傅里叶级数课程及习题讲解.doc
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1、第15章 傅里叶级数15.1 傅里叶级数一基本内容一、傅里叶级数在幂级数讨论中,可视为经函数系线性表出而得不妨称为基,则不同的基就有不同的级数今用三角函数系作为基,就得到傅里叶级数1 三角函数系函数列称为三角函数系其有下面两个重要性质(1) 周期性 每一个函数都是以为周期的周期函数;(2) 正交性 任意两个不同函数的积在上的积分等于零,任意一个函数的平方在上的积分不等于零对于一个在可积的函数系,定义两个函数的内积为,如果,则称函数系为正交系由于 ;,所以三角函数系在上具有正交性,故称为正交系利用三角函数系构成的级数称为三角级数,其中为常数2 以为周期的傅里叶级数定义1 设函数在上可积, ; ,
2、称为函数的傅里叶系数,而三角级数称为的傅里叶级数,记作这里之所以不用等号,是因为函数按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于二、傅里叶级数收敛定理定理1 若以为周期的函数在上按段光滑,则,其中为的傅里叶系数定义2 如果,则称在上光滑若存在;,存在,且至多存在有限个点的左、右极限不相等,则称在上按段光滑几何解释如图按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成,它至多有有限个第一类间断点与角点推论 如果是以为周期的连续函数,且在上按段光滑,则,有 定义3 设在上有定义,函数称为的周期延拓二习题解答1 在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数(1) ;解:、,作周期延拓的图象如下其按段光滑,故
3、可展开为傅里叶级数由系数公式得当时,所以,为所求、,作周期延拓的图象如下其按段光滑,故可展开为傅里叶级数由系数公式得当时,所以,为所求(2) ;解:、,作周期延拓的图象如下其按段光滑,故可展开为傅里叶级数由系数公式得当时,所以,为所求解:、,作周期延拓的图象如下其按段光滑,故可展开为傅里叶级数由系数公式得当时,所以,为所求(3) 解:函数,作周期延拓的图象如下其按段光滑,故可展开为傅里叶级数由系数公式得当时,所以,为所求2 设是以为周期的可积函数,证明对任何实数,有,证:因为,都是以为周期的可积函数,所以令有从而同理可得3 把函数展开成傅里叶级数,并由它推出(1) ;(2) ;(3) 解:函数
4、,作周期延拓的图象如下其按段光滑,故可展开为傅里叶级数由系数公式得当时,故为所求(1) 取,则;(2) 由得,于是;(3) 取,则,所以4 设函数满足条件,问此函数在内的傅里叶级数具有什么特性解:因为满足条件,所以,即是以为周期的函数于是由系数公式得当时,故当时,函数在内的傅里叶级数的特性是,5 设函数满足条件:,问此函数在内的傅里叶级数具有什么特性解:因为满足条件,所以,即是以为周期的函数于是由系数公式得当时,故当时,函数在内的傅里叶级数的特性是,6 试证函数系和都是上的正交函数系,但他们合起来的却不是上的正交函数系证:就函数系,因为,又;,时,所以在上是正交系就函数系,因为,又,时,所以在
5、上是正交系但不是 上的正交系实因:7 求下列函数的傅里叶级数展开式 (1) ;解:作周期延拓的图象如下其按段光滑,故可展开为傅里叶级数由系数公式得当时,所以,为所求(2) ;解:作周期延拓的图象如下其按段光滑,故可展开为傅里叶级数因为,所以由系数公式得当时,所以, 而时,故,为所求(3) ;解:由系数公式得当时,故为所求由系数公式得当时,故为所求(4) ;解:由系数公式得当时,所以,所以,故,为所求 (5) 解:由系数公式得当时,所以,故,为所求8 求函数的傅里叶级数展开式并应用它推出解:由得 ,而,故由收敛定理得9 设为上光滑函数,且为的傅里叶系数,为的导函数的傅里叶系数证明证:因为为上光滑
6、函数,所以为上的连续函数,故可积由系数公式得当时,故结论成立10 证明:若三角级数中的系数满足关系,为常数,则上述三角级数收敛,且其和函数具有连续的导函数证:设,则,在上连续,且,亦在上连续又,而收敛,所以在上一致收敛故设,则且在上连续15. 2 以为周期的函数的展开一基本内容一、以为周期的函数的傅里叶级数设是以为周期的函数,作替换,则是以为周期的函数,且在上可积在上可积于是 ,其中 令得,从而 其中 上式就是以为周期的函数的傅里叶系数在按段光滑的条件下,亦有其只含余弦项,故称为余弦级数同理,设是以为周期的奇函数,则奇,偶于是 ,从而其只含正弦项,故称为正弦级数由此可知,函数要展开为余弦级数必
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