中考数学几何模型5：角含半角模型.docx

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1、中考数学几何模型 5 ：角含半角模型名师点睛 拨开云雾 开门见山角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角 模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折 目标三角形法。类型一：等腰直角三角形角含半角模型1）如图，在 ABC 中，AB=AC ，BAC=90，点D，E在BC 上，且 DAE=45，则：BD 2+CE 2=DE 2.图示（ 1）作法1：将 ABD 旋转 90作法 2：分别翻折 ABD, ACE2）如图，在 ABC 中，AB=AC ，BAC=90 ，点D在 BC上，点E在BC延长线上， 且 D

2、AE=45则： BD 2+CE 2=DE 2.图示（ 2）3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理任意等腰三角形类型二：正方形中角含半角模型1）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别在边 BC，CD上， EAF=45 ，连接 EF，过点 A作 AG 于 EF 于点 G，则： EF=BE+DF ， AG=AD.图示（ 1）作法：将 ABE 绕点 A 逆时针旋转 902）如图，在正方形 ABCD 中，点E，F分别在边 CB，DC 的延长线上， EAF=45，连接 EF，则：EF=DF -BE.图示（ 2）作法：将 ABE 绕点 A 逆时针旋转 903）如图

3、，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD 中， AB=AD ， BAD+ 则： EF=BE+DF.C=180 ，点 E，F 分别在边 BC，CD 上， EAF= 1 BAD ，连接 EF，2图示（ 3）作法：将 ABE 绕点 A 逆时针旋转BAD 的大小典题探究 启迪思维 探究重点 例题 1. 如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E， F分别在 AB，AD上，若 CE5，且ECF45，则 CF 的长为 变式练习 1如图四边形 ABCD 中， ADBC， BCD 90， AB BC+AD ， DAC 45，E为 CD上一点，且BAE45若 CD 4，则 ABE 的面积为

4、(ABCD例题 2. 在正方形 ABCD 中，连接 BD （1）如图 1， AE BD于 E直接写出 BAE 的度数（2）如图 1，在（ 1）的条件下，将 AEB 以 A 旋转中心，沿逆时针方向旋转 30后得到 ABE，AB与 BD 交于 M， AE的延长线与 BD 交于 N 依题意补全图 1； 用等式表示线段 BM、 DN 和 MN 之间的数量关系，并证明（ 3）如图 2，E、F 是边 BC、CD 上的点， CEF 周长是正方形 ABCD 周长的一半， AE、AF 分别与 BD不必写出完整推理过程）变式练习 2. （1）【探索发现】如图 1，正方形 ABCD 中，点 M、N 分别是边 BC、

5、CD 上的点， MAN 45，若将 DAN 绕点 A 顺时 针旋转 90到 BAG位置，可得 MANMAG，若MCN的周长为 6，则正方形 ABCD 的边长为 3 （2）【类比延伸】如图（ 2），四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120，B+D180，点 M、N 分别在边 BC、CD 上的点， MAN60，请判断线段 BM，DN ，MN 之间的数量关系，并说明理由（3）【拓展应用】如图 3，四边形 ABCD 中， AB AD 10， ADC 120，点 M， N分别在边 BC，CD 上，连接 AM， MN， ABM是等边三角形， AMAD，DN5（ 1），请直接写出 MN 的长例题 3.

6、如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC ，A= C=90， B=135 ， K ，N 分别是 AB ，BC 上的点， 若BKN 的周长为 AB 的 2倍，求 KDN 的度数 .变式练习 3. 如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH 分割成四个小矩形， P是EF与 GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形 AGPE 面积的 2 倍，试确定 HAF 的大小并证明你的结论例题 4. 如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BCCD，ABCADC90， MAN BAD（1）如图 1，将 MAN 绕着 A点旋转，它的两边分别交边 BC、CD于 M、N，试判断这一过程中线段BM 、DN 和 MN 之

