五年级奥数.行程.环形跑道.教师版.docx

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1、 环形跑道 知识框架本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和=相遇时间速度和路程差=追及时间速度差二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。环线型同一出发点直径两端同向：路程差nSnS+相对(反向)：路程和nS例题精讲【例 1】 一个圆形操场跑道的周长是50

2、0米，两个学生同时同地背向而行黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米经过几分钟才能相遇?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 黄莺和麻雀每分钟共行（千米），那么周长跑道里有几个米，就需要几分钟，即（分钟）【答案】分钟【巩固】 周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第10次相遇后，王老师再走 米就回到出发点。【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】填空【解析】 几分钟相遇一次：480（5565）=4（分钟）10次相遇共用：410=40（分钟）王老师40分钟行了：

3、5540=2200（米）2200480=4（圈）280（米）所以正好走了4圈还多280米，480280=200（米）答：再走200米回到出发点。【答案】200米【例 2】 上海小学有一长米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑米，小胖每秒钟跑米，小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要秒，小亚跑了（米）。小胖跑了（米）；第一次追上时，小胖跑了圈，小亚跑了圈，所以第二次追上时，小胖跑圈，小亚跑圈。【答案】小胖跑圈，小亚跑圈【巩固】 小张和小王各以一

4、定速度，在周长为米的环形跑道上跑步小王的速度是米/分小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程小张的速度是（米/分）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：（分）（圈）【答案】米/分 圈【例 3】 小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正

5、南需要多少分钟？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据，可知小新第一次超过正南需要：(分钟)，第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要(分钟)【答案】分钟【巩固】 幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个

6、周长(200米)，又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：(秒)冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：(米)晶晶第一次被追上时所跑的路程：(米)冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：(圈)晶晶第2次被追上时所跑的圈数：(圈)【答案】圈【例 4】 两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属

7、相遇问题同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度环形道一周的长度可根据两人同向出发，45分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为：(米/分)，所以路程差为：(米)，即环形道一圈的长度为2250米所以反向出发的相遇时间为：(分钟)【答案】分钟【巩固】 两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 （4+3）45=315米环形跑道的长（相遇问题求解）315（4-3）=315秒（追及问题求解）【答案

8、】315秒【例 5】 在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 同向而跑，这实质是快追慢起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大接着，两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和速度和相遇时间同向而行2分30秒相遇，2分30秒150秒，两个人的速度和为：（米/秒），背向而跑则半分钟即30秒相遇，所以两个

9、人的速度差为：（米/秒）.两人的速度分别为： (米/秒)， (米/秒)【答案】米/秒【巩固】 在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 甲乙的速度和为：(米/秒)，甲乙的速度差为：(米/秒)，甲的速度为：(米/秒)，乙的速度为：(米/秒)【答案】米/秒【例 6】 周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第10次相遇后，王老师再走 米就回

10、到出发点。【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 两人每共走1圈相遇1次，用时480(55+60)=4(分)，到第10次相遇共用40分钟，王老师共走了。5540=2200（米），要走到出发点还需走，4805-2200=200（米）【答案】200米【巩固】 在周长为200米的圆形跑道条直径的两端，甲、乙两人分别以6米/秒，5米/秒的骑车速度同时同向出发，沿跑道行驶。问：16分钟内，甲追上乙多少次?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 甲、乙二人第一次相遇时，一共走过的路程是100(米)所需要的时间是 (秒)以后，两人每隔 (秒)相遇一次因为，16分钟

11、内二人相遇53次.【答案】53次【例 7】 甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后6分甲第一次超过乙，22分时甲第二次超过乙。假设两人的速度保持不变，问：出发时甲在乙后面多少米？【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 150米。提示：甲超过乙一圈（400米）需22616（分）。【答案】16分【巩固】 在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 A，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？ 【考点

12、】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 甲实际跑 100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑 100/5=20（秒），休息 10 秒； 乙跑 100/4=25（秒），休息 10 秒，甲实际跑 100 秒时，已经休息 4 次，刚跑完第 5 次，共用 140 秒； 这时乙实际跑了 100 秒，第 4 次休息结束。正好追上。 【答案】140 秒【例 8】 有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处?【考点】行程问题之环形跑道 【难度

