圆心角、弧、弦、弦心距间关系——教学设计.docx

《圆心角、弧、弦、弦心距间关系——教学设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆心角、弧、弦、弦心距间关系——教学设计.docx（18页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、24.2.3圆的基本性质：圆心角、弧、弦、弦心距间关系合肥市五十中学新校李怡帆一、教学内容和内容解析1 .课标研读义务教育数学课程标准2022年版对本课时归于图形与几何：图形的性质一类，虽未做直接要求，但我参考史宁中教授主编的义务教育数学课程标准（2022年版）图形的性质及其本质、沪科版教师用书，确定本节课要求：“探索并理解圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系的定理”.基于新课程目标“以学生发展为本，以核心素养为导向”的要求，本节课应重视学生发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力，体现数学结果的形成过程，将重点放在几何直观和推理能力等核心素养的培养上，同时渗透数形结合、转化与化归

2、等数学思想.2 .教学框架圆是平面图形，是最基本的曲线型封闭图形。初中学段，各版本教材对圆的研究多集中在一个章节，顺序大致如下：从圆的概念，到圆的性质（圆相关构成要素之间的关系），还研究图形与圆的关系：如点与圆、直线与圆、三角形与圆、三角形与圆的关系，最后是圆的应用：弧长和扇形面积的计算、圆锥的计算、综合实践活动.值得一提的是;由于圆是特殊的旋转对称图形和中心对称图形，圆的动态定义也是由旋转引入的，故教材将第四学段要求的图形的变化一一图形的旋转设置在圆这一章的章始，也为本节课的学习打下知识与分析解决问题能力的基础.教材呈现圆的仍是以几何图形研究一般化的路径：概念性质应用.本节课内容设置在圆的基

3、本性质这一节，学生在前期学习了图形的变换：“旋转”之后，对圆是特殊的旋转对称图形有一定认知；有圆及其各元素概念的知识基础；有由圆的轴对称性得到垂径定理的方法经验，所以本节课需要组织学生经历对图形的分析和比较的过程.另外，本节课的学习经验可以帮助学生后续探究圆周角与弧之间的关系，也能得到新的方法用于解决圆中相关的计算和证明问题.3 .教学内容本节课选自沪科版教材义务教育教科书数学九年级下册第二十四章圆第二节第三课时，主要研究：圆心角、弧、弦、弦心距间关系.4 .内容解析本节课在学生学习了新的图形变换一一旋转、圆及其基本元素的概念、垂径定理的基础上进行的.与圆的轴对称性得到垂径定理的探究和证明过程

4、类似，圆心角、弧、弦、弦心距间关系定理与推论源自于圆的旋转对称性（旋转不变性），对四组量相等的探究要抓住“对应关系”，并关注“同圆或等圆”中的前提.圆心角、弧、弦、弦心距间关系定理与推论为后面圆内证明弧相等、弦相等和角度的计算等问题提供了简单的方法.其证明过程为曲线型证明提供了新思路，整个过程通过数形结合，而等圆问题到同圆问题的转化体现了转化和化归的数学思想，培养了学生的几何直观和推理能力.二、学生学情分析1 .知识层面学生已经认识了圆中的相关元素，了解了圆的旋转对称性，并且有前面垂径定理的研究经验，但是由于才刚刚进行圆的探索，学生对圆的旋转对称性的应用不甚了解，所以在探讨弧、弦、圆心角之间的

5、相等关系时可能感到困难.学生尽管逻辑思维能力很强，但对于圆的认识还很浅肤,对圆的相关概念还不能熟练运用，故而在掌握知识的深度和灵活性方面还有欠缺.2 .经验层面九年级学生已初步具备数学分析、解决问题的能力，具有一定的研究直线型几何图形性质的经验，但对于圆比较陌生，因此需要从几何研究的本质出发对学生进行引导，让学生感受到一以贯之的研究思路、思想、方法.在证明定理和得出推论的过程中，引导学生参照垂径定理的折叠重合的探究思路，思考如何利用圆的旋转对称性得到新发现.垂径定理及其推论中五个条件，其中任意两个是题设，那么其余三个变式是结论这一经验，对本节课推论的推导过程十分有参考价值.本节课引导学生积极参