7、间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图 2，将 MAN 绕着 A点旋转，它的两边分别交边 BC、CD 的延长线于 M、N，试判断这一过 程中线段 BM、DN和 MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图 3，将 MAN 绕着 A点旋转，它的两边分别交边 BC、CD 的反向延长线于 M、 N，试判断这 一过程中线段 BM、 DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明领悟提升 强化落实达标检测1. 请阅读下列材料：问题：正方形 ABCD 中， M，N分别是直线 CB、DC 上的动点， MAN45，当 MAN 交边 CB、DC 于点 M、N（如图 ）时，

8、线段 BM 、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？小聪同学的思路是： 延长 CB至 E使 BE DN，并连接 AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中，线段 BM，DN和 MN之间的数量关系；（2）当 MAN 分别交边 CB，DC 的延长线于点 M/N时（如图 ），线段 BM，DN 和 MN之间的又有怎MN 的长样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；3）在图 中，若正方形的边长为 16cm，DN 4cm，请利用（ 1）中的结论，试求2. （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD90，E、F 分别是边 B

9、C、CD上的点，且 EAF BAD 试探究图中线段 BE、 EF、 FD 之间的数量关系（1）小王同学探究此问题的方法是：延长EB 到点 G，使 BGDF，连结 AG，先证明 ABG ADF ，再证明 AEG AEF，可得出结论，他的结论应是（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E、F分别是边 BC、CD 上的点，且 EAF BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+ADC180，E、F分别是边 BC、CD 延长线上的 点，且 EAF BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间 的

10、数量关系，并证明3. 小曼和他的同学组成了 “爱琢磨” 学习小组， 有一次，他们碰到这样一道题： “已知正方形 ABCD，点 E、 F、G、H 分别在边 AB、BC、CD、DA 上，若 EGFH，则 EG FH ”为了解决这个问题，经过思考， 大家给出了以下两个方案： 方案一：过点 A作AMHF 交 BC于点 M，过点 B作 BNEG交 CD于点 N； 方案二：过点 A作AMHF 交 BC于点 M，过点 A作 ANEG交 CD于点 N （ 1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1）（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形” ，并设 AB2，BC 3（如图（ 2），

11、是探究 EG、FH 之 间有怎样的数量关系，并证明你的结论（3）如果把条件中的“ EGFH ”改为“ EG 与 FH 的夹角为 45”，并假设正方形 ABCD 的边长为 1， FH 的长为（如图（ 3），试求 EG 的长度4. 已知：如图，正方形 ABCD的边长为 a，BM，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足MAN=45，连接 MC， NC，MN （1）填空：与 ABM 相似的三角形是 ，BM?DN=；（用含 a 的代数式表示）（2）求 MCN 的度数；（3）猜想线段 BM，DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论 .中考数学几何模型 5 ：角含半角模型 TH名师点睛 拨开云雾 开门见

12、山 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角 模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折 目标三角形法。类型一：等腰直角三角形角含半角模型1）如图，在 ABC 中，AB=AC ，BAC=90，点D，E在BC上，且DAE=45，则：BD2+CE2=DE2.图示（ 1）作法 1：将 ABD 旋转 90作法 2：分别翻折 ABD, ACE（ 2）如图， 在 ABC 中，AB=AC ，BAC=90 ，点 D 在 BC 上，点 E 在 BC 延长线上， 且 DAE=45 则： BD 2+CE 2=DE 2.

13、3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理任意等腰三角形类型二：正方形中角含半角模型1）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别在边 BC，CD 上， EAF=45 ，连接 EF，过点 A 作 AG于 EF 于点 G，则： EF=BE+DF ， AG=AD.图示（ 1）作法：将 ABE 绕点 A 逆时针旋转 902）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别在边 CB，DC 的延长线上， EAF=45，连接 EF，则：EF=DF -BE.图示（ 2）作法：将 ABE 绕点 A 逆时针旋转 903）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形

