全等三角形证明专题.doc

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1、数学思维方法讲义之一 年级：九年级 第1讲 证明（三角形专题）【学习目标】1、牢记三角形的有关性质及其判定；2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。【考点透视】1、全等三角形的性质与判定；2、等腰（等边）三角形的性质与判定；3、直角三角形的有关性质，勾股定理及其逆定理；4、相似三角形的性质与判定。【精彩知识】专题一 三角形问题中的结论探索【例1】如图所示，两块完全相同的含30角的直角三角形叠放在一起，且DAB=30。有以下四个结论：AFBC ；ADGACF； O为BC的中点； AG：DE=：4，其中正确结论的序号是 .ADBCEO变式练习1如图，ABD与AEC都是等边三角形，ABAC，下

2、列结论中：BE=DC；BOD=60；BODCOE正确的序号是 考点感悟：专题二 三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索【例2】如图(1)，RtABC中，ACB=-90，CDAB，垂足为DAF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF（2）将图（1）中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示试猜想：BE与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论图（1） 图（2）【例3】ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作MDN=B（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE相似的三角形（2）

3、如图（2），将MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当DEF的面积等于ABC的面积的时，求线段EF的长考点感悟：变式练习：如图，O是正ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，下列结论：BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到；点O与O的距离为4；AOB=150；其中正确的结论是【 】A B C D 【例4】如图1，ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB

4、、AC边上，此时BD=CF，BDCF成立（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点G求证：BDCF； 当AB=4，AD=时，求线段BG的长考点感悟：专题三 几何动态问题【例5】如图，在ABC中，ABAC10 cm，BC12 cm，点D是BC边的中点点P从点B出发，以a cm/s(a0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1 cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t s(1)

5、若a2，BPQBDA，求t的值；(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形若a，求PQ的长；是否存在实数a，使得点P在ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由考点感悟：变式练习：已知线段AB=6，CD是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为 专题四 几何与函数结合问题【例6】如图所示，在形状和大小不确定的ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分CBP，设BP=，PE=.

6、（1）当时，求的值；（2）当CQ=CE时，求与之间的函数关系式；（3）当CQ=CE时，求与之间的函数关系式；当CQ=CE（为不小于2的常数）时，求直接与之间的函数关系式。考点感悟：【例7】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，ACG的面积最

7、大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值考点感悟：【课后测试】一、选择题：1、下列判断正确的是（ ）A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B.有两边对应相等，且有一角为30的两个等腰三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等2、在平面直角坐标系xoy中，已知A（2，2），在y轴上确定点P，使AOP为等到腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）A.2个 B.3个 C. 4个 D.5个二、填空题：3、在锐角三角形ABC中，

8、BC=，ABC=45，BD平分ABC， M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 。4、如图，RtABC的边BC位于直线l上，AC=，ACB=90，A=30若RtABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为 （结果用含有的式子表示）三、解答题：5、在矩形ABCD中，点P在AD上，AB2，AP1将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图）。（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图），求PC的长；（2）探究：将直尺从图中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止在这个过程中，请你观察、猜想

9、，并解答：的值是否发生变化？请说明理由；直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长。 图 图6、如图（1），将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开得到ABD和ECF，固定ABD，并把ABD与ECF叠放在一起。（1）操作：如图（2），将ECF的顶点F固定在ABD的BD边上的中点处，ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合）。FE交DA于点G（G点不与D点重合）。求证：BHGD=BF2（2）操作：如图（3），ECF的顶点F在ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过A，过点A作AGCE，交FE于点G，连接DG。探究：FD+

10、DG=_。请予证明。 （1） (2) (3)学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 部分答案：【例3】解：（1）图（1）中与ADE相似的有ABD，ACD，DCE。（2）BDFCEDDEF，证明如下：B+BDF+BFD=180，EDF+BDF+CDE=180，又EDF=B，BFD=CDE。AB=AC，B=C。BDFCED。BD=CD，即。又C=EDF，CEDDEF。BDFCEDDEF。 （3）连接AD，过D点作DGEF，DHBF，垂足分别为G，HAB=AC，D是BC的中点，ADBC，BD=BC=6。在RtABD中，AD2=AB2BD2，即AD2=10262

11、，AD=8。SABC=?BC?AD=128=48，SDEF=SABC=48=12。又?AD?BD=?AB?DH，。BDFDEF，DFB=EFD。 DHBF，DGEF，DHF=DGF。又DF=DF，DHFDGF（AAS）。DH=DG=。SDEF=EFDG=EF=12，EF=5。例3变式：A。【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。【分析】正ABC，AB=CB，ABC=600。线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，BO=BO，OAO=600。OBA=600ABO=OBA。BOABOC。BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到。故结论正确