6、与探究活动，充分理解圆的旋转对称性，同时通过例题和变式训练，让学生能够灵活应用定理和推论来解决问题.三、教学目标和目标解析1 .单元教学目标能把握圆的学习与其他几何图形研究的一致性，理解几何学习的相关性.在圆的性质研究过程中，核心素养的感悟由感性上升为理性，在建立几何直观的基础上，逐步形成推理能力，2 .课时教学目标（1）掌握圆心角、弧、弦、弦心距间关系定理及推论，并能进行有关的计算和证明.了解弧的度数的概念.（2）通过探索圆的旋转对称性得出定理和推论的过程中，进一步体会和理解数形结合、转化与化归的数学思想，培养学生发现、提出、分析、解决问题的能力.（3）通过动手实践，自主探索、合作交流，激发

7、学习的兴趣，获得成功的体验.在自评和互评中，有所感悟、提升.3 .课时目标解析达到目标（1）的标志：能找到圆心角、弧、弦、弦心距之间的对应关系，通过数形结合能借助圆的旋转对称性在同圆中通过重合得到相等的圆心角所对的弧、弦、所对弦的弦心距相等.能将等圆问题转化为同圆问题.通过应用定理和推论解决同圆或等圆中的常见弦、弧相等的证明和角度线段长的计算问题.达到目标（2）的标志：在小组讨论和动手操作的过程中充分地思考，发挥团队和个人力量，能主动地提出问题、分析问题和解决问题，在课堂中有收获感，有成就感.通过定理和推论感悟数学思想，归纳得到圆心角的度数和它所对的弧的度数相等的结论.达到目标（3）的标志：能

8、认真听讲，独立思考，主动跟进课堂，培养良好的学习习惯，形成积极的情感、态度和价值观.教学重点：理解圆心角、弧、弦、弦心距间关系定理及推论.教学难点：探索圆心角、弧、弦、弦心距四组量间的关系，理解定理和推论的证明过程.四、教学策略分析教学方式：基于上述学情，本节课改变单一的讲授式教学，注重采用启发式、探究式、参与式教学，引导学生探究并证明圆心角、弧、弦、弦心距间关系定理及推论，通过讨论法、自学法，让学生对不同的知识有不同程度的学习.以图形不断叠加的方式复习旧的知识，引导学生发现旧的图形中新的问题：圆心角，进而提出问题：圆心角与以前学过圆的基本元素的关系引入主体.整个设计推进单元整体教学，体现数学

9、知识的内在逻辑联系，以及学习内容与核心素养表现的关联.在引导思考圆心角、弧、弦、弦心距间关系的过程中，设置问题串.给学生提供思考、研究、探索的时间和空间，引导学生积极参与课堂活动，让学生充分经历“观察一一猜想验证一一证明”这一探索过程，引导学生巩固几何探索的一般思路.教学手段：本节课以现代化信息技术(几何画板)教学为主，多处展示折叠、平移、旋转等动态过程，另外通过旋转圆教具，帮助学生多种渠道直观感受变化的过程；以传统黑板式教学为辅，比如本节小结构的归纳、定理推论的总结、教师例题的示范作用、学生板书的展示.另外，还促进学生自主学习课本内容，提升学生自主学习能力.借助希沃同屏助手辅助实现师生之间、

10、生生之间的成果共享、多元维度的教学评价等.五、教学过程设计1 .前知整理，引出课题(1)复习旧知，建立知识结构从24章以来，我们步入了圆的学习，先研究了一种新的图形变换：旋转，又利用线段的旋转引入了最特殊的旋转对称图形：圆，这说明圆具有旋转对称性，它的旋转中心是：圆心.有以往几何学习的经验,学完了概念之后,我们紧接着要学习圆 的相关性质：前面已经了解了圆中 一些基本元素的概念.上节课，我 们由圆的轴对称性学习了垂径定 理及其推论,还记得我们是怎么证 明得到的吗？第24章单元结构点和圆的位置关系圆的基本性质圆的相关概念利用圆的轴对称性通过沿对称轴折叠重合的方法得到弦相等，弧相等.【设计意图】引导

11、学生有单元整体结构意识，知道知识的来龙去脉，从图形的构成角度复习前面的知识和学习经验，进而为后续学习圆心角的内容和由圆的旋转对称性总结元素间的关系做好铺垫.（2）再识圆心角垂直于弦的直径除了平分这一条弦、一条优弧、一条劣弧，有没有平分什么角呢？这里NOB是我们小学学过的圆心角.小学课本上给出概念：把顶点在圆心的角叫做圆心角.图中还有哪些圆心角呢？请你指出.（3）发现问题我们隐去这条直径，你能指出圆心角4。8所对的弧、弦吗？圆中再出现一个圆心角/409,它所对的弧、弦是？让学生分别指出.这一过程学会找圆心角与己学习的元素：弧、弦、弦心距间的对应关系.实际上，在数学学习中，我们研究完一个对象，往往