14、ABCD 中， AB=AD ， BAD+ C=180 ，点 E，F分别在边 BC， CD上， EAF= 1 BAD ，连接 EF，则： EF=BE+DF.2图示（ 3）作法：将 ABE 绕点 A 逆时针旋转 BAD 的大小启迪思维 探究重点典题探究例题 1. 如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E， F分别在 AB，AD上，若 CE5，且ECF45，则 CF的长为 4【解答】解：如图，延长 FD 到 G，使 DGBE；连接 CG、EF ；四边形 ABCD 为正方形，在 BCE 与 DCG 中， BCE DCG（SAS），CG CE， DCG BCE， GCF 45在GCF 与 ECF中，C

15、E5，CB4， BE 3， AE 1， GCF ECF （ SAS）， GF EF ，设 AF x，2 1+x2，x ，即 AF ，DF 4 ，则 DF 4x，GF 1+（ 4x） 5x， EF（ 5 x）4，故答案为：4 CF变式练习 1如图四边形 ABCD 中， ADBC， BCD 90BAE45若 CD 4，则 ABE 的面积为（， AB BC+AD ， DAC 45 ），E为 CD上一点，且BD解答】解法一：作 AFCB 交 CB 的延长线于 F，在 CF 的延长线上取一点 G，使得 FG DEADBC， BCD+ ADC 180， ADC BCD AFC 90，四边形 ADCF 是矩

16、形， CAD 45，ADCD，四边形 ADCF 是正方形， AF AD， AFG ADF 90， AFG ADE ， AG AE， FAG DAE， FAG+ FAB EAD +FAB 45 BAE， BAE BAG ，BE BGBF+GFBF+DE，设 BCa，则 AB 4+a， BF 4 a，在 RtABF 中， 42+（4a）2（ 4+a）2，解得 a1， BC 1，BF 3，设 BE b，则 DEb3，CE4在 RtBCE 中， 12+（7 b）2 b2，解得 b ，b3）7 bBGBE S ABE S ABG4例题 2. 在正方形 ABCD 中，连接 BD （1）如图 1， AE B

17、D于 E直接写出 BAE 的度数（2）如图 1，在（ 1）的条件下，将 AEB 以 A 旋转中心，沿逆时针方向旋转 30后得到 ABE， AB与 BD 交于 M， AE的延长线与 BD 交于 N 依题意补全图 1； 用等式表示线段 BM、 DN 和 MN 之间的数量关系，并证明（ 3）如图 2，E、F 是边 BC、CD 上的点， CEF 周长是正方形 ABCD 周长的一半， AE、AF 分别与 BD 交于 M、N，写出判断线段 BM、DN 、MN 之间数量关系的思路 （不必写出完整推理过程）【解答】 解：（1） BD 是正方形 ABCD 的对角线， ABD ADB 45，AE BD， ABE

18、BAE 45，（2） 依题意补全图形，如图 1 所示， BM 、DN 和 MN 之间的数量关系是 BM2+MD 2MN2， 将 AND 绕点 D 顺时针旋转 90，得到 AFB ， ADB FBA，BAFDAN ，DNBF，AFAN， 在正方形 ABCD 中， AE BD ， ADB ABD 45， FBM FBA + ABD ADB + ABD 90，在 RtBFM 中，根据勾股定理得， FB 2+ BM 2FM 2，旋转 ANE 得到 AB1E1， E1AB1 45， BAB1+DAN90 45 45 BAFDAN ， BAB1+BAF 45， FAM 45， FAM E1AB1，AMAM

19、， AFAN， AFM ANM ，FM MN，FB2+BM2 FM2，DN2+BM2MN2， 变式练习 2. （1）【探索发现】如图 1，正方形 ABCD 中，点 M、N 分别是边 BC、CD 上的点， MAN 45，若将 DAN 绕点 A 顺时 针旋转 90到 BAG位置，可得 MANMAG，若MCN的周长为 6，则正方形 ABCD 的边长为 3 （2）【类比延伸】如图（ 2），四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120，B+D180，点 M、N 分别在边 BC、CD上的点， MAN60，请判断线段 BM，DN ，MN 之间的数量关系，并说明理由（3）【拓展应用】如图 3，四边形 ABCD