12、。 连接OO，BO=BO，OAO=600，OBO是等边三角形。OO=OB=4。故结论正确。在AOO中，三边长为OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一组勾股数，AOO是直角三角形。AOB=AOOOOB =900600=150。故结论正确。故结论错误。如图所示，将AOB绕点A逆时针旋转60，使得AB与AC重合，点O旋转至O点易知AOO是边长为3的等边三角形，COO是边长为3、4、5的直角三角形。则。故结论正确。综上所述，正确的结论为：。故选A。【例4】解：（1）BD=CF成立。理由如下：ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90。BAD=B

13、ACDAC，CAF=DAFDAC，BAD=CAF。在BAD和CAF中，AB=AC，BAD=CAF，BADCAF（SAS）。BD=CF。（2）证明：设BG交AC于点MBADCAF（已证），ABM=GCM。又BMA=CMG，BMACMG。BGC=BAC=90。BDCF。过点F作FNAC于点N。在正方形ADEF中，AD=DE=，。AN=FN=AE=1。在等腰直角ABC 中，AB=4，CN=ACAN=3，。在RtFCN中，。在RtABM中，。AM=。CM=ACAM=4，。BMACMG，即，CG=。在RtBGC中，。【例5】解：（1）ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中点，BD=CD=B

14、C=6。a=2，BP=2t，DQ=t。BQ=BDQD=6t。BPQBDA，即，解得：。（2）过点P作PEBC于E，四边形PQCM为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM。PB：AB=CM：AC。AB=AC，PB=CM。PB=PQ。BE=BQ=（6t）。a=，PB=t。ADBC，PEAD。PB：AB=BE：BD，即。解得，t=。PQ=PB=t=（cm）。不存在理由如下：四边形PQCM为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM。PB：AB=CM：AC。AB=AC，PB=CM，PB=PQ。若点P在ACB的平分线上，则PCQ=PCM，PMCQ，PCQ=CPM。CPM=PCM。PM=CM。四边形P

15、QCM是菱形。PQ=CQ。PB=CQ。PB=at，CQ=BD+QD=6+t，PM=CQ=6+t，AP=ABPB=10at，且 at=6+t。PMCQ，PM：BC=AP：AB，化简得：6at+5t=30。把代入得，t=。不存在实数a，使得点P在ACB的平分线上。【例6】【解析】平行、角平分线、等腰三角形、相似、对应边成比例解：（1）E、F是AB、AC中点EFBC，EF=0.5BC=3EP=1EFBCDPEDBCEP：BC=1：6=1：36（2）延长BQ交射线EF于点GEFBCG=GBC又GBC=GBPG=GBPPG=BP=y即EG=x+yEFBCQEGQCBEQ：QC=EG：BC=1x+y=6

16、即y= x+6(3)同（2）中QEGQCBEQ：QC=EG：BC=2x+y=26y= x+12y= x+6(n1)【例7】解：（1）A（1，4）。由题意，设抛物线解析式为y=a（x1）2+4抛物线过点C（3，0），0=a（31）2+4，解得，a=1。抛物线的解析式为y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3。（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，A（1，4），C（3，0），解得。直线AC的解析式为y=2x+6。点P（1，4t），将y=4t代入y=2x+6中，解得点E的横坐标为。点G的横坐标为，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为。GE=（）（4t）=。又点A到GE的距离为，C到GE的距离为

17、，。当t=2时，SACG的最大值为1。（3）或。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形和菱形的性质。【分析】（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）。（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=、点A到GE的距离为，C到GE的距离为；最后

18、根据三角形的面积公式可以求得，由二次函数的最值可以解得t=2时，SACG的最大值为1。（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上。分CE是边和对角线两种情况讨论即可。 由题设和（2）知，C（3，0），Q（3，t），E（），设H（）。当CE是对角线时，如图1，有CQ=HE=CH，即，解得，或t=4（舍去，此时C，E重合）。当CE是边时，如图2，有CQ=CE=EH，即，解得，或（舍去，此时已超过矩形ABCD的范围）。综上所述，当或时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形。5、解：（1）在矩形ABCD中，AD90，AP1，CDAB2，则PBAB

19、PAPB90 又BPC90APBDPC90ABPDPCAPBDCP 即 PC2（2）的值不变理由：过F作FGAD，垂足为G，则四边形ABFG是矩形APFG90，GFAB2AEPAPE90又EPF90APEGPF90AEPGPFAPEGPF 22的值不变（3）线段EF的中点经过的路线长为6、(1)证明：根据图操作有B=D=CFE, BF=DF在DFG中，D+DFG+DGF=180，而DFG+CFE+BFH=180 BFH=DGF, 又B=DBFHDGF = 由于BF=DF BF2=BHDG（2）解：探究得出：FD+DG=BD证明：AGCE, FAG=C,FGA=ECFE=E, E=FGA AG=AF 根据菱形有：BAD=FCE BAD=FAG, 即：BAF+FAD=FAD+DAGBAF=DAG在ABF与ADG中, ABFADG BF=DGDF+DG=DF+BF=BD