12、要研究两个对象之间的关系.比如：学完了一个三角形的边角关系，我们去接着研究两个三角形的关系：全等以及一般化的相似.上节课，我们学习了一条弦、一条弧、一个角的关系后，那么这个圆中，两个圆心角、两个角所对的两条弧、两条弦、两条弦的弦心距之间又有怎样的关系呢？圆的旋转对称性又会给我们带来怎样的新收获呢？我们这节课一起来接着研究圆的基本性质.【设计意图】深入研究过去的知识和图形，发现新的知识和问题，通过启发式教学的形式，引导学生层层深入新知，发现新问题.圆心角的再认识和圆心角与弧、弦之间对应关系的辨析，为下面准确找到元素间的关系打下知识基础.数学中研究完一个对象,往往要研究两个对象的关系，帮助学生自然

13、地感受这节课的必要性.2 .探究操作，猜想证明（1）定理初探问题I:如果同一个圆中，两个不相等的圆心角，它们所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距相等吗？问题2：什么情况下，这几组量相等呢？I学生能通过动态变化的图形感受几组量随着圆心角的变化而变化.提出猜想：圆心角相等时，几组量相等.发现问题，接下来再尝试证明，解决问题.问题3：如果同一个圆中，两个相等的圆心角，它们所对的弦相等吗？为什么？问题4：两条弦所对的弦心距相等吗？为什么？预设：可以用全等、勾股定理、等积法、全等三角形对应边上的高相等等一些常见的多边形证明方法，这里不局限学生的思路.（2）循序渐进，突破难点问题5：相等的圆心角，所对的弧相

14、等吗？师生活动：这是本节课的一个难点，不急于让学生快速解决问题，可慢慢引导学生.回顾等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.自然想到在这个图形中如何使得两段弧重合.（3）动手操作，验证猜想学生在思考后可尝试旋转.教师拿出教具，学生边说，教师演示，其他学生可通过小组教具同步演示，思考.先引导学生准确描述旋转过程：将一个圆心角所对的部分绕着圆心旋转一定的角度使得两部分能重合.再询问学生怎么想到旋转重合的？利用圆的旋转对称性，上节课证明垂径定理的弧相等时，又利用圆的轴对称性沿着对称轴折叠重合得到弧相等的经验.【设计意图】问题层层递进，由学生熟悉的直线型相等的证明入手，充分调动学生思考，

15、再引入不熟悉的曲线型：弧相等的证明.通过教具增强学生直观感受，消除陌生感，通过类比过去的经验，引导学生借助圆的旋转对称性解决弧相等的问题，体会知识方法的一贯性.（4）小组讨论，合作交流问题6：我们通过绕着圆心旋转能够直观感受两部分重合，可以先人为控制半径OA和OA重合，可如何说明OB与09是重合的呢？尝试用数学的语言去严谨地表达、推导这个过程.活动1：学生先独立思考，在学案上试着完成推导过程，再小组讨论，过程中教师下去巡视，对困难同学给予提示，对已完成的同学做细节指导，最后想法完善的学生上台表述，教师最后展示规范的证明过程.总结：既然证明了旋转后A与A重合，8与9重合，不仅能说明弧相等、也能同

16、样说明弦、弦心距都相等，学以致用.证明完毕后，我们需要静心思考一下.以前多边形中的证明方法可以证明弦相等、弦心距相等的问题，但无法解决弧相等的证明，类比上一节垂径定理的证明，我们由圆的轴对称性通过折叠重合得弧相等,这节课我们利用圆的旋转对称性通过旋转重合得弧相等，而重合这个方法好在不仅能得到弧相等，也能得到直线型相等，一举多得！是我们圆这一章学习不同于以往的地方之一.（5）归纳总结，形成定理问题7：在同圆中，相等的圆心角，我们能得到什么结论呢？师生活动：学生总结定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.教师板书定理内容，再找学生用几何语言描述定理内容，教师板书