20、 中， AB AD 10， ADC 120，点 M， N分别在边 BC，CD 上，连接 AM，MN， ABM是等边三角形， AMAD，DN5（1），请直接写出 MN 的长解答】解： （1）如图 1中， MAN MAG， MNGM，DNBG，GM BG+BM，MNBM+DN， CMN 的周长为： MN+CM+CN6，BM+CM+CN+DN 6， BC+CD 6，BC CD3，故答案为 3（2）如图 2 中，结论： MN NM +DN 延长 CB 至 E，使 BEDN ，连接 AE， ABC+D180， ABC+ ABE 180， D ABE， ABE ADN ， AN AE， DAN BAE，

21、BAD 2 MAN ， DAN+BAM MAN， MAN EAM，在 MAN 和 MAE 中， MAN MAE，MNEM BE+BMBM+DN，即 MN BM+ DN ；3）解：如图 3，把 ABM 绕点 A 逆时针旋转 150至 ADG，连接 AN作 NH AD 于 H，在 AH 上取一点 K，使得 NKH 30在 RtDHN 中， NDH 60DN5（ 1）， DH DN，HN DH ，在 RtKNH 中，KN2HN155 ，HK HN，AKAHHK 155 ，AK KN， KAN KNA ， NKH KAN + KNA， NAK 15， MAN 75 BAD，由（ 2）得， MNBM+D

22、N10+5（ 1） 5+5 例题 3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC ，A= C=90， B=135 ， K ，N 分别是 AB ，BC 上的点，若BKN 的周长为 AB 的 2倍，求 KDN 的度数 .变式练习 3. 如图，正方形被两条与边平行的线段 EF，GH 分割成四个小矩形， P是 EF与 GH的交点，若矩形 PFCH 的面积恰是矩形 AGPE 面积的 2 倍，试确定 HAF 的大小并证明你的结论 .例题 4. 如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BCCD，ABCADC90， MAN BAD（1）如图 1，将 MAN 绕着 A点旋转，它的两边分别交边 BC、CD于 M、

23、N，试判断这一过程中线段 BM 、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图 2，将 MAN 绕着 A点旋转，它的两边分别交边 BC、CD 的延长线于 M、N，试判断这一过 程中线段 BM、DN和 MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图 3，将 MAN 绕着 A点旋转，它的两边分别交边 BC、CD 的反向延长线于 M、 N，试判断这一过程中线段 BM、 DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明 ABG ABC ADC 90， ABAD， ABG ADN AGAN，BGDN， 1 4BAD GAM MAN又 AM AM ， AMG

24、 AMNMGMNMGBM+BGMNBM+DN（2）MN BMDN证明：在 BM 上截取 BG，使 BGDN ，连接 AG ABC ADC 90， AD AB， ADN ABG， AN AG， NAD GAB， MAN NAD+BAM DAB， MAG BAD， MAN MAG， MAN MAG，MNMG，MNBMDN（3）MN DNBM达标检测领悟提升 强化落实1. 请阅读下列材料：问题：正方形 ABCD 中， M，N分别是直线 CB、DC上的动点， MAN45，当 MAN 交边 CB、DC 于点 M、N（如图 ）时，线段 BM 、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？小聪同学的思路是： 延长

25、 CB至 E使 BE DN，并连接 AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决 请 你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中，线段 BM，DN和 MN之间的数量关系；DN 4cm，请利用（ 1）中的结论，试求MN 的长（2）当 MAN 分别交边 CB，DC的延长线于点 M/N时（如图 ），线段 BM，DN 和 MN之间的又有怎 样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（2）DNBMMN理由如下：如图，在 DC 上截取 DF BM ，连接 AF AB AD， ABM ADF 90， ABM ADF （SAS） AM AF ， MAB FAD MAB+BAF FAD+B

