 个分点，它上面线段的条数为： 4+3+2+1=10（条） .在线段 CD 上有 2 个分点，它上面线段的条数为： 3+2+1=6（条） .在线段 EF 上有 2 个分点，它上面线段的条数为 6 条. 所以图（ 3）上总共有线段 10+6+6=22（条） .2、在 AOB 内有 4 条角分线，所以共有角： 5+4+3+2+1=15（个）；在 AOB 内有 9 条角分线，所以共有角： 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）； 周角内含有

13、6 个基本角，所以共有角： 6（6-1）+1=31（个） .3、（ 3+2+1） 7=42；（6+5+4+3+2+1）4+（4+3+2+1）7 =214+107=84+70=154.4、有线段：（4+3+2+1）3+（3+2+1）5 =30+30=60（条）有三角形：（4+3+2+1） 3=30（个）；有线段：（5+4+3+2+1）+52+（2+1） =15+10+3=28（条）有三角形：（5+4+3+2+1） 2+5=152+5=35（个） .几何中的计数问题（一）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图 形等. 通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺

14、序去观察、思考问题的良好习惯， 逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力 .一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点 . 线段是组成三角形、 正方形、长方形、多边形等最基本的元素 .因此，观察图形中的线段， 探寻线段与线段之间、 线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的 .1、数一数下列图形中各有多少条线段 .二、数角 例 2 、数出右图中总共有多少个角 .例 3 、数一数右图中总共有多少个角？三、数三角形例 4 、如右图中，各个图形内各有多少个三角形？例 5 、如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？例 6 、如右图中，共有多少个角？课后练习题2、数一数下图中各有多少角？3、数一数下图中，各有多少条线段？4、数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？