17、.这里需要解释，几何表述：A3=4夕是弧相等，而非弧长相等.预设：通过定理，学生能理解在同一个圆中，已知圆心角相等这个条件之后，能得到三个结论.【设计意图】直观认识后要经过严密的数学推理过程，这个过程不同于以往的直线型证明，是本节课的重点也是难点，通过小组活动讨论的方式减轻学生的思考压力，突破难点,教师巡视引导给予各小组经验支持，学生能自主总结完善证明过程，增加知识的获得感和学习的成就感.3 .深化探究，引申结论（1）结合经验，逆向思考数学中得到一个定理后，往往会将条件和结论互换，判断逆命题的真假。现在咱们开始逆向思考：问题8：得到以上几组量相等，我们只能通过两个圆心角相等这一个条件吗？（2）

18、得出新命题并证明活动2：找不同学生代表，说出新条件下得到新结论的命题.实际上，这里可以得到多个命题，不局限学生思考，让他们畅所欲言，在这一过程中逐渐感受多个命题的共同特点，最后找一位同学能试着用一句话来总结刚才这么多同学的说法.（3）总结并分析推论总结推论：在同圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等.推论可以简记为：在同圆中，圆心角相等O弧相等O弦相等。弦心距相等我们在前面学习点与圆的位置关系接触了这个符号.等价于的意思是：比如在同圆中，如果弧相等，那么它所对的弦相等，反过来，如果两条弦相等，那么它们所对的弧相等（注意：我们

19、这里弦所对的弧，只研究弦所对圆心角所对的弧！）同一个圆中，对于圆心角、弧、弦、弦心距，以上任何一组量相等，其余三组量都相等，可以互相转换.【设计意图】有上节课得垂径定理推论的经验，引导学生逆向思考，当条件和结论互换后得命题是否是真命题，学生发言减少重复性工作，最后用“等价于”总结，帮助学生在对比之后体会数学符号的优越性.（4）等圆中四组量的关系问题9：我们再画一个相等的圆，等圆中，如果圆心角相等，还有刚才的结论吗？是的，同学们不难发现，我们可以通过平移转化为前面同圆中的问题，进而通过旋转重合得到刚才的几组结论.由此可见，想要解决一个新的问题，可以转化为我们熟悉或已经解决过的问题，也就是转化与划

20、归思想，补充定理和推论的前提条件.预设：学生能发现解决问题的方法：转化为已研究过的内容.【设计意图】既然等弧的前提是“同圆或等圆中”,研究完同圆中的四组量的关系，我们继而研究等圆中的问题，探究过程对多数学生来说并不难，通过平移和旋转的过程让学生进一步体会转化与化归的数学思想方法.（5）回归图形问题10:回到开始研究的图形，这个图中，已知ZAO8=ZVO8l你还能发现哪些新的等量关系吗？再次观察图形，学生可以发现多组新的角、线段、弧相等，变化图形，引导学生关注研究对象的共性，动态的图形的本质仍是四组量对应相等的本质.B（6）定义弧的度数在刚才的过程中，我们感受到随着圆心角的变化，它所对的弧也在均

21、匀地变化，既然圆心角可以用度数刻画，弧是否可以用度数刻画呢？活动3：通过前面的学习，弧的度数对学生来说并不难理解，故设计学生回归课本，自学该部分内容，并总结这两段话.及时检验：以这个图为例：为。8的度数是60,则弧A8的度数为？【设计意图】让学生充分认识到圆是均匀的图形，弧与圆心角十分对应，所以每段弧也能用度数来表示.教师和学生在课堂都不应该被课件牵着走，要引导学生适当地回归课本，关注课本内容，给学生留有发展空间，并结合教师的指引思考知识间内在联系.4 .典例示范，变式巩固（1）分析思路，教师示范课堂刚开始的时候，我们发现了垂直于弦的直径或者半径也能平分圆心角,如图1.,现在将顶点移动到圆外，

22、试试看，你能用我们刚学的定理或者推论解决这个问题吗？如图2.例已知：如图，点。是团CAB平分线上的一点,圆。分别交团CAB两边于点氏。和点CE求证：BD=CE.这个题目对很多学生有一定难度，由于受过去经验的影响，学生很容易想到连接几条半径，利用全等，这样不太容易解决这个问题.教师可以提醒，这里要证明的线段BD.CE在圆中还是弦，那么证明弦相等，这节课有哪些方法？再利用角平分线的性质定理，两条垂线段相等在这里就是两条弦心距相等，进而得到弦相等，解决问题.追问：当点A恰好在圆上和非圆心的圆内时，刚才的结论还成立吗？这个问题留给课后思考.【设计意图】尊重学生的一般思路，对遇到的问题不回避，通过对比不