26、AF90， 即 MAF BAD 90又 MAN 45， NAF MAN 45的数量关系，并证明AN AN， MAN FANMNFN，即 MNDNDF DNBM；（3）正方形的边长为 16，DN 4，CN12根据（ 1）可知， BM+DN MN，设 MNx，则 BM x4， CM 16（ x 4） 20 x在 Rt CMN 中，MN2CM2+CN2，x2（ 20x）2+122解得 x 13.6 MN 13.6cm2. （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD90，E、F 分别是边 BC、CD上的点，且EAF BAD 试探究图中线段 BE、 EF、 FD 之间的数量关系（1）小王同学

27、探究此问题的方法是：延长EB 到点 G，使 BGDF，连结 AG，先证明 ABG ADF ，再证明 AEG AEF，可得出结论，他的结论应是EFBE+FD （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E、F分别是边 BC、CD 上的点，且EAF BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+ADC180，E、F分别是边 BC、CD 延长线上的BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间【解答】解： （ 1）由 ABG ADF ， AEG AEF可知， BGDF，EFEGBG+EFDF+EF，

28、故答案为 EF BE+FD.（ 2）（1）中的结论 EF BE+FD 仍然成立 理由：延长 EB 到点 G，使 BGDF ，连结 AG ABD+D180， ABD+ABG180， ABG D， AB AD，BGDF， ABG ADF ， BAG DAF，AG AF， EAF BAD， BAE+DAF BADBAE+BAG， EAG EAF ， AE AE，AGAF， EAG EAF ， EGEF，EGBG+BEDF+BE， EF BE+ DF 3. 小曼和他的同学组成了 “爱琢磨” 学习小组， 有一次，他们碰到这样一道题： “已知正方形 ABCD，点 E、 F、G、H 分别在边 AB、BC、C

29、D、DA 上，若 EGFH，则 EG FH ”为了解决这个问题，经过思考， 大家给出了以下两个方案： 方案一：过点 A作AMHF 交 BC于点 M，过点 B作 BNEG交 CD于点 N； 方案二：过点 A作AMHF 交 BC于点 M，过点 A作 ANEG交 CD于点 N （ 1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1）（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形” ，并设 AB2，BC 3（如图（ 2），是探究 EG、FH 之 间有怎样的数量关系，并证明你的结论（3）如果把条件中的“ EGFH ”改为“ EG 与 FH 的夹角为 45”，并假设正方形 ABCD 的边长为

30、 1， FH 的长为（如图（ 3），试求 EG 的长度【解答】解： （ 1）证明：过点 A作AMHF 交BC于点 M，作 ANEG交CD的延长线于点 N， AMHF，ANBC，在正方形 ABCD 中， ABAD， ABM BAD ADN 90 EGFH， NAM 90， BAM DAN，在ABM 和ADN 中， BAM DAN，ABAD， ABM ADN ABM ADN AM AN，即 EG FH （2）结论： EG：FH 3：2 证明：过点 A作AMHF 交BC于点 M，作 ANEC交CD的延长线于点 N， AMHF，ANEC，在长方形 ABCD 中， BC AD ， ABM BAD ADN

31、 90，EGFH， NAM 90， BAM DAN ABM ADN，AB 2，BCAD 3，（3）解：过点 A作 AMHF 交 BC于点 M，过点 A作 ANEG交CD 于点 N， 在 Rt ABM 中，BM 将 AND 绕点 A 顺时针旋转 90到 APB EG 与 FH 的夹角为 45， MAN 45， DAN+MAB45，即 PAM MAN 45 从而 APM ANM ，设 DN x，则 NC1x，MNPM在 Rt CMN 中，PMNM2）求 MCN 的度数；4. 已知：如图，正方形 ABCD的边长为 a，BM，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足MAN=45，连接 MC， NC，MN （1）填空：与 ABM 相似的三角形是 ，BM?DN=；（用含 a 的代数式表示）3）猜想线段 BM，DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论