13、】 【题型】解答 【解析】 由题意知道：甲走完一周需要时间为300120=（分）；乙走完一周需要时间为300100=3（分）丙走完一周需要时间为300700=，那么三个人想再次相聚在跑道同一处需要时间为：分【答案】分【巩固】 如下图所示的三条圆形跑道，每条跑道的长都是0.5千米，A、B、C三位运动员同时从交点O出发，分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时4千米，每小时8千米，每小时6千米。问：从出发到三人第一次相遇，他们共跑了多少千米？【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 三个运动员走完一圈的时间分别为小时、小时、小时，他们三人相遇地点只能是点，所以三人相遇时间是小

14、时、小时、小时的公倍数，即小时，分别跑了2圈、4圈、3圈，共计4.5千米。【答案】4.5千米【例 9】 林琳在450米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒？【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 设总时间为X，则前一半的时间为X/2，后一半时间同样为X/2X/2*5+X/2*4=450X=100总共跑了100秒前50秒每秒跑5米，跑了250米后50秒每秒跑4米，跑了200米后一半的路程为4502=225米后一半的路程用的时间为（250-225）5+50=55秒【答案】55秒【巩固】 某人在360米的环形跑道上

15、跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，则他后一半路程跑了多少秒？【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 44【答案】44【例 10】 甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇。求此圆形场地的周长？【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+圈的路程所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次

16、相遇时行走的总路程的3倍，即1003=300米有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈60)+300，为圈，所以此圆形场地的周长为480米【答案】480米【巩固】 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈从出发开始算，两个人合起来走了一周半因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从到的距离，应该是从到距离的3倍，

17、即到是 (米)(米)(米)【答案】米课堂检测【随练1】 小明和小刚清晨来到学校操场练习跑步，学校操场是400米的环形跑道，小刚对小明说：“咱们比比看谁跑的快”，于是两人同时同向起跑，结果10分钟后小明第一次从背后追上小刚，同学们一定知道谁跑得快了，小明的速度是每分钟跑140米，那么如果小明第次从背后追上小刚时，小刚一共跑了 米【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】填空 【解析】 米，米。【答案】米【随练2】 在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔4分钟相遇一次；如果两人从同处同向同时跑，每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600米，那么两人的速度分别是多少？【考点

18、】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 两人反向沿环形跑道跑步时，每隔4分钟相遇一次，即两人4分钟共跑完一圈；当两人同向跑步时，每20分钟相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要20分钟两人速度和为：(米/分)，两人速度差为：(米/分)，所以两人速度分别为：(米/分)，(米/分)【答案】米/分【随练3】 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 甲行走45分钟，再行走7045=25分钟即可走完一圈.而

19、甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程甲行走一圈需70分钟，所以乙需702545=126分钟即乙走一圈的时间是126分钟【答案】126分钟【随练4】 A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 340【答案】340家庭作业作业检测【作业1】 一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？【考点

20、】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 (分钟)【答案】分钟【作业2】 如图1，有一条长方形跑道，甲从A点出发，乙从C点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.5米。当甲第一次追上乙时，甲跑了? 圈。【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】填空 【解析】 (10+6)=32秒，甲跑了53232=5圈【答案】5圈【作业3】 一条环形跑道长400米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑210米，两人同时出发，经过多少分钟两人相遇【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 小青每分钟比小兰多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分钟【答案

21、】8分钟【作业4】 甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 176【答案】176【作业5】 在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟？【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 由题意可知，两人的速度和为，速度差为可得两人速度分别为和所以两人跑一圈分别需要6分钟和12分钟 【答案】6分钟和12分钟【作业6】 如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端与同时出发，绕圆周相 向而行它们第一次相遇在离点8厘米处的点，第二次相遇在离点处6厘米的点，问，这个圆周的长是多少?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】 【题型】解答 【解析】 如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，所以两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从点出发的应爬行(厘米)，比半个圆周多6厘米，半个圆周长为(厘米)，一个圆周长就是：(厘米)【答案】厘米