23、同方法体会这节课新的知识方法的优越性.通过例题的分析与板书，教师提供示范作用，完成后总结证明弦相等的方法.当点A在圆上以及非圆心的圆内，引导学生分类讨论要做到完善,并且渗透后面的圆周角和其他圆内角.(2)总结经验目前，想要证明弦相等，我们前面学习的多边形证明方法均适用，但通过这节课的学习，我们在同圆或等圆中，想要得到弦相等又有了三个新的方法，有时，可能会更加优化.(3)即时应用变式如图3,在例题的前提下，连接OE,若OEHaB,CE为IOOo,求/OAB的度数.预设:为了体现教一一学一一评一体化,这里可以安排学生板书,其他学生完成后，互相评价；希沃手机助手上传不同的方法，一题多解，做到对比，学

24、生自我评价.【设计意图】在例题的基础上添加特定位置的条件，考察学生对新知的掌握程度.2022年版义务教育数学课程标准指出：“评价不仅要关注学生数学学习结果，还要关注学生数学学习过程，激励学生学习，改进教师教学，采用多元的评价主体和多样的评价方式，鼓励学生自我监控学习的过程和结果.”该部分是本节课知识的及时练习，评价应做到多样化：教师点评、学生互评、学生自评.5,梳理小结，整体建构(1)通过本节课的学习，你经历了怎样的过程？(2)通过本节课的学习，你收获了什么知识？(3)通过本节课的学习，你感悟了哪些思想方法？单元结构圆的应用【设计意图】引导学生回顾本节课所学知识，通过本节课的探索，帮助学生掌握

25、几何探索的方法，进一步渗透数学思想，积累数学活动经验.最后总结单元框图培养学生对单元学习的整体、宏观意识.6 .目标检测，作业设计（1）基础作业：课本第26页，第9,10题（2）选做作业：课本第25页第6题，20页第2题：6已知：fr的。O它的所处的Rl心角分别为6O9U120*.1比较寇CD. EF的长短；2比较这二条蚊的荻心地长）（第2题）（4）探究作业：思维导图总结圆的对称性得来的知识.【设计意图】分层作业，满足不同程度学生的学习需求.其中，提升作业将课堂重点研究的相等问题拓展到不等的问题：同圆中的不等的圆心角所对的弧、弦问题，半径不等的圆中相等圆心角所对的弧、弦问题.7 .自我评价自我

26、评价内容要求等级评分1我能主动发现、提出问题，并积极分析、解决问题.2我掌握了圆心角、弧、弦、弦心距间关系，并能理解证明过程.3我会利用四组量之间的关系解决圆中线段、弧相等的问题.4整个课堂我全神贯注，积极回答问题，跟进课堂练习.在合作交流过程中感受到自身的成长.【设计意图】课堂最后采用学生自评的方式，融合“四基”“四能”和核心素养的主要表现，鼓励学生自我监控学习的过程和结果.$2财o5M牌一外楷用m弘Tft修.副。特应火DhdD羯的触将4tFa *xa,次MH册协引即伞,浓外力工於河布；阳 例9注C。4MM/此$3相4-弧解6外用.O “7电缱图7内株板与之网娘饼A6硝tJya，相学的看*与

27、”?tE与胸力力队的, /A*e=.-A *词d唠 *UP M8彳夕, *fM训 p延讣交珞， -oi7a，01 ： o.O7123 L.O. oo , /励心小： *：、dof.-4odti4o , 4力 Jo-大无，/帧）加2d,、4:司 Wjl2。大：不就cAif W映.决心叫插./】“5 J吗8 .板书设计、实际板书中！q#此工理筏Hq柠,Q2fc街距前,孤.该湫比同X画.那痛我斗囱相小然，,那么,；(4)如果乙AoB=乙COD、那么,.2 .如图，在两个同心圆中J.LAOBLCOD,:.泰=，这Zz-种说法对吗？请说明理由.(3团的一条弦把圆周分成度数比为2的两条弧，如果该回的主狡为飞夕%?5,求这条弦的弦长及劣弧所对的固心角(第2题)20第24章